目标
在本实验室，你可以看到
- 更新逻辑回归的梯度下降。
- 在一个熟悉的数据集上探索梯度下降
python
import copy, math
import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from lab_utils_common import dlc, plot_data, plt_tumor_data, sigmoid, compute_cost_logistic
from plt_quad_logistic import plt_quad_logistic, plt_prob
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')数据集
让我们从决策边界实验室中使用的相同的两个特征数据集开始。
python
X_train = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_train = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])和前面一样，我们将使用一个辅助函数来绘制这些数据。标签为 y = 1 y=1 y=1的数据点显示为红色叉，而标签为 y = 0 y=0 y=0的数据点显示为蓝色圆。
python
fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(4,4))
plot_data(X_train, y_train, ax)
ax.axis([0, 4, 0, 3.5])
ax.set_ylabel('$x_1$', fontsize=12)
ax.set_xlabel('$x_0$', fontsize=12)
plt.show()逻辑回归的梯度下降
回想一下梯度下降算法利用了梯度计算:
repeat until convergence: { w j = w j − α ∂ J ( w , b ) ∂ w j for j := 0..n-1 b = b − α ∂ J ( w , b ) ∂ b } \begin{align*} &\text{repeat until convergence:} \; \lbrace \\ & \; \; \;w_j = w_j - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j} \tag{1} \; & \text{for j := 0..n-1} \\ & \; \; \; \; \;b = b - \alpha \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b} \\ &\rbrace \end{align*} repeat until convergence:{wj=wj−α∂wj∂J(w,b)b=b−α∂b∂J(w,b)}for j := 0..n-1(1)
其中每次迭代对所有 j j j同时执行 w j w_j wj的更新，
∂ J ( w , b ) ∂ w j = 1 m ∑ i = 0 m − 1 ( f w , b ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i ) ∂ J ( w , b ) ∂ b = 1 m ∑ i = 0 m − 1 ( f w , b ( x ( i ) ) − y ( i ) ) \begin{align*} \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial w_j} &= \frac{1}{m} \sum\limits_{i = 0}^{m-1} (f_{\mathbf{w},b}(\mathbf{x}^{(i)}) - y^{(i)})x_{j}^{(i)} \tag{2} \\ \frac{\partial J(\mathbf{w},b)}{\partial b} &= \frac{1}{m} \sum\limits_{i = 0}^{m-1} (f_{\mathbf{w},b}(\mathbf{x}^{(i)}) - y^{(i)}) \tag{3} \end{align*} ∂wj∂J(w,b)∂b∂J(w,b)=m1i=0∑m−1(fw,b(x(i))−y(i))xj(i)=m1i=0∑m−1(fw,b(x(i))−y(i))(2)(3)
- M是数据集中训练样例的个数
- f w ， b ( x ( i ) ) f_{\mathbf{w}，b}(x^{(i)}) fw，b(x(i))是模型的预测，而 y ( i ) y^{(i)} y(i)是目标
- 对于逻辑回归模型
z = w ⋅ x + b z = \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} + b z=w⋅x+b
f w , b ( x ) = g ( z ) f_{\mathbf{w},b}(x) = g(z) fw,b(x)=g(z)
where g ( z ) g(z) g(z) is the sigmoid function:
g ( z ) = 1 1 + e − z g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} g(z)=1+e−z1
梯度下降实现
梯度下降算法的实现有两个部分:
- 实现上述公式(1)的循环。这是下面的gradient_descent，通常在可选和实践实验室中提供给您。
- 流速梯度的计算，如式(2、3)所示。这是下面的compute_gradient_logistic。你将被要求完成本周的实践实验。
计算梯度，代码描述
对所有 w j w_j wj和 b b b实现上述式(2)、(3)。
有很多方法可以实现这一点。下面概述如下:
- 初始化变量累加' dj_dw '和' dj_db '
对于这些例子
- 计算该示例的误差 g ( w ⋅ x ( i ) + b ) − y ( i ) g(\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}^{(i)} + b) - \mathbf{y}^{(i)} g(w⋅x(i)+b)−y(i)
- 对于本例中的每个输入值 x j ( i ) x_{j}^{(i)} xj(i)，
- 将错误值乘以输入的 x j ( i ) x_{j}^{(i)} xj(i)，并加上' dj_dw '的相应元素。(上式2)
- 将错误添加到' dj_db '(上面的公式3)
- 用' dj_db '和' dj_dw '除以样本总数(m)
- 注意, x ( i ) \mathbf{x}^{(i)} x(i)在numpy 或者 X[i,:]
orX[i]和 x j ( i ) x_{j}^{(i)} xj(i) is `X[i,j]
python
def compute_gradient_logistic(X, y, w, b):
"""
Computes the gradient for linear regression
Args:
X (ndarray (m,n): Data, m examples with n features
y (ndarray (m,)): target values
w (ndarray (n,)): model parameters
b (scalar) : model parameter
Returns
dj_dw (ndarray (n,)): The gradient of the cost w.r.t. the parameters w.
dj_db (scalar) : The gradient of the cost w.r.t. the parameter b.
"""
m,n = X.shape
dj_dw = np.zeros((n,)) #(n,)
dj_db = 0.
for i in range(m):
f_wb_i = sigmoid(np.dot(X[i],w) + b) #(n,)(n,)=scalar
err_i = f_wb_i - y[i] #scalar
for j in range(n):
dj_dw[j] = dj_dw[j] + err_i * X[i,j] #scalar
dj_db = dj_db + err_i
dj_dw = dj_dw/m #(n,)
dj_db = dj_db/m #scalar
return dj_db, dj_dw 使用下面的单元格检查梯度函数的实现。
python
X_tmp = np.array([[0.5, 1.5], [1,1], [1.5, 0.5], [3, 0.5], [2, 2], [1, 2.5]])
y_tmp = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])
w_tmp = np.array([2.,3.])
b_tmp = 1.
dj_db_tmp, dj_dw_tmp = compute_gradient_logistic(X_tmp, y_tmp, w_tmp, b_tmp)
print(f"dj_db: {dj_db_tmp}" )
print(f"dj_dw: {dj_dw_tmp.tolist()}" )预期结果
dj_db: 0.49861806546328574
dj_dw: [0.498333393278696, 0.49883942983996693]
梯度下降代码
实现上述方程(1)的代码如下所示。花点时间定位和比较例程中的函数与上面的方程。
python
def gradient_descent(X, y, w_in, b_in, alpha, num_iters):
"""
Performs batch gradient descent
Args:
X (ndarray (m,n) : Data, m examples with n features
y (ndarray (m,)) : target values
w_in (ndarray (n,)): Initial values of model parameters
b_in (scalar) : Initial values of model parameter
alpha (float) : Learning rate
num_iters (scalar) : number of iterations to run gradient descent
Returns:
w (ndarray (n,)) : Updated values of parameters
b (scalar) : Updated value of parameter
"""
# An array to store cost J and w's at each iteration primarily for graphing later
J_history = []
w = copy.deepcopy(w_in) #avoid modifying global w within function
b = b_in
for i in range(num_iters):
# Calculate the gradient and update the parameters
dj_db, dj_dw = compute_gradient_logistic(X, y, w, b)
# Update Parameters using w, b, alpha and gradient
w = w - alpha * dj_dw
b = b - alpha * dj_db
# Save cost J at each iteration
if i<100000: # prevent resource exhaustion
J_history.append( compute_cost_logistic(X, y, w, b) )
# Print cost every at intervals 10 times or as many iterations if < 10
if i% math.ceil(num_iters / 10) == 0:
print(f"Iteration {i:4d}: Cost {J_history[-1]} ")
return w, b, J_history #return final w,b and J history for graphing让我们对数据集运行梯度下降。
python
w_tmp = np.zeros_like(X_train[0])
b_tmp = 0.
alph = 0.1
iters = 10000
w_out, b_out, _ = gradient_descent(X_train, y_train, w_tmp, b_tmp, alph, iters)
print(f"\nupdated parameters: w:{w_out}, b:{b_out}")我们来绘制梯度下降的结果:
python
fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(5,4))
# plot the probability
plt_prob(ax, w_out, b_out)
# Plot the original data
ax.set_ylabel(r'$x_1$')
ax.set_xlabel(r'$x_0$')
ax.axis([0, 4, 0, 3.5])
plot_data(X_train,y_train,ax)
# Plot the decision boundary
x0 = -b_out/w_out[1]
x1 = -b_out/w_out[0]
ax.plot([0,x0],[x1,0], c=dlc["dlblue"], lw=1)
plt.show()在上图中:
- 阴影反映了概率y=1(决策边界之前的结果)
- 决策边界是概率= 0.5处的那条线
添加另外一组数据集
让我们回到单变量数据集。仅使用两个参数， w w w， b b b，就可以使用等高线图来绘制成本函数，从而更好地了解梯度下降的情况。
python
x_train = np.array([0., 1, 2, 3, 4, 5])
y_train = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])和前面一样，我们将使用一个辅助函数来绘制这些数据。标签为 y = 1 y=1 y=1的数据点显示为红色叉，而标签为 y = 0 y=0 y=0的数据点显示为黑色圆。
python
fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(4,3))
plt_tumor_data(x_train, y_train, ax)
plt.show()在下面的图中，尝试:
-
通过点击右上角的等高线图来改变 w w w和 b b b。
- 改变可能需要一两秒钟
- 请注意左上角图中成本值的变化。
- 注意，每个示例中的成本是通过损失累积的(垂直虚线)
- 点击等高线图将重置模型以进行新的运行
-
要重置绘图，请重新运行单元格
python
w_range = np.array([-1, 7])
b_range = np.array([1, -14])
quad = plt_quad_logistic( x_train, y_train, w_range, b_range )祝贺
你已经
- 考察了逻辑回归的梯度计算的公式和实现
- 利用这些例程
- 探索单个变量数据集
- 探索一个双变量数据集