给出集合 [1,2,3,...,n]
,其所有元素共有 n!
种排列。
按大小顺序列出所有排列情况,并一一标记,当 n = 3
时, 所有排列如下:
"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"
给定 n
和 k
,返回第 k
个排列。
示例 1:
输入:n = 3, k = 3
输出:"213"
示例 2:
输入:n = 4, k = 9
输出:"2314"
示例 3:
输入:n = 3, k = 1
输出:"123"
提示:
1 <= n <= 9
1 <= k <= n!
解题思路:
例如: n = 4, k = 9
可以知道全排列有:4*3*2*1 = 24种,如下:红色框住的为第9个
从上图可知,以1开头的全排列 (4-1)! = 6 共6种 ;
9 / 6 = 1······3,也就是该数位于2开头的第三个。
同理,第一位2确定后,剩下三位 1 3 4,接下来需要确定第二位;
由上面的图片可知, 1 3 4全排列每一列分别有两个数(3-1)!,3 / 2 = 1······1,可知位于第二列开头的第一个
然后确定第三位 ,第三位则还剩下2个数:1和4;
1和4的全排列:
1 4排列,每类(2-1)! = 1,1 / 1 = 1·····0,可知位于1开头的第一个
最后一位数,只有一种情况: (1-1)! = 1
具体算法如下:
1、定义一个逆康托数组,记录n位数字对应每个数字开头序列的个数,例如4位数prenum[1, 1, 2, 6]
将k值-1,再进行计算,这里-1是为了 9 % 6 = 3,而数组下标从0开始,-1后方便计算。
2、定义一个valid数组[0.....n];记录还没有被使用的数字, 已经使用的需要移除
3、(k -1 ) / prenum[n - i - 1] + 1就是分别计算每一位数字位于那一列;例如 (9 -1)/ 6 + 1= 2,说明第一个数字为2,ans累加vali[2] ,2被使用后erase掉,valid中剩余[0,1,3,4]
然后k记录剩余未计算的数 8 % 6 = 2
k = 2再重复计算,可得到 2/2 + 1 = 2; 再取走valid中的第2个
同理依次取完。
完整代码如下:
class Solution {
public:
string getPermutation(int n, int k) {
//prenum = {0!, 1!, 2!, 3!, .....(n-1)!}
vector<int> pernum(n);
pernum[0] = 1;
for(int i= 1; i < n; i++) {
pernum[i] = pernum[i-1] * i;
}
//k-- 方便取余后计算
k--;
string ans;
vector<int> valid(n+1);
//生成[0,1,2....n]的数组
iota(valid.begin(), valid.end(), 0);
for(int i = 0; i < n; i++) {
int order = k / pernum[n-i-1] + 1;
ans += (valid[order] + '0');
//用了就从数组中删除
valid.erase(valid.begin() + order);
k %= pernum[n-i-1];
}
return ans;
}
};
拓展:康托展开,也就是在全排列中,给定一个序列,求该序列位于第几个。
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
class Solution {
public:
//求阶乘
int fact(int x) {
int ret = 1;
for(int i = 2; i <= x; i++) {
ret *= i;
}
return ret;
}
int getStringId(string str) {
int len = str.size();
int ans = 0;
for(int i = 0; i < len; i++) {
int cnt = 0;
//记录后面的数有几个比当前的数小;
//例如2314 314中只有1个数比第一位小,说明该数位于第二列。
for(int j = i + 1 ; j < len; j++) {
if(str[j] < str[i]) {
cnt ++;
}
}
ans += cnt*fact(len- i -1);
}
return ans+1;
}
};
int main()
{
string s;
cin >> s;
Solution sol;
cout << "位于序列第:" << sol.getStringId(s) << " 位" << endl;
return 0;
}