DP 整数拆分&不同的二叉搜索树 DAY21

整数拆分？

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

java 复制代码

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

java 复制代码

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

难点：不清楚如何拆分使得乘积最大，拆成多少项？只想到i*(n-i)两项相乘而已，还存在拆成3项、4项...

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义：

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

2.递推公式 ?

自己的想法是：dp[j]*dp[i - j]，理论上可以，但不符合DP数组定义。

那有同学问了，j怎么就不拆分呢？

j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。

递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

实际上从1遍历 j，然后有两种渠道得到dp[i]：

(1))拆成两项： j * (i - j) 直接相乘

(2)拆成两项以上：j * dp[i - j] , 相当于是拆分(i - j)

3.初始化

dp[0] = 0, dp[1] = 0;没意义

dp[2] = 1;

4.遍历顺序

从j = 3开始遍历，因为dp[2]已经初始化了。

c# 复制代码

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。

例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话也是拆成m个近似数组的子数相乘才是最大的。

只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是最差也应该是拆成两个相同的可能是最大值。

那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。

C++ 复制代码

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

总结

没完全消化，特别是递推公式...我觉得是dp[i - j] * dp[j],另外还需要取最大值max(dp[i], dp[i - j] * dp[j]);如何理解？

java 复制代码

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        if(n < 3) return n-1;
        int[] dp = new int[n + 1];//为什么是n + 1?
        //初始化
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= i - j; j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

java 复制代码

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

java 复制代码

输入：n = 1
输出：1

提示：

1 <= n <= 19

二叉搜索树

二叉搜索树又称为二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于根结点的值。

若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于根结点的值。

它的左右子树也分别是二叉搜索树。

二叉搜索树中不允许有相同值的两个结点

dp[3]，就是元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]

2.确定递推公式

dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3.dp数组初始化

初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。那么dp[0]应该是多少呢？

从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。初始化dp[0] = 1

4.确定遍历顺序

首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为 i 的状态是依靠 i 之前节点数的状态。

那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

java 复制代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];//因为初始化时有dp[0],所以需要n+1
        //初始化
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++){//计算n之前的dp[1]，dp[2]...dp[n]；对于第i个节点，需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况，所以需要累加。
            for(int j = 1; j <= i; j++){//遍历每个dp[i]左右节点数的情况：(0,i);(1,i-1);(2,i-2)...(i,0);一共i个节点，对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1，右子树的节点个数为i-j
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
                //System.out.print(dp[i] + " ");// n = 3时，dp数组：1 1 2 2 3 5 
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

总结

这道题想到用动规的方法来解决，就不太好想，需要举例，画图，分析，才能找到递推的关系。