【算法专题】归并排序

1. 排序数组

今天我们使用归并排序来对数组进行排序，实际上，归并排序和快速排序是有一定相似之处的，都运用了分而治之的思想提升了排序效率。快速排序的实现思路是每次排序把区间划分为小于基准元素、等于基准元素、大于基准元素三个部分，直至数组整体有序为止；而归并排序的实现思路则是每次排序把区间平均划分为两个部分，分别对这两个部分再次排序，然后把这两个部分合并，重复这个过程直至子数组为一。

显然合并数组这个操作是需要一个数组进行辅助的，由于归并排序过程中两个相等的元素在数组中的位置不会发生改变，所以这是一个稳定的排序算法，虽然在不要求稳定的情况下，都是快速排序比归并排序更快，但归并排序也有自己的应用场景，这点我们在后面会提到。

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class Solution {
public:
    vector<int> temp;
    vector<int> sortArray(vector<int>& nums) 
    {
        temp.resize(nums.size());
        mergesort(nums, 0, nums.size() - 1);
        return nums;
    }
    void mergesort(vector<int> &nums, int left, int right)
    {
        if(left >= right) return;
        int mid = (left + right) >> 1;
        mergesort(nums, left, mid);
        mergesort(nums, mid + 1, right);
        int cur1= left, cur2 = mid + 1, i = 0;
        while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
        {
            temp[i++] = (nums[cur1] <= nums[cur2]) ? nums[cur1++] : nums[cur2++];
        }
        while(cur1 <= mid) temp[i++] = nums[cur1++];
        while(cur2 <= right) temp[i++] = nums[cur2++];
        for(int j = left; j <= right; j++)
        {
            nums[j] = temp[j - left];
        }
    }
};

2. 交易逆序对的总数

LCR 170. 交易逆序对的总数 - 力扣（LeetCode）

依据题意，我们需要求出一个数组中的逆序对总数，逆序对的定义是前面的数大于后面的数时，这两个数可以组成逆序对。首先能想到的肯定是暴力枚举，两层for循环列举出所有符合条件的逆序对情况，但既然这是困难题，暴力枚举法肯定是通过不了的，所以我们要想办法对暴力法做出优化。

首先，如果我们把数组平均分为左右两个部分，那么要查找逆序对的步骤就是在左半部分找逆序对、在右半部分找逆序对、左右部分各取一个数，找逆序对。这样一来，就能找出所有满足条件的逆序对了，这时大家可能就会奇怪了，这不还是相当于枚举吗？确实是这样，但如果我们在找完左半部分逆序对后对左边进行排序、找完右半部分逆序对后对右边进行排序、在找完左右部分的逆序对后对数组整体进行排序，大家可能发现了，这样一来我们就能够用归并排序来对求逆序对的流程进行优化了。

为什么说排序能够优化查找逆序对的效率呢？我举个例子大家就明白了。

大家可以发现，当nums $cur1$ > nums $cur2$ 时，我们就一次性找到了mid-cur1+1个符合条件的逆序对！和暴力枚举法比起来，大大提升了效率！

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int> temp;
    int reversePairs(vector<int>& record) 
    {
        temp.resize(record.size());
        return mergesort(record, 0, record.size() - 1);
    }
    int mergesort(vector<int> &nums, int left, int right)
    {
        if(left >= right) return 0;
        int ret = 0;
        int mid = (left + right) >> 1;
        ret += mergesort(nums, left, mid);
        ret += mergesort(nums, mid + 1, right);
        int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
        while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
        {
            if(nums[cur1] <= nums[cur2])
            {
                temp[i++] = nums[cur1++];
            }
            else
            {
                ret += mid - cur1 + 1;
                temp[i++] = nums[cur2++];
            }
        }
        while(cur1 <= mid) temp[i++] = nums[cur1++];
        while(cur2 <= right) temp[i++] = nums[cur2++];
        for(int j = left; j <= right; j++)
        {
            nums[j] = temp[j - left];
        }
        return ret;
    }
};