数学建模美赛入门

数学建模需要的学科知识

1. 高等数学+线性代数

   有很多算法的掌握是需要高等数学和线代的相关知识

   如：灰色预测模型需要微积分知识；神经网络需要用到导数知识；图论和层次分析法等都需要用到矩阵计算的相关知识等；

2. 概率论与数理统计：

   当出现了不确定事件时，就必须引入概率来描述这一过程，这就使得在本来因为无知而产生不确定性时，我们用概率工具最优的表征和最优地解决了这一问题，然后用统计学的方法对各种数据进行分析、建模，从中挖掘出一些有利的信息，把他们的机理弄清楚，这些数据分析的工作完成后，往往是模型推广的第一步，也是关键的一步。

   方差分析、贝叶斯模型、随机过程、马尔科夫链、等都需要用到概率论相关知识

《数学模型》姜启源谢金星叶俊高等教育出版社：基础+方法+思想属于数学建模入门级教材，大量的数学建模案例可以提高对数模的认识和理解，但对于算法的学习并不系统

《数学建模算法与应用》司守奎 国防工业出版社：指导操作的教程这本书被奉为数学建模百科全书，目前学界在用的，成型的和发展中的方法、思想在本书中都有全面的介绍，而且很多实用的方法都附有源程序，如果不想做的很有创新性时，直接套用基本上就能解决很多国赛和美赛的题目。

美赛

美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM），简称"美赛"，由美国数学及其应用联合会主办，是最高的国际性数学建模竞赛，也是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛，

从2016年开始，每年美赛MCM/ICM各出3题，即总共六题。MCM俗称数学建模竞赛，有三道题：problemA, problemB和problemC。A题是连续型的题，B题是离散型的题，C题是数据处理的题，大都是会给出大量的表格数据进行数据处理。ICM俗称交叉学科竞赛，有三道题：problemD, problemE, problemF。与mcm不同的是，题目上会给你一些参考的数据，方便你尽快找到查数据的方向。problem D是运筹学和网络科学等类型的题目，problemE近往年都是关于环境方面的综合题目，现在改成了可持续性题目。problem F是政策的题目。

一 数学建模入门

1.1 模型

原型 (archetype)：人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象

模型 （model）是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼构造的原型替

代物，是对所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式，也可指根据

实验、图样放大或缩小而制作的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件

等用的模子。

1.2 数学建模

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

1.3 数学建模中的模型分类

• 按所用的数学知识分类
  初等模型、几何模型、微积分模型、微分方程模型、图论模型、概率统计模型、规划论模型等。
• 按所解决的问题的领域分类
  物理模型：自然科学领域内的问题
  非物理模型：经济模型、交通模型、人口模型、生态模型、环境模型、医学模型、社会学模型
• 按所建模目的分类
  描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等
• 按所模型的表现特性分类:
  确定模型、随机模型；
  静态模型、动态模型、离散模型、连续模型

1.4 数学建模的过程

美赛不建议是用spsspro（或者摘取其特征）

美赛最重要的三步：模型假设、摘要、灵敏度分析

• 模型准备（包括数据搜集）
• 模型假设（避免错误假设、常识性假设）
• 模型建立（可以在复杂模型中组合模型使用流程图、创新模型使用伪代码）
• 模型求解（不要直白地说用MATLAB等等求解）
• 模型分析（与问题呼应，要有表层分析和深层分析）
• 模型检验（对应模型假设）
  • 美赛看中灵敏度分析，对无法考虑的变量进行波动，灵敏度越强，稳定性就越弱
  • 误差分析：判断结果的正确性
• 模型应用（模型的推广）

二 数学建模的实战经验

2.1 数学建模常见的赛题

总体来说，数学建模赛题类型主要分为：评价类、预测类和优化类三种，其中优化类是最常见的赛题类型，几乎每年的地区赛或国赛美赛等均有出题，必须要掌握并且熟悉。

2.1.1 评价类

| 赛题类型 | 题目特点 | 选择算法 |
| 评价类算法 | 无数据支撑下指标定权，给指标制定权重；量化方案选择 | 层次分析法 |
| 评价类算法 |
| 评价类算法 |
| 评价类算法 |
| 评价类算法 |
| 评价类算法 |
| 评价类算法 |
| 评价类算法 |
|------------------------------------------------------------|---------------------------|-------|
| 有数据支撑下指标定权与评价问题 | 熵权法 |
| 分析各个因素对于结果的影响程度，或解决随时间变化的综合评价类问题 | 灰色关联分析法 |
| 对评价结果进行排序；或评价的准则层太多，或准则层中的指标 (相对权重已知)，则不能用层次分析法评价，要用优劣解距离法 | TOPSIS模型 |
| 在模糊环境下，考虑了多因素的影响，为了某种目的对一事物作出综合决策的方法。 | 模糊综合评价法 |
| 指标较多，有训练数据支撑，并且需要对未知数据进行评价 | 神经网络算法 |
| 多种投入和多种产出类评价问题 | 数据包络法 (DEA) |
| 秩和比方法常 用于评价多个指标的综合水平情况，医学研究领域应用尤为广泛。 | 秩和比综合评价法 |

2.1.2 预测类

预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计方法对事物的未来发展进行定量推测

| 赛题类型 | 题目特点 | 选择算法 |
| 预测类算法 | 单调递增的时间序列数据预测 | Logistic 预测模型 |
| 预测类算法 | 单调递增的时间序列数据预测 |
| 预测类算法 | 单调递增的时间序列数据预测 |
| 预测类算法 | 单调递增的时间序列数据预测 |
| 预测类算法 | 单调递增的时间序列数据预测 |
| 预测类算法 | 单调递增的时间序列数据预测 |
| 预测类算法 |
| 预测类算法 |
| 预测类算法 |
| 预测类算法 |
| 预测类算法 |
| 预测类算法 |
| 预测类算法 |
| 预测类算法 |
| 预测类算法 |
| 预测类算法 |
|-------------------------------------------|---------------|---------------|
| 灰色预测模型 |
| 二次指数平滑预测 |
| ARMA 时间序列预测模型 |
| 季节指数预测模型 |
| BP 神经网络预测模型 |
| 周期性的时间序列数据预测 | ARMA 时间序列预测模型 |
| 周期性的时间序列数据预测 | 季节指数预测模型 |
| 周期性的时间序列数据预测 | BP 神经网络预测模型 |
| 不规律的时间序列数据预测 | 高斯回归预测模型 |
| 不规律的时间序列数据预测 | 二次指数平滑预测 |
| 不规律的时间序列数据预测 | ARMA 时间序列预测模型 |
| 不规律的时间序列数据预测 | 季节指数预测模型 |
| 多个指标的时间序列数据预测 | BP 神经网络模型 |
| 某一个系统在已知现在的条件下，系统未来时刻的情况只与当前有关，而与过去的历史无关； | 马尔可夫预测模型 |
| 自变量和因变量之间有逻辑相关性 | 回归分析预测模型 |

2.1.3 优化类

优化类问题是从所有可能方案中选择最合理的方案以达到最优目标。在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件下，用尽可能小的代价，获得最大的收获(比如保险)。

| 赛题类型 | 题目特点 | 选择算法 |
| 优化类算法 | 目标函数和的束条件均为线性 | 线性规划模型 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
| 优化类算法 |
|---------------------------|---------------|--------|
| 决策变量取值被限制为整数或 0,1 | 整数规划或 0-1 规划 |
| 以时间为划分阶段的动态过程优化问题 | 动态优化模型 |
| 目标函数或约束条件中包括非线性函数 | 非线性规划模型 |
| 目标函数不唯一, 即同时存在多个目标函数 | 多目标规划模型 |
| 目标函数为凸函数时，求解算法选择基于梯度的求解算法 | 最速下降法 |
| 目标函数为凸函数时，求解算法选择基于梯度的求解算法 | 随机梯度下降 |
| 目标函数为凸函数时，求解算法选择基于梯度的求解算法 | 拟牛顿法 |
| 目标函数为非凸函数时，求解算法选择智能优化算法 | 粒子群算法 |
| 目标函数为非凸函数时，求解算法选择智能优化算法 | 模拟退火 |
| 目标函数为非凸函数时，求解算法选择智能优化算法 | 遗传算法 |
| 智能优化：决策变量为连续变量 | 粒子群算法 |
| 智能优化：决策变量为离散变量 | 遗传算法 |
| 智能优化：决策变量为离散变量 | 模拟退火 |

2.2 数据预处理

| 赛题类型 | 题目特点 | 选择算法 |
| 数据预处理 | 数据中存在缺失值 | 拉格朗日插值法和牛顿插值法 |
| 数据预处理 |
| 数据预处理 |
| 数据预处理 |
| 数据预处理 |
| 数据预处理 |
|-----------------------|---------------------------------|---------------|
| 数据中存在异常值 | 利用正态分布3σ原则或画箱型图检测异常值 |
| 数据需要归一化处理 | 标准差法、极值差法、功效系数法等 |
| 数据中存在分类变量 | 独热编码、标签编码等 |
| 需要将连续变量进行离散化 | 等宽法、等频法、基于聚类的思想等 |
| 数据维度过高，需要对数据数据进行 降维处理 | PCA 主成分分析法、T-SNE 降维算法、UMAP 降维法等 |

2.3 相关性分析

| 赛题类型 | 题目特点 | 选择算法 |
| 相关性分析 | 离散变量和离散变量的相关性分析 | 卡方检验 |
| 相关性分析 |
| 相关性分析 |
| 相关性分析 |
| 相关性分析 |
| 相关性分析 |
| 相关性分析 |
| 相关性分析 |
|-----------------------|---------------------------------|------|
| 数据中存在异常值 | 协方差、Pearson 相关系数、spearman 相关系数 |
| 数据需要归一化处理 | 标准差法、极值差法、功效系数法等 |
| 数据中存在分类变量 | 独热编码、标签编码等 |
| 需要将连续变量进行离散化 | 等宽法、等频法、基于聚类的思想等 |
| 数据维度过高，需要对数据数据进行 降维处理 | PCA 主成分分析法、T-SNE 降维算法、UMAP 降维法等 |

2.4 分类问题

赛题类型	题目特点	选择算法
分类问题	无监督聚类（无训练数据）	K-Means 算法 层次聚类算法 高斯混合聚类模型 SOM 自组织神经网络
分类问题	监督聚类（有训练数据）	KNN 聚类模型 BP 神经网络分类模型 决策树分类模型 朴素贝叶斯分类等
图与网络	两个指定顶点之间的最短路径	Dijkstra 模型
图与网络	每对顶点之间的最短路径	Floyd 模型
图与网络	TSP 旅行商问题	图+规划模型
微分方程	研究问题较为复杂的变量，并且变量间满足某些基本规律	人口模型 战争模型 传染病模型