任意空间平面点云旋转投影至水平面—罗德里格旋转公式

1、背景介绍

将三维空间中位于任意平面上的点云数据，通过一系列的坐标变换（平移+旋转），使其投影到XOY平面上，同时保证点云的几何中心与XOY平面的原点重合，同时点云形状保持不变。具体效果如下，具体来说，对于原始点集（红色点集），对其进行平移+旋转处理后，得到新的点云（白色点云），该点云与水平面平行，同时保持与原始点云形状相同。

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| 三维空间动图 | 前视图（白色点云水平） | 俯视图（两点云簇形状形同） |

为什么要将点云旋转，将其与水平面平行，这样做的好处体现在以下几方面：

数据简化：将三维问题简化为二维问题，便于后续处理，如数据分析、可视化、特征提取等。
算法适用性：某些算法可能在二维平面上表现得更好或更高效，投影可以使得这类算法得以应用。
几何一致性：确保所有点云数据在同一参考平面上，便于比较和处理。

2、点云旋转投影流程与原理

2.1 流程介绍

一般来说，点云旋转投影至水平面，包括如下步骤：

中心化点云：首先计算点云的几何中心，然后将点云相对于其几何中心平移，使中心点与全局坐标系的原点重合。
确定平面法向量：找出点云所在平面的法向量，这是点云所在平面垂直于三维空间的方向。
旋转对齐：根据平面法向量与Z轴的偏差，构造旋转矩阵，旋转点云使之与XOY平面平行或重合。目的是消除Z坐标的影响，使所有点落在XOY平面上。
投影：完成旋转后，可以安全地忽略所有点的Z坐标，只保留X和Y坐标，从而将点云投影到XOY平面上。

上述四个步骤中，其实最为核心的步骤是求解旋转矩阵，本文介绍基于罗德里格旋转公式方法求解旋转矩阵。

2.2 推导过程

假设待旋转的点云集，其拟合平面对应的法向量为vectorBefore(x1,y1,z1)，经过旋转处理后，最终要得到的平面法向量为 vectorAfter(x2,y2,z2)，将这两个向量转为单位向量。

得到 va = normalize(vectorBefore), vb = normalize(vectorAfter)

② vs = vb × va, 叉乘得到旋转轴vs

③ v = normalize(vs), vs转为单位向量得到v

④ ca = vb · va, 点乘得到旋转角的余弦值 ca, 即cos(angle)

⑤ vt = v * scale, 对v进行缩放，方便后面计算, scale = 1 - ca

⑥ 旋转矩阵rm为 [3,3]矩阵, 计算原理为罗德里格旋转公式(Rodrigues' rotation formula)

rm[0,0] = vt.x * v.x + ca

rm[1,1] = vt.y * v.y + ca

rm[2,2] = vt.z * v.z + ca

vt.x *= v.y

vt.z *= v.x

vt.y *= v.z

rm[0,1] = vt.x - vs.z

rm[0,2] = vt.z - vs.y

rm[1,0] = vt.x - vs.z

rm[1,2] = vt.y - vs.x

rm[2,0] = vt.z - vs.y

rm[2,1] = vt.y - vs.x

3、测试与结果

基于上述步骤原理，使用C++进行编程，使用Eigen库进行向量点乘、叉乘。源代码下载链接：

https://download.csdn.net/download/qq_32867925/89552493

随机生成10000个位于同一平面点集，其中可以根据需要修改平面方程，从而生成不同平面上点集。

cpp 复制代码

for (int i = 0; i < numpt; i++)
	{
		double x = rand() % 500;
		double y = rand() % 500;
		double z = 1 * x + 1 * y - 5;//假设平面方程类型 x+y-z-5=0

		Vector3d temp(x, y, z);
		points.push_back(temp);
	}

不进行中心化处理进行旋转，即旋转中心随机，结果如下，平面方程为：x+y-z-5=0。其中，红色点集为原始点云，白色点集为旋转后点集。可以发现，白色点集均处于水平，即旋转成功，与水平面平行。通过解算参数也可以看出，z轴方向的法向量分量为-1，x轴、y轴分量为0。

4、总结

介绍了三维空间内平面点云旋转平移，投影至水平面过程，并展示程序测试效果。