【题解 && Kruskal重构树 && LCA】 星际导航

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分析：

这也是一个比较老的题目了

今天突然想学一下kruskal重构树，就做到了这个题。

首先我们要明白，为什么这道题的路径一定是在最小生成树里？

或许是我们惯有的经验：最小的最大或者最大的最小无非两种套路：

二分答案以及最小生成树。

仔细一想发现二分答案在这道题并不可行。

于是我们将矛头转向了最小生成树。

但是为什么呢？

首先我们明白，两个点之间的路径，其实是一个生成子图，或者说生成子树。

想要最大边最小，其实感性理解一下，就等价于让两个点连通的代价最小。

我们回想最小生成树的思路，这个时候有两个点x和y

如果x和y不连通，说明我们这个时候甚至找不到x和y的一条路径，也就无法求最大边的最小值。

这个时候如果我们在加入一条边v，使得x和y能够连通

那么ok，显然这条边就是我们想找的答案。

也就是x到y路径上的最大边的最小值。

为什么是最大边？

因为这是让x和y连通加入的最后一条边，前面的加边都比他小

为什么是最大的最小？

因为如果我们不要这条边，而选择后面的边，让x和y能够连通，后面的边显然都比他大。

所以又是最小。

这里的最大与最小其实是从两个维度看，理解不同罢了。

那么明白之后其实这道题就变成了Kruskal重构树的模板题。

Kruskal就是将最小生成树的边化为点

边权变成点权

这样子就得到了一颗二叉树

而且原图上的点都是叶子结点

原图上两点的边权就是他们的LCA

因为我们建树加边的时候是按照边权从小到大加边

所以满足越上面的点的边权越大。

于是两个点之间的最大边权就变成了重构树上的LCA的点权。

那么这题就结束了

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int N = 3e5+100;
int n,m;
struct E{
	int x,y,z;
}e[3*N];
int Fa[N][30];
int fa[N];
int cnt;
int v[N*2];
vector < int > a[N];
int d[N]; 
#define pb push_back

bool cmp(E x,E y){
	return x.z < y.z;
}

int getfa(int x){
	return x == fa[x]?x:fa[x] = getfa(fa[x]);
}

void Dfs(int x,int faa,int de){
	d[x] = de;
	Fa[x][0] = faa;
	for (int i = 0; i < a[x].size(); i++){
		int y = a[x][i]; if (y == faa) continue;
		Dfs(y,x,de+1);
	}
}

void Prefa(){
	for (int j = 1; j < 30; j++)
	  for (int i = 1; i <= cnt; i++)
	    if (Fa[i][j-1] == -1) Fa[i][j] = -1;
	    else Fa[i][j] = Fa[Fa[i][j-1]][j-1];
}

int Lca(int x,int y){
	if (d[x] < d[y]) swap(x,y);
	for (int dd = d[x]-d[y],i=0; dd; dd>>=1,i++)
	  if (dd&1) x = Fa[x][i];
	if (x == y) return x;
	for (int i = 29; i >= 0; i--)
	  if (Fa[x][i]!=Fa[y][i]) x = Fa[x][i] , y = Fa[y][i];
	return Fa[x][0];
}

signed main(){
	scanf("%lld %lld",&n,&m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) v[i] = 0;
	cnt = n;
	for (int i = 1,x,y,z; i <= m; i++)
	  scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&z),e[i] = {x,y,z};
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	for (int i = 1; i < N; i++) fa[i] = i;
	for (int i = 1; i <= m; i++){
		int x = e[i].x , y = e[i].y , z = e[i].z;
		x = getfa(x) , y = getfa(y);
		if (x == y) continue;
		++cnt; v[cnt] = z;
		a[cnt].pb(x); a[cnt].pb(y);
		a[x].pb(cnt); a[y].pb(cnt);
		fa[x] = cnt; fa[y] = cnt;
	}
//	memset(Fa,-1,sizeof Fa);
	for (int i = cnt; i >= 1; i--)
	  if (!d[i]) Dfs(i,-1,1);
	Prefa();
	int q; cin>>q;
	while (q--){
		int x,y; 
		cin>>x>>y;
		int X = getfa(x) , Y = getfa(y);
		if (X!=Y){
			cout<<"impossible"<<endl;
			continue;
		}
		int L = Lca(x,y);
		printf("%lld\n",v[L]);
	}
	return 0;
}