【数据结构】AVL树(平衡二叉搜索树)

追风赶月、2024-07-25 22:01

文章目录

  • 1.AVL树
    • [1.1 AVL树的概念](#1.1 AVL树的概念)
    • [1.2 AVL树节点的定义](#1.2 AVL树节点的定义)
    • [1.3 AVL树的插入](#1.3 AVL树的插入)
    • [1.4 AVL树的旋转](#1.4 AVL树的旋转)
      • [1.4.1 左单旋](#1.4.1 左单旋)
      • [1.4.2 右单旋](#1.4.2 右单旋)
      • [1.4.3 右左双旋](#1.4.3 右左双旋)
      • [1.4.4 左右双旋](#1.4.4 左右双旋)
    • [1.5 AVL树的平衡验证](#1.5 AVL树的平衡验证)
    • [1.6 AVL树的删除](#1.6 AVL树的删除)
    • [1.7 AVL树的性能](#1.7 AVL树的性能)

1.AVL树

在前面，我们已经介绍过了二叉搜索树，也了解到二叉搜索树查找的效率非常的高。但是在数据有序或接近有序时，它就会退化成单边树，那样效率就变得非常低了。所以我们也一直说二叉搜索树的搜索的时间复杂度是O(N) (高度次)，并不是O(log~2~N)。

因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

1.1 AVL树的概念

由于二叉搜索树可能会退化，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

为什么要求左右子树的高度之差不超过1就可以呢？

对于所有形状的子树来说，如果他有2^n^-1个节点，那它就可以保持绝对的平衡；如果他有2^n^ (n >= 1)个节点，就无法做到绝对的平衡，最好的结果就是子树高度相差一。

一棵AVL树要么是空树，要么是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果他有n个节点，其高度可保持在log~2~N，搜索的时间复杂度就是log~2~N。

1.2 AVL树节点的定义

为了方便确认一棵树是否是AVL树，我们在节点中定义一个平衡因子，通过它来记录每棵树左右子树的高度。

如果右子树比左子树高一层，那平衡因子就是1；如果左右子树一样高，那平衡因子就是0；如果左子树比右子树高一层，那平衡因子就是-1。此时AVL树的性质都没有被打破。

当左子树比右子树高两层，那平衡因子就是-2；或者右子树比左子树高两层，平衡因子就是2，此时AAVL树的性质就被打破了，需要调整。

在调整失衡的AVL树时，我们需要频繁的访问其父节点，因此我们给每个节点定义一个指向父亲的指针

cpp 复制代码 
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;  //存放数据
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _prev;  //指向当前节点的父亲
	int _bf;//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,prev(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};

1.3 AVL树的插入

AVL树的插入与普通二叉搜索树的插入基本一致。唯一的区别就是AVL树插入节点后需要判断AVL树是否失衡，存在失衡就需要调整。

我们平衡因子是使用右子树的高度-左子树的高度，因此，如果新节点插入到父节点的右边，那父亲的平衡因子+1；如果新节点插入到父亲节点的左边，那父亲的平衡因子-1。

对于情况二来说，新节点的插入不会影响其祖先的平衡因子的改变，因为子树的高度没有改变。

对于情况一来说，新节点的插入会影响其祖先的平衡因子的改变，因为子树的高度变高了。

所以，对于情况一来说，我们新插入节点后，还要观察其祖先的平衡因子是否变化，变化后是否需要调整。

那么下面我们就先将节点插入到树中：

cpp 复制代码 
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//插入前是空树
		if (_root == nullptr)
		{
			//新插入的节点就是根
			_root = new Node(kv);
			_root->_prev = nullptr;
			return true;
		}
		else
		{
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			//寻找插入位置
			while (cur)
			{
				if (cur->_kv.first < kv.first)
				{
					parent = cur;//记录父节点，以便后序连接
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_kv.first > kv.first)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					return false;//节点已经存在，插入失败
				}
			}
			//已找到了插入位置
			cur = new Node(kv);
			//判断连接在父亲的哪一侧
			if (parent->_kv.first < kv.first)
				parent->_right = cur;
			else
				parent->_left = cur;
			cur->_prev = parent;//指向父亲

			//判断树是否失衡
			//...
		}
	}

更新父亲/祖先的平衡因子

cpp 复制代码 
		//判断树是否失衡
			while (parent)
			{
				//更新父亲的平衡因子
				if (parent->_left == cur)
					parent->_bf--;
				else
					parent->_bf++;
					
				if (parent->_bf == 0)//属于情况二，不影响祖先
					break;
				//情况一，影响祖先的平衡因子，需要继续更新
				else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				{
					cur = parent;
					parent = cur->_prev;
				}
				else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				{
					//旋转处理
					break;
				}
				else
				{
					assert(false);//平衡因子异常了
				}
			}

1.4 AVL树的旋转

AVL树的旋转分为四种情况：

  • 左单旋
  • 右单旋
  • 左右双旋
  • 右左双旋

下面，我们对这四种情况具体分析

1.4.1 左单旋

新节点插入到较高右子树的右侧- -左单旋

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

  1. 7节点的左孩子可能存在，也可能不存在
  2. 6可能是根节点，也可能是子树
    • 如果是根节点，旋转完成后，根节点就是7
    • 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，需要判断以后连接
cpp 复制代码 
void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;//父亲的右孩子

		Node* subRL = subR->_left;//右孩子的左孩子
		//升高度，连孙子
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_prev = parent;
		
		Node* parentPrev = parent->_prev;
		//降高度，变父亲
		subR->_left = parent;
		parent->_prev = subR;

		//连接旋转后的子树
		subR->_prev = parentPrev;
		if (parentPrev == nullptr)
		{
			//如果原父亲就是根，旋转后的儿子变根
			_root = subR;
		}
		else
		{
			//原父亲是子树，判断儿子连接在哪一边
			if (parentPrev->_left == parent)
				parentPrev->_left = subR;
			else
				parentPrev->_right = subR;
		}
		//更新平衡因子
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

1.4.2 右单旋

新节点插入到较高左子树的左侧- - 右旋

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

  1. 5节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  2. 6可能是根节点，也可能是子树
    • 如果是根节点，旋转完成后，根节点就是5
    • 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，需要判断以后连接
cpp 复制代码 
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		//升高度，连孙子
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_prev = parent;

		Node* parentPrev = parent->_prev;
		//降高度，变父亲
		subL->_right = parent;
		parent->_prev = subL;

		//新父亲指向前
		subL->_prev = parentPrev;

		if (nullptr == parentPrev)
		{
			//如果原父亲就是根，旋转后的儿子变根
			_root = subL;
		}
		else
		{
			//原父亲是子树，判断儿子连接在哪一边
			if (parentPrev->_left == parent)
				parentPrev->_left = subL;
			else
				parentPrev->_right = subL;
		}

		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

1.4.3 右左双旋

新节点插入到较高右子树的左侧- -右左双旋

所以，为了解决这种情况，我们可以将这种歪脖树先变成一棵单边树，然后再进行单旋即可。

为了满足所有情况，我们下面使用抽象图再画一遍

观察上图我们可以发现，双旋就是一种抛弃自己的孩子，独自登基的感觉，因此对于旋转后平衡因子的改变，取决于新节点插入到哪一边，最后又到哪里去。

cpp 复制代码 
void RotateRL(Node* parent)
	{
		//由于单旋会改变节点的位置以及平衡因子，所以提前记录

		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		//修改平衡因子
		if (bf == 0)//subRL插入前是空
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)//subRL之前是一棵树，新节点插入其  右侧
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else			 //subRL之前是一棵树，新节点插入其  左侧
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
		}
	}

1.4.4 左右双旋

新节点插入到较高左子树的右侧--左右双旋

最简单的情况，2的右子树插入前为空

抽象图

跟右左双旋基本一样，这里就不赘述了，咱们直接开旋。

平衡因子的改变也需要小心。

cpp 复制代码 
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0) // subLR插入前为空
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1) //subLR是一棵树，新节点插入到树的  右侧
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else              //subLR是一棵树，新节点插入到树的  左侧
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
	}

下面就是更新平衡因子的整体思路：

cpp 复制代码 
			//判断树是否失衡
			while (parent)
			{
				//更新父亲的平衡因子
				if (parent->_left == cur)
					parent->_bf--;
				else
					parent->_bf++;

				if (parent->_bf == 0)//属于情况二，不影响祖先
					break;
				//情况一，影响祖先的平衡因子，需要继续更新
				else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				{
					cur = parent;
					parent = cur->_prev;
				}
				else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				{
					//旋转处理
					//左单旋
					//    p                     cur
					//      cur      --->    p      new
					//         new
					if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
						RotateL(parent);
					//右单旋
					//			p               cur
					//		cur      --->   new     p
					//	new
					else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
						RotateR(parent);
					//右左双旋
					//     p            p                  cur
					//        cur  -->    cur      -->   p     new
					//     new                new
					else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
						RotateRL(parent);
					//左右双旋
					//      p             p            cur
					//  cur      -->    cur      --> new   p     
					//     new        new
					else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
						RotateLR(parent);
					else
						assert(false);

					break;//旋转后，以parent为根的树已经平衡，无需继续向上更新
				}
				else
				{
					assert(false);//平衡因子异常了
				}

总结：

假如以Parent为根的子树不平衡，即Parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

  1. Parent的平衡因子为2，说明Parent的右子树高，设Parent的右子树的根为SubR
    • 当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋
    • 当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
  2. Parent的平衡因子为-2，说明Parent的左子树高，设Parent的左子树的根为SubL
    • 当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
    • 当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原Parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

1.5 AVL树的平衡验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

  1. 验证其为二叉搜索树
    • 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
  2. 验证其为平衡树
    • 每个节点子树高度差的绝对值不能超过1
    • 节点的平衡因子是否计算正确
cpp 复制代码 
	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	
	bool _isBalanceTree()
	{
		return isBalanceTree(_root);
	}

	bool isBalanceTree(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)//空树也是平衡二叉搜索树
			return true;

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		int gap = rightHeight - leftHeight;  //计算root的平衡因子
		// 如果计算出的平衡因子与root的平衡因子不相等，或者
		//root平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (gap != root->_bf || (gap > 1 || gap < -1))
		{
			return false;
		}
		return isBalanceTree(root->_left) && isBalanceTree(root->_right);
	}

1.6 AVL树的删除

  • 因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除
  • (分析有无左右孩子，若仅有一个孩子，则直接将删除节点连接孩子；若有两个孩子，将删除节点替换为删除节点的左子树的最大或右子树的最小)
  • 然后再更新平衡因子，只不过与插入不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

1.7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log~2~N。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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