数据结构——堆

这篇文章将会讲述和堆有关的一些内容

1.堆的概念及结构

堆的性质

2.和堆有关的一些方法

[3.2 TopK问题](#3.2 TopK问题)

1.堆的概念及结构

堆，一种特殊的完全二叉树（不知道这个定义的可以去看上一篇文章）

论其定义：如果有一个关键码的集合K = { k0，k1 ，k2 ，...，kn-1 }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki<=K2i+1 且 Ki<=K2i+2 （Ki>=K2i+1 且 Ki>=K2i+2 ）i = 0，1， 2...，则称为小堆(或大堆)。将根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

简单理解就是越往上越小就是小堆，越往上越大就是大堆。

在程序中，我们习惯用数组存储堆

所以用代码来表示一个堆就应该是这样：

cpp 复制代码

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap {
	HPDataType* _a;
	int _size;
	int _capacity;
}HP;

堆的性质

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
堆总是一棵完全二叉树

一定要注意的一点： 小堆并不意味着从前到后为升序排列，大堆也不意味着从前到后为降序排列！！

2.和堆有关的一些方法

2.1向堆中插入元素

cpp 复制代码

//插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x);

这里指的是向原本就是堆结构的数组中插入元素

此时我们要了解一种算法：向上调整法

向上调整法

这种算法就是将元素从堆底依次与父亲比较，调整到堆顶，以保证这里依旧是个堆

cpp 复制代码

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* pa, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (pa[child] < pa[parent])
		{
			Swap(&pa[child], &pa[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}

因此，向堆中每插入一个元素，就是对这个元素进行一次向上调整

代码如下：

cpp 复制代码

//插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	//检查容量
	if (php->_capacity == php->_size)
	{
		int newcapacity = php->_capacity == 0 ? 4 : 2 * php->_capacity;
		HPDataType* a = (HPDataType*)realloc(php->_a, sizeof(int) * newcapacity);
		if (a == NULL)
		{
			perror("realloc newcapacity fail");
			return;
		}
		php->_a = a;
		php->_capacity = newcapacity;
	}
	//插入数据
	php->_a[php->_size] = x;
	AdjustUp(php->_a, php->_size);
	php->_size++;
}

2.2删除堆顶元素

我们知道删除一个元素的前提是这个地方不能为空，所以先有判空的代码：

cpp 复制代码

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
	return php->_size==0;
}

对于一个非空堆，删除一个元素，要用到一个算法：向下调整法

向下调整法

向下调整法就是把堆中某个位置的元素与其父母比较，调整到堆底，以保证这里依旧是个堆

代码如下：

cpp 复制代码

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* pa, int parent, int n)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		//假设左孩子小
		if (child + 1 < n && pa[child] > pa[child + 1])//一定要考虑右孩子是否越界
		{
			child++;
		}
		//父亲大于孩子，交换
		if(pa[child]< pa[parent])
		{
			Swap(&pa[child], &pa[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else {
			break;
		}

	}
}

值得注意的是：要进行向下调整的元素其左右分支都为同类型堆时，才能保证向下调整后还是一个堆

那么接下来就要删除堆顶元素了

这里的主要思想步骤是

将堆顶元素与堆底元素互换位置
堆的size--
将换过来的堆顶元素进行向下调整

代码如下：

cpp 复制代码

//删除堆顶元素
void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(!HPEmpty(php));
	Swap(&php->_a[0], &(php->_a[php->_size - 1]));
	php->_size--;
	//向下调整
	AdjustDown(php->_a, 0,php->_size);

}

3.堆的应用

3.1堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序：建大堆
降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

这里有一个动图：

代码如下：

cpp 复制代码

void HeapSort(int* a, int n)
{
	// 降序，建小堆
	// 升序，建大堆

	//降序
	for (int i = (n - 1 - 1)/2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, i, n);

	}
	int end = n - 1;
	while (end)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, 0, end);
		end--;
	}

	
}

关于为什么要用向下调整法而不是向上调整法：

其实两个都可以实现堆的创建，不过在这里向下调整法的效率更高

关于为什么升序：建大堆，降序：建小堆：

因为在堆删除中（以升序举例），大堆在删除时会将最大的堆顶元素移到最后，size--，在将次大的元素移到倒数第二个，size--......符合升序的规律。

3.2 TopK问题

即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

cpp 复制代码

void PrintTopK(int k)
{
	int* arr=(int*)malloc(sizeof(int)*k);
	
	//读取k个数
	FILE* fout = fopen("data.txt", "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
	int i;
	for (i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fout, "%d", &arr[i]);
	}
	

	//建堆
	for (i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, i, k);
	}

	//比较剩下n-k个数据
	int x;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) > 0)
	{
		if (x > arr[0])
		{
			arr[0] = x;
			AdjustDown(arr, 0, k);
		}
	}



	fclose(fout);
	fout = NULL;


	//
	for (i=k-1; i >=0; i--)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
}

OK，关于堆的分享就到这里啦，感谢您的观看，如果对您有帮助的话，三连支持一下孩子吧~