【C++】：AVL树的深度解析及其实现

霍霍哈嗨2024-07-28 8:37

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🚀前言

上一篇文章对map/multimap/set/multiset 进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的 ，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N) ，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

本篇文章介绍的就是平衡树之一的：AVL树。

注意：本篇文章AVL树实现的 key_value 模型。因为实际上 map/set 的底层并不是用AVL树封装的，而是用红黑树（下一篇文章），在红黑树的部分我们再对 key 和 key_value 模型进行更深层次的封装。

一，AVL树的概念

对于二叉搜索树极端情况下查找效率低下的问题，有大佬提出了这样的解决方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

(1) 它的左右子树都是AVL树 ；
(2) 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树 。如果它有n个结点，其高度可保持在
O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2n)。

二，AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

(1) 三叉链：左子树，右子树，父亲。

(2) 平衡因子：一般情况下是，右子树高度 - 左子树高度 。

(3) key_value 模型的 pair 类型的数据。

c 复制代码 
template<class K, class V>
struct AVLTNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTNode<K, V>* _left;
	AVLTNode<K, V>* _right;
	AVLTNode<K, V>* _parent;

	int _bf; //平衡因子：右子树高度- 左子树高度

	AVLTNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

三，AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么

AVL树的插入过程可以分为两步：

3.1 第一步

先按照二叉搜索树的方式插入新节点：

c 复制代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
			return false;
	}
	cur = new Node(kv);
	
	//链接时要判断链接在左还是右
	if (parent->_kv.first > kv.first)
		parent->_left = cur;
	else
		parent->_right = cur;

	cur->_parent = parent;

	// 调节平衡因子......
	
	return true;
}

3.2 第二步

再调整节点的平衡因子：

根据插入情况来更新 parent 的平衡因子，并且根据平衡因子来判断是否破坏了AVL树的平衡性。

重点分析：

在插入之前，parent 的平衡因子可能为：-1，0或1。插入分以下两种情况：

(1) 如果 cur 插入到 parent 的左侧，只需给 parent 的平衡因子 -1 即可

(2) 如果 cur 插入到 parent 的右侧，只需给parent 的平衡因子 +1 即可

插入后，此时：parent 的平衡因子可能为：0，正负1， 正负2。对应下面三种情况：

(1) 如果 parent 的平衡因子为0 ，说明插入之前 parent 的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功，停止检查；

(2) 如果 parent 的平衡因子为正负1 ，说明插入前 parent 的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以 parent 为根的树的高度增加，需要继续向上更新检查；

(3) 如果 parent 的平衡因子为正负2 ，则 parent 的平衡因子违反平衡树的性质，此时需要对其进行旋转处理

c 复制代码 
//调节平衡因子......续上文代码

//从cur开始，一直向上更新。根据cur是parent的左或右，
// 对parent的平衡因子--或++
while (parent)
{
	if (cur == parent->_left)
		parent->_bf--;
	else
		parent->_bf++;

	if (parent->_bf == 0)
		break; // 此时平衡了，停止更新
	else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
	{
		//继续向上更新
		cur = parent;
		parent = parent->_parent;
	}
	else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
	{
		// 旋转操作......
	}
}

四，AVL树的旋转

如果 parent 的平衡因子为正负2，此时必须调整树的结构，使之平衡化。

根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种，下面将通过抽象图与具象图进行详细介绍：

说明：下面的抽象图中 a/b/c/d 表示AVL树，h/h+1 表示树的高度， h >= 0。

4.1 右单旋

新节点插入较高左子树的左侧 --- 左左：右单旋

抽象图：

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左

子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

(1) 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在；

(2) 60可能是根节点，也可能是子树。如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点，如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

具象图：

具象图的实际情况有无穷多种，这里用 h == 1 来说明情况。

插入新增后向上检查变到第二个图，此时需要旋转，把30的右子树拿给60当左子树，60的左边太高了，把它向下压降低高度，把60那个子树拿给30当右子树。

代码实现如下：

c 复制代码 
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;
	parent->_left = subLR;

	subL->_right = parent;

	//改变之前记录
	Node* ppNode = parent->_parent;
	parent->_parent = subL;

	//parent为根
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		//parent为一颗子树
		if (ppNode->_left == parent)
			ppNode->_left = subL;
		else
			ppNode->_right = subL;

		subL->_parent = ppNode;
	}

	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

4.2 左单旋

新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

实现及情况考虑可参考右单旋。

抽象图：


具象图：

代码实现如下：

c 复制代码 
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;
	parent->_right = subRL;

	subR->_left = parent;

	Node* ppNode = parent->_parent;
	parent->_parent = subR;

	//parent为根
	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		//parent为一颗子树
		if (ppNode->_left == parent)
			ppNode->_left = subR;
		else
			ppNode->_right = subR;

		subR->_parent = ppNode;
	}

	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

4.3 右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋。

抽象图：

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对90进行右单旋，然后再对30进行左单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

具象图：

有了上面的左单旋，右单旋，双旋可以直接复用，双旋后麻烦的是平衡因子的更新，又有三种情况：

旋转前保存 subRL 的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子。

代码实现如下：

c 复制代码 
//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	
	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right); // 经过这个单旋，变成单纯的右边高
	RotateL(parent);

	if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = -1;
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else
		assert(false);
}

4.4 左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋。

抽象图：

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再

考虑平衡因子的更新。

具象图：

代码实现如下：

c 复制代码 
//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	int bf = subLR->_bf;

	RotateL(subL); // 经过这个单旋，变成单纯的右边高
	RotateR(parent);

	if (bf == -1)
	{
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subL->_bf = -1;
		parent->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else
		assert(false);
}

4.5 插入代码的完整实现

c 复制代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
			return false;
	}
	cur = new Node(kv);
	//链接时要判断链接在左还是右
	if (parent->_kv.first > kv.first)
		parent->_left = cur;
	else
		parent->_right = cur;

	cur->_parent = parent;

	//更新平衡因子
	//从cur开始，一直向上更新。根据cur是parent的左或右，
	// 对parent的平衡因子--或++
	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_left)
			parent->_bf--;
		else
			parent->_bf++;

		if (parent->_bf == 0)
			break; // 此时平衡了，停止更新
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			//继续向上更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			//当前子树出现了问题，需要旋转平衡一下
			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				//单纯左边高，右单旋
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				//单纯右边高，左单旋
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				//右左双旋
				RotateRL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				//左右双旋
				RotateLR(parent);
			}
			
			//旋转完成后，就不要继续向上更新了，因为此时已经达到了平衡，
			// 并且旋转后高度不变，不影响上面的父亲了
			break;
		}
		else
			assert(false);
	}

	return true;
}

4.6 旋转总结

总结：
假如以 parent 为根的子树不平衡，即 parent 的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：

(1) parent 的平衡因子为2 ，说明 parent 的右子树高，设 parent 的右子树的根为 subR：
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋 ，
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋。

(2) parent 的平衡因子为-2 ，说明 parent 的左子树高，设 parent 的左子树的根为 subL：
当 subL 的平衡因子为-1是，执行右单旋 ，
当 subL 的平衡因子为1时，执行左右双旋。

顺口溜：parent 和 subL/subR 的平衡因子，同号单旋，异号双旋。

旋转完成后，原 parent 为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

五，AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

(1) 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

(2) 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确。

代码实现如下：

c 复制代码 
public:
	//中序遍历
	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}

	//检查是否平衡
	bool Is_balance()
	{
		return _Is_balance(_root);
	}

private:
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return max(_Height(root->_left) , _Height(root->_right)) + 1;
	}

	bool _Is_balance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		//判断左右子树的高度差
		if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;

		}
		return _Is_balance(root->_left) && _Is_balance(root->_right);
	}

	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}

六，AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树 ，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

七，实现AVL树的完整代码

AVLTree.h

c 复制代码 
#pragma once

#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTNode<K, V>* _left;
	AVLTNode<K, V>* _right;
	AVLTNode<K, V>* _parent;

	int _bf; //平衡因子：右子树高度- 左子树高度

	AVLTNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTNode<K, V> Node;
public:
	Node* Find(const pair<K, V>& kv)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
				cur = cur->_left;
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
				cur = cur->_right;
			else
				return cur;
		}
		return nullptr;
	}

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(kv);
		//链接时要判断链接在左还是右
		if (parent->_kv.first > kv.first)
			parent->_left = cur;
		else
			parent->_right = cur;

		cur->_parent = parent;

		//更新平衡因子
		//从cur开始，一直向上更新。根据cur是parent的左或右，
		// 对parent的平衡因子--或++
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;

			if (parent->_bf == 0)
				break; // 此时平衡了，停止更新
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//继续向上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//当前子树出现了问题，需要旋转平衡一下
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//单纯左边高，右单旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//单纯右边高，左单旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右左双旋
					RotateRL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左右双旋
					RotateLR(parent);
				}
				
				//旋转完成后，就不要继续向上更新了，因为此时已经达到了平衡，
				// 并且旋转后高度不变，不影响上面的父亲了
				break;
			}
			else
				assert(false);
		}

		return true;
	}

	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		parent->_left = subLR;

		subL->_right = parent;

		//改变之前记录
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		//parent为根
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			//parent为一颗子树
			if (ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subL;
			else
				ppNode->_right = subL;

			subL->_parent = ppNode;
		}

		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

	//左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
		parent->_right = subRL;

		subR->_left = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		//parent为根
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			//parent为一颗子树
			if (ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subR;
			else
				ppNode->_right = subR;

			subR->_parent = ppNode;
		}

		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

	//右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right); // 经过这个单旋，变成单纯的右边高
		RotateL(parent);

		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
			assert(false);

	}

	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(subL); // 经过这个单旋，变成单纯的右边高
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	//中序遍历
	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}

	//检查是否平衡
	bool Is_balance()
	{
		return _Is_balance(_root);
	}

private:
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return max(_Height(root->_left) , _Height(root->_right)) + 1;
	}

	bool _Is_balance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		//判断左右子树的高度差
		if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;

		}
		return _Is_balance(root->_left) && _Is_balance(root->_right);
	}

	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};


//测试代码
void Test1()
{
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
		t.Insert({e ,e});

	t.Inorder();
	cout << t.Is_balance() << endl;
}

Test.cpp

c 复制代码 
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 

#include "AVLTree.h"

int main()
{
	Test1();

	return 0;
}

运行结果：

中序遍历是有序的，说明是搜索二叉树，返回1，说明是平衡树。

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