Matlab多元线性回归

曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数。通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，从数理统计的观点看，我们根据一个样本计算出的那些系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间太大，那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析。方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。简单地说，回归分析就是对拟合问题作的统计分析。

回归分析一般研究以下问题：

拿到一组数据后，我们首先需要对数据进行预处理，常用的标准化处理方式：

模型的评价指标，MSE、RMSE，用来判断模型的好坏，其值越小越好。

理论部分不再赘述，具体操作如下：

Matlab 命令regress实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法，用法是：

b=regress(Y,X)

其中 Y,X 为按因变量，自变量排列的数据，b 为回归系数估计值

$b,bint,r,rint,stats$ =regress(Y,X,alpha)

这里 Y,X 同上，alpha 为显著性水平（缺省时设定为 0.05），b,bint 为回归系数估计值和它们的置信区间，r,rint 为残差（向量）及其置信区间，stats 是用于检验回归模型的统计量，有四个数值，第一个是，第二个是 F ，第三个是与F 对应的概率 p ，p < α 拒绝H0 ，回归模型成立，第四个是残差的方差。

残差及其置信区间可以用 **rcoplot(r,rint)**画图。

示例：

画出数据分布散点图：

可以看到随X增大Y也不断增大，大致呈线性趋势，于是考虑拟合

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clc,clear;
clc,clear 
x1=[0.1:0.01:0.18]'; 
y=[42,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0]'; 
x=[ones(9,1),x1]; 
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); 
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)

由残差图可以看出，第8个值为异常值。去除第8个数据之后：

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clc,clear 
x1=[0.1:0.01:0.18]'; 
y=[42,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0]'; 
idx = true(1, length(x1)); 
idx(8)=false;
x1=x1(idx);
y=y(idx);
x=[ones(length(x1),1),x1]; 
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); 
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)

此时没有异常值，所以应该使用修改之后的结果。

示例2：

画出y分别关于x1和x2 的散点图如下：

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clc,clear;
x1=[120 140 190 130 155 175 125 145 180 150]'; 
x2=[100 110 90 150 210 150 250 270 300 250]'; 
y=[102 100 120 77 46 93 26 69 65 85]'; 
subplot(1,2,1)
plot(x1,y,'o')
subplot(1,2,2)
plot(x2,y,'o')

设回归模型为；

建模代码：

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x=[ones(10,1),x1,x2]; 
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); 
b,bint,stats

运行结果：