前提知识：拉格朗日乘子法和KKT条件-CSDN博客
概述
支持向量机(Support Vector Machine：SVM) 的目的是用训练数据集的间隔最大化找到一个最优分离超平面。
这里面有两个概念间隔最大化和最优分离超平面。
最优分离超平面
- 在一维的平面中，我们使用点来进行分隔
- 在二维的平面中，用线
- 在三维的平面中，用面
- 在更高的维度中，我们称之为超平面
在众多分离超平面中选择一个最好的超平面，称之为最优分离超平面。
选择原理：
- 正确的对训练数据进行分类
- 对未知数据也能很好的分类
详细解释：
最优分离超平面其实是和两侧样本点有关，而且只和这些点有关。观察如下图：
其中当间隔达到最大，两侧样本点的距离相等的超平面为最优分离超平面。对应上图，Margin对应的就是最优分离超平面的间隔，此时的间隔达到最大。
间隔最大化
如果我们能够确定两个平行超平面，那么两个超平面之间的最大距离就是最大化间隔，即Margin。
计算
如何计算两个超平面之间的距离，也就是如何计算最大化间隔。
怎么确定两个超平面？
我们知道一条直线的数学方程是：y-ax+b=0，而超平面会被定义成类似的形式：
。
推广到n维空间，则超平面方程中的w、x分别为：
如何确保两超平面之间没有数据点？我们的目的是通过两个平行超平面对数据进行分类，那我们可以这样定义两个超平面。
对于每一个向量xi：满足：
将两个不等式合并成一个不等式的形式，将不等式两边同时乘以 yi，-1类的超平面yi=-1，要改变不等式符号，合并后得：
如何确定间隔？
平面的垂直距离就是我们要的间隔。
结果：
其中||w||表示w的二范数，求所有元素的平方和，然后在开方。比如，二维平面为
可以发现，w 的模越小，间隔m 越大。
求间隔最大化------最优化问题
因此，SVM最小化以下目标函数：
其中，C是决定两类之间的裕度内训练数据点数量的常数，即训练误差，ξ是防止过拟合的松弛变量。
上面的最优超平面问题是一个凸优化问题，可以转换成了拉格朗日的对偶问题（如下图所示），判断是否满足KKT条件，然后求解w和b了（可以参考拉格朗日乘子法和KKT条件-CSDN博客）。
αi为拉格朗日乘子，函数K(x, xi) = φ(x)，Tφ(x)是核函数。
补充：
硬间隔线性SVM
可以通过分类将样本点完全分类准确，不存在分类错误的情况，这种叫硬间隔，这类模型叫做硬间隔线性SVM。
软间隔线性SVM
可以通过分类将样本点不完全分类准确，存在少部分分类错误的情况，这叫软间隔，这类模型叫做软间隔线性SVM。
样本点本身不可分
将样本从原始空间映射到一个更高纬的空间中，使得样本在新的空间中线性可分，即：核函数。
参考：学习SVM，这篇文章就够了！（附详细代码） | 机器之心 (jiqizhixin.com)【机器学习基础】一文详尽之支持向量机（SVM）算法！-腾讯云开发者社区-腾讯云 (tencent.com)学习SVM，这篇文章就够了！（附详细代码） | 机器之心 (jiqizhixin.com)