【算法】退火算法 Simulated Annealing

退火算法（Simulated Annealing, SA）是一种基于热力学模拟的优化算法，用于求解全局优化问题。它通过模拟物理退火过程来寻找全局最优解。以下是退火算法的基本原理和步骤：

一、基本原理

退火算法的灵感来源于金属在高温下缓慢冷却至低温的过程，这一过程中，金属原子逐渐排列成能量最低的晶格结构。类似地，退火算法通过模拟这一过程，在解空间中逐渐收敛到全局最优解。

二、算法步骤

1. 初始解与温度设定：

   • 随机生成一个初始解。
   • 设定初始温度 T 。

2. 循环过程：

   • 在当前解的邻域内随机生成一个新解。
   • 计算新解与当前解的目标函数值差异ΔE。
   • 如果 ΔE≤0，接受新解（新解更优）。
   • 如果 ΔE>0，以概率 P=exp(−ΔE/T) 接受新解（防止陷入局部最优）。
   • 逐步降低温度 T（根据某个降温函数，如T=T×α，其中 α 为冷却速率，通常 0.8≤α≤0.99）。

3. 终止条件：

   • 当温度 T 低于某一阈值时，停止循环。
   • 或者达到预设的最大迭代次数时，停止循环。

伪代码

function SimulatedAnnealing(InitialSolution, InitialTemperature, CoolingRate, StoppingTemperature):
    currentSolution = InitialSolution
    currentTemperature = InitialTemperature

    while currentTemperature > StoppingTemperature:
        newSolution = GenerateNeighbor(currentSolution)
        deltaE = Evaluate(newSolution) - Evaluate(currentSolution)

        if deltaE < 0:
            currentSolution = newSolution
        else if exp(-deltaE / currentTemperature) > random():
            currentSolution = newSolution

        currentTemperature = currentTemperature * CoolingRate

    return currentSolution

三、应用领域

退火算法在许多领域得到了广泛应用，包括但不限于：

• 组合优化问题，如旅行商问题（TSP）。
• 连续优化问题，如函数最优化。
• 工程设计优化，如电路设计、结构优化等。

应用举例：旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）

旅行商问题是经典的组合优化问题，描述的是一名旅行商需要访问若干城市并返回出发城市，要求访问每个城市一次且总距离最短。

问题描述

给定若干城市和城市间的距离矩阵，找到一个访问所有城市的最短路径。

退火算法求解TSP步骤

1. 初始解与温度设定：

   • 随机生成一个初始路径作为初始解。
   • 设定初始温度 T 和降温速率 α。

2. 生成邻域解：

   • 在当前路径中随机交换两个城市的位置，生成一个新路径。

3. 目标函数：

   • 计算路径的总距离。

4. 接受新解的准则：

   • 根据退火算法的准则接受或拒绝新解。

import random
import math

def simulated_annealing(dist_matrix, initial_temp, cooling_rate, stopping_temp):
    def total_distance(path):
        return sum(dist_matrix[path[i]][path[i+1]] for i in range(len(path) - 1)) + dist_matrix[path[-1]][path[0]]

    def swap_two_cities(path):
        new_path = path[:]
        i, j = random.sample(range(len(path)), 2)
        new_path[i], new_path[j] = new_path[j], new_path[i]
        return new_path

    current_solution = list(range(len(dist_matrix)))
    random.shuffle(current_solution)
    current_distance = total_distance(current_solution)
    current_temp = initial_temp

    best_solution = current_solution[:]
    best_distance = current_distance

    while current_temp > stopping_temp:
        new_solution = swap_two_cities(current_solution)
        new_distance = total_distance(new_solution)
        delta_distance = new_distance - current_distance

        if delta_distance < 0 or math.exp(-delta_distance / current_temp) > random.random():
            current_solution = new_solution
            current_distance = new_distance

            if new_distance < best_distance:
                best_solution = new_solution
                best_distance = new_distance

        current_temp *= cooling_rate

    return best_solution, best_distance

# 示例距离矩阵
distance_matrix = [
    [0, 10, 15, 20],
    [10, 0, 35, 25],
    [15, 35, 0, 30],
    [20, 25, 30, 0]
]

initial_temperature = 1000
cooling_rate = 0.95
stopping_temperature = 0.01

best_path, best_path_distance = simulated_annealing(distance_matrix, initial_temperature, cooling_rate, stopping_temperature)

print("最短路径:", best_path)
print("最短路径距离:", best_path_distance)

解释

1. total_distance: 计算路径的总距离。
2. swap_two_cities: 在路径中随机交换两个城市的位置，生成一个新路径。
3. simulated_annealing: 退火算法的主函数，接受距离矩阵、初始温度、冷却速率和停止温度作为参数。
4. distance_matrix: 一个示例距离矩阵，定义了各个城市之间的距离。
5. initial_temperature, cooling_rate, stopping_temperature: 退火算法的参数。

运行此代码将输出最短路径及其对应的总距离。

结果示例

最短路径: [0, 2, 3, 1]
最短路径距离: 80

四、优缺点

优点：

• 能够逃避局部最优，找到全局最优解。
• 适用于各种复杂优化问题。
• 实现相对简单，参数可调节性强。

缺点：

• 计算量较大，尤其在早期迭代阶段。
• 参数设置（初始温度、冷却速率、停止温度等）对算法性能影响较大，需要实验调整。

总之，退火算法通过模拟物理退火过程，有效地解决了许多复杂的全局优化问题，是一种通用且强大的优化算法。