目录
在二叉平衡树中，我们进行插入和删除操作时都需要遍历树，可见树的结构是很影响操作效率的。在最坏的情况下，树成了一个单支树，查找的时间复杂度成了O(N)，建树跟没建树一样。那么是不是有什么办法可以建一个树避免这种情况？
一.概念
AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，其又叫高度平衡树。进行插入和删除操作后对树进行一次或多次旋转，保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，以达到高度平衡的目的。
1.AVL树本质上还是二叉平衡树，这是必须保证的一点；
2.AVL树在二叉平衡树的基础上加入了一个平衡的条件，即：每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1。
二叉平衡树：Java Map和Set-CSDN博客
二.定义节点
节点与二叉平衡树的节点差不多，多了一个平衡因子，一个父节点。
java
static class TreeNode {
public int val;
public int bf;//平衡因子
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode parent;
public TreeNode(int val) {
this.val = val;
}
}三.插入操作
因为AVL树也是二叉平衡树，所以插入操作是一样的，只需在后面加一个调整平衡因子的操作。
java
//找到要插入的位置
TreeNode node = new TreeNode(val);
if(root == null) {
root = node;
return true;
}
TreeNode parent = null;
TreeNode cur = root;
while (cur != null) {
if(cur.val < val) {
parent = cur;
cur = cur.right;
}else if(cur.val == val) {
return false;
}else {
parent = cur;
cur = cur.left;
}
}
//插入节点
node.parent = parent;
cur = node;
if(parent.val < val) {
parent.right = node;
}else {
parent.left = node;
}上述代码就是插入节点的操作。插入完后我们要对平衡因子进行调整。
1.调整平衡因子
平衡因子可分为三种情况：、
、
。
1.1 等于，说明该节点的左右子树高度相同，高度相同也就意味着该节点平衡了，也就是说新插入的节点没有使树的高度发生变化，那么整个树都是平衡的。
1.2 等于，说明该节点的左右子树高度相差1，如果左子树高那么就是-1，如果右子树高，那么就是1。如果是这种情况，还要继续往上找，因为这说明我们插入的节点影响了树的高度，这是要看一下是不是不平衡了。
1.3 等于，说明该节点左右子树高度相差2，不平衡了，要进行调整。这里又要分情况讨论了。
当平衡因子等于 2时，说明右子树高。这里又要分为两种情况：
为什么要分为这两种呢？这与加下来的旋转操作有关。
前面说了，AVL树就是靠旋转来进行调整以达到平衡。如左图右子树高，我们可以通过左旋来降低右子树的高度。这里大家可以去下面看一下左旋的具体操作。
但对于右图来说，左旋就不好用了，转了之后还是不平衡的。对于右图我们要用先右旋在左旋的操作。
为什么会这样？左旋转的本质就是将bf为的左子树接到parent节点的右子树，如果说其这个左子树本身就是更深的子树，那么接上就和原来没有什么区别。
当平衡因子等于 -2 时，也是一样，都是一个原理这里不过多赘述，直接上代码。
java
public boolean insert(int val) {
//找到要插入的位置
TreeNode node = new TreeNode(val);
if(root == null) {
root = node;
return true;
}
TreeNode parent = null;
TreeNode cur = root;
while (cur != null) {
if(cur.val < val) {
parent = cur;
cur = cur.right;
}else if(cur.val == val) {
return false;
}else {
parent = cur;
cur = cur.left;
}
}
//插入节点
node.parent = parent;
cur = node;
if(parent.val < val) {
parent.right = node;
}else {
parent.left = node;
}
//调整平衡因子
while (parent != null) {
//更新平衡因子
if(cur == parent.right) {
parent.bf++;
}else {
parent.bf--;
}
if(parent.bf == 1 || parent.bf == -1){
//继续循环
cur = parent;
parent = cur.parent;
}else if(parent.bf == 2){
if(cur.bf == 1) {
rotateLeft(parent);
}else {
rotateRL(parent);
}
break;
}else if(parent.bf == -2){
if(cur.bf == -1) {
rotateRight(parent);
}else {
rotateLR(parent);
}
break;
}else{
//已经平衡了
break;
}
}
return true;
}2.左旋
将子树向左旋转：
上图左图是没有旋转时的状态，右图时左旋后的状态，我们可以通过节点变化来得到整个过程的变化：12的左子树连接到了10上，10变成了12的左子树。
可以拆成这么几步：
1.将bf=1的节点的左子树接到parent的右子树上；
2.将bf=1的节点连接到parent的parent；
3.将parent连接到bf=1的左子树上。
java
private void rotateLeft(TreeNode parent) {
TreeNode subR = parent.right;
TreeNode subRL = subR.left;
//将bf=1的节点的左子树接到parent的右子树上
parent.right = subRL;
if(subRL != null) {
subRL.parent = parent;
}
//将bf=1的节点连接到parent的parent
TreeNode pParent = parent.parent;
if(root == parent) {
root = subR;
root.parent = null;
}else {
if(pParent.left == parent) {
pParent.left = subR;
}else {
pParent.right = subR;
}
subR.parent = pParent;
}
//将parent连接到bf=1的左子树上
subR.left = parent;
parent.parent = subR;
//调整平衡因子
subR.bf = parent.bf = 0;
}3.右旋
将子树向右旋：
思路跟向左旋一样，这里是将8的右子树连在10的左子树上，将10连在8的右子树上。
具体步骤：
1.将bf=-1的节点的右子树连在parent的左子树上；
2.将bf=-1的节点与parent的parent连接；
3.将parent连接到bf=-1节点的右子树上。
java
private void rotateRight(TreeNode parent) {
TreeNode subL = parent.left;
TreeNode subLR = subL.right;
//将bf=-1的节点的右子树连在parent的左子树上
parent.left = subLR;
if(subLR != null) {
subLR.parent = parent;
}
//将bf=-1的节点与parent的parent连接
TreeNode pParent = parent.parent;
if(parent == root) {
root = subL;
root.parent = null;
}else {
if(pParent.left == parent) {
pParent.left = subL;
}else {
pParent.right = subL;
}
subL.parent = pParent;
}
//将parent连接到bf=-1的节点上
subL.right = parent;
parent.parent = subL;
//调整平衡因子
subL.bf = 0;
parent.bf = 0;
}4.先右旋后左旋
先旋转以bf=-1为父节点的树，再旋转parent的树：
表现在这张图里的是先旋转13节点的树，旋转完后再旋转10节点的树。
这里要特别说明以下平衡因子的调整：
上面两张图相当清晰表示出了平衡因子的变化。
java
private void rotateRL(TreeNode parent) {
TreeNode subR = parent.right;
TreeNode subRL = subR.left;
int bf = subRL.bf;
rotateRight(parent.right);
rotateLeft(parent);
if(bf == 1) {
parent.bf = -1;
subR.bf = 0;
subRL.bf = 0;
}
if(bf == -1){
parent.bf = 0;
subR.bf = 1;
subRL.bf = 0;
}
}5.先左旋后右旋
这个跟先右旋再左旋相似，都很像。
代码：
java
private void rotateLR(TreeNode parent) {
TreeNode subL = parent.left;
TreeNode subLR = subL.right;
int bf = subLR.bf;
rotateLeft(parent.left);
rotateRight(parent);
if(bf == -1) {
subL.bf = 0;
subLR.bf = 0;
parent.bf = 1;
}
if(bf == 1){
subL.bf = -1;
subLR.bf = 0;
parent.bf = 0;
}
}四.判断是不是AVL树
判断什么是不是什么这种问题一般是从性质出发。
判断是不是AVL树，首先这棵树是一颗二叉平衡树，其次这棵树的高度也要平衡。
java
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
if(root == null){
return true;
}
int leftH = height(root.left);
int rightH = height(root.right);
if(rightH-leftH != root.bf) {
return false;
}
return Math.abs(leftH-rightH) <= 1
&& isBalanced(root.left)
&& isBalanced(root.right);
}五.总结
AVL树改善了原来二叉平衡树查找的问题，但也有新的问题。我们要在AVL树上插入或删除时，要不断的转转转，这个转转转也要时间的。所以说，如果我们要存储一个要频发插入删除的树，不适合用这个。