先把这个推导看完
现在我们来讲一下总结
首先，我们要观察到 c i c_i ci递增，这样才能更简单，就不用像国王游戏那样在交换前后比较 i i i和 j j j的max了（就是说，国王游戏需要比较 m a x ( c i , c j ) max(c_i,c_j) max(ci,cj)和 m a x ( c j ′ , c i ′ ) max(c_j^{'},c_i^{'}) max(cj′,ci′)，但是这道题目就只用比较 c j c_j cj和 c i ′ c_i^{'} ci′）
然后，这道题目教会了我们如果去掉max中的max（或min中的min）：先把外层max外面的项全部移动到外层max里面，然后再对内层max进行类似的操作，最终就可以只保留一个max了
那么为什么这道题目能够消掉 y + b i + b j y+b_i+b_j y+bi+bj呢？其实就像题解里面说的，数学上是肯定错误的，但是对于这类题目（注意是这类题目，不是这道题目，至于这类是哪一类，见本文最后）是都可以消去的
我们考虑最终的⑤式，如果我们最终的序列满足⑤式，那么肯定是可以推导到①式上面的那一个式子的，那么对这个式子，我们给两个max里面都加上 y + b i + b j y+b_i+b_j y+bi+bj，肯定也是成立的，而这就是我们最开始推导的那一个式子
就是说，我们按照这种排序规则排序后，最开始的式子就能够被推导出来，就不会出现交换相邻两项出现更优的情况
所以以后遇到这种题，如果是 m a x ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . . ) ≤ m a x ( b 1 , b 2 , b 3 , . . . . ) max(a_1,a_2,a_3,....)≤max(b_1,b_2,b_3,....) max(a1,a2,a3,....)≤max(b1,b2,b3,....)，如果存在 i i i和 j j j，使得 a i = b j a_i=b_j ai=bj，我们直接消去这两项即可
然后我们根据这个式子排序（注意cmp函数里面不要加等于号，stl的排序都不要加）后模拟即可
但是，有一个很自然的问题：最终的排序一定是最优的吗？
就是说，最优排序一定满足这个条件，但是满足这个条件的一定是最优排序吗？
答案是否定的
比如下面：
7 3
1 1
1 6
然而还有一种排序也满足条件：
1 1
1 6
7 3
但是前者算出来17，后者算出来12
怎么解决？
首先明白一个定理：任何一个序列都可以通过有限次邻项交换变成任何另一个序列
我们这个时候回到国王游戏这一道题目
这一道题目按照 a i × b i ≤ a i + 1 × b i + 1 a_i \times b_i ≤ a_{i+1} \times b_{i+1} ai×bi≤ai+1×bi+1排序，那么中间会存在一些乘积相等的数（就是这个序列被分成了若干个块，每个块之间的乘积严格递增，但是块内的乘积相等），那么最优答案不可能会在块之间进行交换，因为答案会变差（当然最优序列也必须满足以上条件，就是说如果想通过交换邻项去得到更优的情况，一定是在块内交换的），然而在块内交换，由于乘积都相等，每一次交换答案都不变，所以我们任意找一个满足条件的序列就可以了
我们思考一下上面的排序有何特殊的地方：每一个关键字都只跟自身元素有关，而不是像⑤式一样跟前后两项都有关
就是说，如果关键字只跟自身有关，那么排序后关键字肯定就具有传递性，在同一块内任意交换，由于具有传递性，就会导致答案不变，所以任何一个序列都满足题目
这里传递性主要是去满足接下来说的"消除逆序对"。我们通过邻项交换证明出来一个不等式，如果这个不等式没有被满足，就是存在"逆序对"
那么回到皇后游戏，我们要想办法把⑤式变成只跟自身有关的式子，由于只跟自身有关系，所以我们按照每个大臣 a a a和 b b b的大小进行讨论
一旦当我们按照上述方法排序后，这个序列是满足⑤式的，每个块中（一共有三个组，每个组里面有若干个块）任意交换都不会改变答案（也可以证明块间交换答案不会更优）
比如在第一组内，交换 i i i和 i + 1 i+1 i+1，其中 a i = a i + 1 a_i=a_{i+1} ai=ai+1
设 d = m a x ( c i − 1 , ∑ j = 1 i a j ) d=max(c_{i-1},\sum_{j=1}^{i} a_j) d=max(ci−1,∑j=1iaj)
交换前：因为 d ≥ ∑ j = 1 i a j , b i ＞ a i d≥\sum_{j=1}^{i} a_j,b_i＞a_i d≥∑j=1iaj,bi＞ai，则有 m a x ( d + b i , ∑ j = 1 i a j + a i + 1 ) + b i + 1 = d + b i + b i + 1 max(d+b_i,\sum_{j=1}^{i} a_j + a_{i+1})+b_{i+1}=d+b_i+b_{i+1} max(d+bi,∑j=1iaj+ai+1)+bi+1=d+bi+bi+1
交换后：因为 b i + 1 ＞ a i + 1 = a i b_{i+1}＞a_{i+1}=a_i bi+1＞ai+1=ai，则有 m a x ( d + b i + 1 , ∑ j = 1 i a j + a i + 1 ) + b i = d + b i + b i + 1 max(d+b_{i+1},\sum_{j=1}^{i} a_j + a_{i+1})+b_{i}=d+b_i+b_{i+1} max(d+bi+1,∑j=1iaj+ai+1)+bi=d+bi+bi+1
所以前后不变
最后还有一些想说的
我们最开始化出来的⑤式，其实是不能保证最优结果一定符合的，因为这个式子不只是跟自身元素有关，我们只能说明如果不符合这个式子，我们交换后结果不可能变差，然而也可能不会变好，然后我们经过无限次交换都不能消除这个逆序，这完全是可能的
然而通过这个式子，我们推导出了最后的排序方案，这个方案只跟自身元素有关了，于是，我们就可以统计逆序对，这题的逆序对定义为：若 i ＜ j i＜j i＜j且 i i i的大组 > j >j >j的大组或者 i i i和 j j j是同一个组但是两者不符合组内的排序条件，那么 ( i , j ) (i,j) (i,j)就是一个逆序对
我们先来考虑最优答案会不会存在有关大组的逆序对，也就是说，我们给每个人分组， a < b a<b a<b的是第一组， a = b a=b a=b的是第二组， a > b a>b a>b的是第三组，假设我们已经获得了一个最优的排序了，这个排序是不可能存在大组编号逆序对的（比如 i < j i<j i<j且 i i i的大组 > j >j >j的大组，光看大组编号的话，这个逆序对关系显然具有传递性，因为组的编号也只跟自身 a a a和 b b b的相对大小有关，于是有逆序对就一定有相邻逆序对，即 i i i的大组 > i + 1 >i+1 >i+1的大组，我们交换 i i i和 i + 1 i+1 i+1就可以消除一个大组逆序对，可以证明答案不会变差）
经过上面的分析，最终的最优答案一定不会包含大组逆序对，我们再对每个大组进行排序，通过类似分析也可以消除剩下的逆序对（这个逆序对就不是大组逆序对了，因为前面大组逆序对已经被消除了，这个逆序对是 i i i和 j j j是同一个组但是两者不符合组内的排序条件的逆序对，很显然这个逆序对也有传递性，因为此时第一维 a a a已经固定了，我们只用看与自身 有关的第二维 b b b就好了），从而得到最终的序列（注意最终的序列在块内随意交换答案都不变了，所以我们随便找一个最终的序列就好了，这一定是最优的序列）
为什么我们最开始要以 a a a和 b b b的相对大小作为划分依据呢？应该是经验吧，而且此时注意，这样一定会分出大组，对于其他类似的题目，我们都像上面这样分析，即先考虑消除大组逆序对，再考虑消除组内逆序对
我们再回头看看国王游戏，如果已经找到了一个最优方案而且这个最优方案有逆序对，那么可以通过相同的方法消除所有逆序对来得到一种最优方案
所以总结一下这类题目：给你一个序列，每个元素有若干个属性，让你对这个序列任意排序，使得最大量最小或者最小量最大，那么就可以通过领项交换先得出一种最优式子，如果这个式子与前后两项有关（比如皇后游戏），想办法化作只与自身有关，然后就可以利用逆序对的传递性来解决问题了
update 2024.7.21
重新做的时候做出来了，但是解释新发现了一个疑问（幸好立马解决了）：这里列式子只考虑了邻项，但是后面的 c c c也可能会因为前面的 c c c的变化而变化，为什么不用考虑？实际上，显然对于后面的 c c c来说，前面的 c c c越小越好，所以我们最后搞出来了一个充分条件，让 c c c尽量小就好了
前面说的可以去掉 y + b i + b j y+b_i+b_j y+bi+bj，实际上就是在找充分条件。数学上进行消元找的都是充要条件，但是这里我们做题只用找出充分条件。当然有些时候消掉相同项也不是说就能找出充分条件了，但是我们可以这么尝试一下，如果能够尝试出来，就可以通过消掉相同项化简