数据结构之 【树的简介】(树的(相关)概念、二叉树的概念、部分性质、满二叉树、完全二叉树)

目录

1.树的概念及结构

1.1树的概念

1.2树的相关概念

1.3树的表示

1.4树在实际中的应用

2.二叉树概念及结构

2.1二叉树的概念

2.2特殊的二叉树

2.3二叉树的性质

2.4应用题


1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构 ,由 n(n≥0)个有限节点 构成,这些节点按照层次关系组织成一个集合。之所以将其命名为"树",是因为它的形态恰似一棵倒置的树------根在上,枝叶在下

树是由根节点和子树构成的,因此树是递归定义的

树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

1.2树的相关概念

节点的度(出度):一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6

叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点

孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点

兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点

树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6

节点的层次 :从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;

树的高度或深度:树中节点的最大层次;如上图:树的高度为4

堂兄弟节点:双亲在同一层且彼此不是兄弟节点的节点;如上图:H、I互为兄弟节点

节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先

子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙

森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林

对于任何树来说,边数 = 节点数 - 1

数据结构中的树默认为有向树,

有向树中一条边提供一个度(出度), 边数 = N0*0 + N1*1 + ..............

1.3树的表示

在表示树时,一个节点的度一般是不确定的,所以存储起来就比较麻烦

既要保存值域,也要保存结点和结点之间的关系,常用的表示方式是:孩子兄弟表示法

复制代码
typedef int DataType;
 struct Node
 {
    struct Node* _firstChild1;    //指向第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data;               //结点中的数据
}

A没有兄弟节点, _pNextBrother指向空,然后只需要让_firstChild1指向B节点

B节点中的_pNextBrother就可以指向C,如此往复

想要增加B的兄弟节点,就在C后面尾插,想要增加B的子节点,就在E后面尾插
这种左孩子右兄弟的表示方法有效解决了未知度的问题 ,可以表示任意形状和度的树结构

1.4树在实际中的应用

在Windows操作系统中,D盘类似于树结构中的根节点

D盘中的文件夹形成层次结构,每个文件夹可以包含其他文件夹和文件,类似于树结构中的子树

文件在树结构中通常被视为叶节点,因为它们不包含其他子节点

2.二叉树概念及结构

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

  1. 或者为空 2. 由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出

  1. 二叉树不存在度大于2的结点

  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
    注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

2.2特殊的二叉树

  1. 满二叉树:一棵层数(高度)≥1的二叉树,

其中所有非叶子节点都有两个子节点,且所有叶子节点位于同一层

2.完全二叉树:一棵高度为 K 的二叉树,其前 K−1 层均为满二叉树结构,且第 K 层的所有节点均从左至右连续排列,无间隔缺失

所以,满二叉树是特殊的完全二叉树

2.3二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有**2^(i - 1)**个结点.

  2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h - 1
    3. 对任何一棵非空二叉树, 如果度为0的叶结点个数为N0 , 度为2的分支结点个数为N2,

则 N0=N2+1
4.一棵K层的完全二叉树的节点个数范围 [ 2^(k-1) , 2^k -1 ]
5.完全二叉树中, 度数为1的节点个数 N1​ 只能是 0 或 1
4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h= ,则有h = log₂(n + 1).

(ps:log₂(n + 1) 是log以2 为底,n+1为对数)

2^h - 1 = n h = log₂(n + 1)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对 于序号为i的结点有

  1. 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;(计算机自动向下取整)

i=0,i为根节点编号,无双亲节点

  1. 若2i+1 < n, 左孩子序号:2i+1 若 2i+1 >= n 否则无左孩子

  2. 若2i+2 < n, 右孩子序号:2i+2 若 2i+2 >= n 否则无右孩子

如图所示,

节点下标的2倍+1为该节点的左孩子的下标,

节点下标的2倍+2为该节点的左孩子的下标

子节点下标-1除以2(计算机自动向下取整),得到子节点的父亲节点的下标

2.4应用题

  1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为()

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

运用公式 N0=N2+1

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )

A n

B n+1

C n-1

D n/2

N0=N2+1 2n=N0+N2+N1 完全二叉树中N1= 1或0

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( )

A 11

B 10

C 8

D 12

2^9 = 512 2^10 = 1024

5.一个具有767个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为()

A 383

B 384

C 385

D 386

N0=N2+1 767=N0+N2+N1 完全二叉树中N1= 1或0

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