在网上看到的VAE解释，发现有两种版本：
- 按照原来论文中的公式纯数学推导，一般都是了解生成问题的人写的，对小白很不友好。
- 按照实操版本的，非常简单易懂，比如苏神的。但是却忽略了论文中的公式推导，导致论文中公式一点不懂。
下面是我对VAE的理解：
1 VAE生成模型的数学描述
我们见到的生成模型，一般都有这几个步骤：
- 采样一个随机噪声（为啥要随机噪声，因为随机噪声我们是能获得的，调用一个
torch.randn()就可以。) - 输入神经网络一通计算
- 最后输出了图片。
这个过程应该怎么用数学描述呢？在VAE论文中是这样的：
作者的意思是整个模型分为两步：
- 从一个先验分布中采样一个值z，对应之前的第一步
- 从一个后验分布中生成一个值x，对应之前的第二步
模型可以描述为：
p θ ( x ) = ∫ p θ ( z ) p θ ( x ∣ z ) d z p_θ(x) = ∫ p_θ(z)p_θ(x|z) dz pθ(x)=∫pθ(z)pθ(x∣z)dz
这里解释几点:
1. 生成模型为什么是一个概率密度呢，我希望直接有表达式，比如采样了一个噪声z，那么图片 X = g(z)，这样多好
其实有了概率密度，可以直接在里面采样。这里是推导过程，大家都这么写。在实际操作的时候，所有的p都会变成一个已知的分布，否则无法计算的。比如假如生成模型的表达式是：
p θ ( x ) = 一些公式 p_\theta(x) = 一些公式 pθ(x)=一些公式
这些公式计算后发现是一个高斯分布 N ( μ , σ ) N(\mu, \sigma) N(μ,σ)，那么操作的时候可以写为：
x = μ + σ ε x = \mu + \sigma \varepsilon x=μ+σε
其中 ϵ \epsilon ϵ是随机采样的噪声。所以说，两种形式必须都能看懂才行。
2. 上面的式子含义是什么？
上面的式子中： p θ ( x ) p_\theta(x) pθ(x)是x的概率密度，它的含义是生成模型生成了值为x的样本的概率是多少。
PS 本文中所有的概率都应该是概率密度。但是为了便于理解，就当作概率来写了。
式子的右边是一个全概率公式，意思是计算生成样本x的概率，应该根据生成z的概率，和从z中计算出x的概率计算。
上面的式子其实涵盖了采样+通过采样的z计算x的过程。
2 VAE的损失函数
对生成函数建模后 ，下面考虑如何从z中计算x。下面先说明下实际操作是怎样的，然后结合着理解文中的数学公式。
这里借用了VAE原文中的图。z可以理解为噪声空间，x可以理解为生成的图片空间。这里训练分为两步。
- 首先从样本中获得一个值x，然后通过神经网络计算出对应的z的分布(虚线)
- 从z的分布中采样出一个z
- 根据z重新计算出x(实线)
损失函数包含两项：
- 重建的x和原始的x之间的差值
- z的分布尽可能接近标准正态，因此使用了z的分布和标准正态的KL散度。
使用2的原因是：最终我们需要从标准正态中采样一个z，而不是从样本中计算z，因此让z的分布接近标准正态是为了采样时效果更好。
以上的过程非常符合直觉，遗憾的是这两项是通过数学推导出来的，VAE背景的论文中都会包含数学推导，看懂数学推导的大概意思是必不可少的。下面是推导过程：
VAE损失函数的数学推导
首先VAE模型的目标是最大化似然函数。这里可以理解为：有一个分布中，参数 θ \theta θ是未知的，但是有一组采样结果 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1, x_2, ..., x_n x1,x2,...,xn是已知的，似然函数表示了采样出这组结果的概率，但是包含了参数 θ \theta θ。通过最大似然函数可以计算出 θ \theta θ的取值。
似然函数的其他内容可以看这篇文章： 文章地址
这里和我们的情况很像：已有的数据可以看成是从一个分布中采样出来的，我们需要求解的是这个分布的参数。
在我们的问题中似然函数可以表示为：
log p θ ( x ( 1 ) , ⋅ ⋅ ⋅ , x ( N ) ) = ∑ i = 1 N log p θ ( x ( i ) ) \log p_θ(x^{(1)}, · · · , x^{(N)}) = \sum^N_{i=1} \log p_θ(x^{(i)}) logpθ(x(1),⋅⋅⋅,x(N))=i=1∑Nlogpθ(x(i))
用更加通俗的话来说就是：模型生成一个数据xi的概率是p(xi), 那么生成出所有数据的概率是p(x1)乘到p(xi)。但是p中有一个参数是未知的，x1到xi是已知的。现在这个参数应该取什么值才能让模型生成出x1到xi的概率最大呢？
求和其实用处不大，下面对某一个数据xi的损失函数进行计算：
log p θ ( x ( i ) ) = D K L ( q φ ( z ∣ x ( i ) ) ∣ ∣ p θ ( z ∣ x ( i ) ) ) + L ( θ , φ ; x ( i ) ) \log p_θ(x^{(i)}) = D_{KL}(q_{φ}(z|x^{(i)})||p_{θ}(z|x^{(i)})) + L(θ, φ; x^{(i)}) logpθ(x(i))=DKL(qφ(z∣x(i))∣∣pθ(z∣x(i)))+L(θ,φ;x(i))
其中： L ( θ , φ ; x ( i ) ) = E q φ ( z ∣ x ) [ − log q φ ( z ∣ x ) + log p θ ( x , z ) ] L(θ, φ; x^{(i)}) = E_{q_φ(z|x)} [− \log q_{φ}(z|x) + \log p_θ(x, z)] L(θ,φ;x(i))=Eqφ(z∣x)[−logqφ(z∣x)+logpθ(x,z)]
上面这串到底怎么来的，本来就一个 p θ p_\theta pθ好好的，怎么多了一个 q ϕ q_{\phi} qϕ??
q ϕ q_{\phi} qϕ其实就是encoder，也就是如何把x反向映射到z上。简单来说，整个VAE的训练过程是：
- 在p(z)中采样一个z (采样一个噪声)
- 通过 q ϕ ( z ∣ x ) q_{\phi}(z|x) qϕ(z∣x) 计算出x对应的z
- 通过 p θ ( x ∣ z ) p_{\theta}(x|z) pθ(x∣z) 计算出z对应的x
这里 p ( x ∣ y ) p(x|y) p(x∣y)有两种理解方式：
- 给定y之后x的概率是多少
- 给定y之后如何计算x
由于有两个神经网络，所以自然有两个参数。这里p, q其实没什么区别，主要是参数的区别。
OK, 那么上面那个KL散度里面两个分布是怎么回事呢？
其实这个也挺魔幻的，大概就是如果我计算出了 θ \theta θ：
- p θ ( z ) p_{\theta}(z) pθ(z)，和 p θ ( x ∣ z ) p_{\theta}(x|z) pθ(x∣z)就都是已知的
- 那么其实 p θ ( z ∣ x ) p_{\theta}(z|x) pθ(z∣x)也是已知的 (根据贝叶斯公式)
- encoder q ϕ ( z ∣ x ) q_{\phi}(z|x) qϕ(z∣x) 同时也描述了这个关系。那么这两个关系应该是接近的
换句话说，我知道了噪声z的分布，同时我有一个样本x，那么我有两种方式计算x对应的z。
- 神经网络decodeer输入z，输出x，再加上贝叶斯公式就能告诉我们应该如何通过x计算z。
- 神经网络encoder输入x，输出z，天然的告诉了我们如何通过x计算z。
这两个过程应该是一致的才行。比如给了一个x, 那么神经网络1+贝叶斯计算的z分布，应该和encoder计算出来的是一样的才行。
好吧，那么似然函数是怎么变成KL散度+ELBO的呢？
推导过程如下：
K L ( q ϕ ( z ∣ x ) ∣ ∣ p θ ( z ∣ x ) ) = ∫ q ϕ ( z ∣ x ) log q ϕ ( z ∣ x ) p θ ( z ∣ x ) d z = ∫ q ϕ ( z ∣ x ) log q ϕ ( z ∣ x ) d z − ∫ q ϕ ( z ∣ x ) log p θ ( z ∣ x ) d z = E q ϕ ( z ∣ x ) [ log q ϕ ( z ∣ x ) ] − ∫ q ϕ ( z ∣ x ) log p θ ( z , x ) d z + ∫ q ϕ ( z ∣ x ) log p θ ( x ) d z = E q ϕ ( z ∣ x ) [ log q ϕ ( z ∣ x ) ] − E q ϕ ( z ∣ x ) [ log p θ ( z , x ) ] + E q ϕ ( z ∣ x ) log p θ ( x ) = − E L B O + log p θ ( x ) \begin{split} KL(q_{\phi}(z|x)||p_{\theta}(z|x)) &=\displaystyle\int q_{\phi}(z|x)\log\frac{ q_{\phi}(z|x)}{p_{\theta}(z|x)}dz\\ &=\displaystyle\int q_{\phi}(z|x)\log q_{\phi}(z|x)dz-\int q_{\phi}(z|x)\log p_{\theta}(z|x)dz\\ &=\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log q_{\phi}(z|x)]-\int q_{\phi}(z|x)\log p_{\theta}(z,x)dz+\int q_{\phi}(z|x)\log p_{\theta}(x)dz\\ &=\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log q_{\phi}(z|x)]-\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log p_{\theta}(z,x)]+\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}\log p_{\theta}(x)\\ &=-ELBO+\log p_{\theta}(x)\\ \end{split} KL(qϕ(z∣x)∣∣pθ(z∣x))=∫qϕ(z∣x)logpθ(z∣x)qϕ(z∣x)dz=∫qϕ(z∣x)logqϕ(z∣x)dz−∫qϕ(z∣x)logpθ(z∣x)dz=Eqϕ(z∣x)[logqϕ(z∣x)]−∫qϕ(z∣x)logpθ(z,x)dz+∫qϕ(z∣x)logpθ(x)dz=Eqϕ(z∣x)[logqϕ(z∣x)]−Eqϕ(z∣x)[logpθ(z,x)]+Eqϕ(z∣x)logpθ(x)=−ELBO+logpθ(x)
经过变换就可以获得似然函数如何表示为KL散度+ELBO的了。
VAE损失函数的数学推导（续）
重写表示了似然函数之后，其实只需要关心ELBO即可，因为KL散度是恒大于0，并且非常难计算，因此最大化似然函数，其实是最大化ELBO罢了。
下面重新改下ELBO：
E L B O = − E q ϕ ( z ∣ x ) [ log q ϕ ( z ∣ x i ) ] + E q ϕ ( z ∣ x ) [ log p θ ( z , x i ) ] = − E q ϕ ( z ∣ x ) [ log q ϕ ( z ∣ x i ) ] + E q ϕ ( z ∣ x ) [ log p θ ( z ) p θ ( x i ∣ z ) ] = − E q ϕ ( z ∣ x ) [ log q ϕ ( z ∣ x i ) ] + E q ϕ ( z ∣ x ) [ log p ( z ) ] + E q ϕ ( z ∣ x ) [ log p θ ( x i ∣ z ) ] = − K L ( q ϕ ( z ∣ x i ) ∣ ∣ p ( z ) ) + E q ϕ ( z ∣ x ) [ log p θ ( x i ∣ z ) ] \begin{array}{rl} ELBO &= -\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log q_{\phi}(z|x_i)]+\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log p_{\theta}(z,x_i)]\\ &=-\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log q_{\phi}(z|x_i)]+\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log p_{\theta}(z)p_{\theta}(x_i|z)]\\ &=-\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log q_{\phi}(z|x_i)]+\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log p(z)]+\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log p_{\theta}(x_i|z)]\\ &=-KL(q_{\phi}(z|x_i)||p(z))+\mathbb{E}{q{\phi}(z|x)}[\log p_{\theta}(x_i|z)] \end{array} ELBO=−Eqϕ(z∣x)[logqϕ(z∣xi)]+Eqϕ(z∣x)[logpθ(z,xi)]=−Eqϕ(z∣x)[logqϕ(z∣xi)]+Eqϕ(z∣x)[logpθ(z)pθ(xi∣z)]=−Eqϕ(z∣x)[logqϕ(z∣xi)]+Eqϕ(z∣x)[logp(z)]+Eqϕ(z∣x)[logpθ(xi∣z)]=−KL(qϕ(z∣xi)∣∣p(z))+Eqϕ(z∣x)[logpθ(xi∣z)]
可以看出新的ELBO具有两部分，
- 后面一部分可以看作从 x -> q -> z -> x 的过程（这是因为z符合的是q的分布），似然函数需要最大。因此我们最小化了重构损失，这和目标1是一致的。
- 前面一部分可以看作是encoder生成的z必须和z的原始分布相近，在实际中就是encoder通过x计算出的z必须符合正态分布。和我们之前的目标2是一致的
通过不断努力，我们终于从直觉上以及数学上解释了VAE的损失函数构成！