高等数学精解【3】

文章目录

• 线性方程组
• • 齐次线性方程组
  • 高阶行列式
• 参考文献

线性方程组

齐次线性方程组

• 含有两个三元齐次线性方程的方程组

1. 两个三元齐次线性方程通常指的是形如：

a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0 a_1x + b_1y + c_1z = 0 \\a_2x + b_2y + c_2z = 0 a1x+b1y+c1z=0a2x+b2y+c2z=0

其中， a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 a1,b1,c1,a2,b2,c2 是常数，且 x , y , z x, y, z x,y,z 是未知数。由于这些方程是齐次的（即常数项为0），它们总是有一个显然的解，即 x = 0 , y = 0 , z = 0 x = 0, y = 0, z = 0 x=0,y=0,z=0，这通常被称为零解。但除了零解外，我们可能还希望找到其他非零解，这取决于方程组的系数。

2. 求解步骤

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1. 检查系数是否线性相关 ： 如果两组系数（即 ( a 1 , b 1 , c 1 ) (a_1, b_1, c_1) (a1,b1,c1) 和 ( a 2 , b 2 , c 2 ) (a_2, b_2, c_2) (a2,b2,c2)）成比例（即存在一个非零常数 k k k 使得 a 1 = k a 2 , b 1 = k b 2 , c 1 = k c 2 a_1 = ka_2, b_1 = kb_2, c_1 = kc_2 a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2），则这两个方程实际上是同一个方程的重复，此时方程组有无穷多解（除了零解外，还包括所有满足该方程的 x , y , z x, y, z x,y,z 的组合）。

2. 使用消元法或代入法求解： 如果系数不成比例，我们可以使用消元法（如高斯消元法）或代入法来求解。但在这个特定情况下，由于方程是齐次的，我们通常更关心的是找到非零解（如果存在的话）。

3. 寻找非零解： 如果方程组有非零解，这些解将形成一个向量空间，称为方程组的解空间。解空间中的任何非零向量都是方程组的一个非零解。为了找到这样的解，我们可以尝试将其中一个变量设为1（或其他非零值），然后解出其他变量。

3. 非零解
   { a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0 = > { a 1 x + b 1 y = − c 1 z a 2 x + b 2 y = − c 2 z \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2z = 0 \end{cases}=>\begin{cases} a_1x + b_1y = - c_1z \\ a_2x + b_2y = - c_2z \end{cases} {a1x+b1y+c1z=0a2x+b2y+c2z=0=>{a1x+b1y=−c1za2x+b2y=−c2z
   x = ∣ − c 1 z b 1 − c 2 z b 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ y = ∣ a 1 − c 1 z a 2 − c 2 z ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ ∣ − c 1 z b 1 − c 2 z b 2 ∣ = ∣ b 1 c 1 b 2 c 2 ∣ z ∣ a 1 − c 1 z a 2 − c 2 z ∣ = ∣ c 1 a 1 c 2 a 2 ∣ z z ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = k , z = k ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ x = k ∣ b 1 c 1 b 2 c 2 ∣ , y = k ∣ c 1 a 1 c 2 a 2 ∣ x=\frac {\begin{vmatrix} -c_1z & b_1 \\ -c_2z & b_2 \end{vmatrix}} { \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \\y=\frac {\begin{vmatrix} a_1 & -c_1z\\ a_2 & -c_2z \end{vmatrix}} { \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \\\begin{vmatrix} -c_1z & b_1 \\ -c_2z & b_2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}z \\\begin{vmatrix} a_1 & -c_1z\\ a_2 & -c_2z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} c_1& a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}z \\\frac z {\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} =k,z=k{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} \\x=k\begin{vmatrix} b_1 & c_1\\ b_2 & c_2 \end{vmatrix},y=k\begin{vmatrix} c_1& a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix} x=∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣∣∣∣∣∣−c1z−c2zb1b2∣∣∣∣y=∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣∣∣∣∣∣a1a2−c1z−c2z∣∣∣∣∣∣∣∣−c1z−c2zb1b2∣∣∣∣=∣∣∣∣b1b2c1c2∣∣∣∣z∣∣∣∣a1a2−c1z−c2z∣∣∣∣=∣∣∣∣c1c2a1a2∣∣∣∣z∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣∣z=k,z=k∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣∣x=k∣∣∣∣b1b2c1c2∣∣∣∣,y=k∣∣∣∣c1c2a1a2∣∣∣∣
   这 种 解 法 要 求 ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ ≠ 0 这 样 的 系 数 行 列 式 还 有 两 个 ， 至 少 一 个 不 为 零 ， 就 可 以 用 此 法 解 。 ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ ∣ b 1 c 1 b 2 c 2 ∣ 这种解法要求\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \ne 0 \\这样的系数行列式还有两个，至少一个不为零，就可以用此法解。 \\\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} \\\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} 这种解法要求∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣∣=0这样的系数行列式还有两个，至少一个不为零，就可以用此法解。∣∣∣∣a1a2c1c2∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2c1c2∣∣∣∣
4. 上面解法，如果三个行列式都为0，此时方程组变换成一个方程

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示例

考虑方程组：

x + 2 y + 3 z = 0 x + 2y + 3z = 0 x+2y+3z=0 2 x + 4 y + 6 z = 0 2x + 4y + 6z = 0 2x+4y+6z=0

这里，第二个方程实际上是第一个方程的两倍，所以它们线性相关。因此，方程组有无穷多解。为了找到非零解，我们可以选择 z = 1 z = 1 z=1（或任何其他非零值），然后解出 x x x 和 y y y。

设 z = 1 z = 1 z=1，则第一个方程变为 x + 2 y + 3 = 0 x + 2y + 3 = 0 x+2y+3=0。为了简化，我们可以选择 y = 1 y = 1 y=1（或任何其他值），然后解出
x x x。这里， x = − 2 y − 3 = − 2 ⋅ 1 − 3 = − 5 x = -2y - 3 = -2 \cdot 1 - 3 = -5 x=−2y−3=−2⋅1−3=−5。

因此，一个非零解是 x = − 5 , y = 1 , z = 1 x = -5, y = 1, z = 1 x=−5,y=1,z=1。注意，这不是唯一的非零解；通过选择不同的 z z z 和 y y y 值，我们可以找到其他非零解。

• 含有三个三元齐次线性方程的方程组
  a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0 a 3 x + b 3 y + c 3 z = 0 a_1x + b_1y + c_1z = 0 \\a_2x + b_2y + c_2z = 0 \\a_3x + b_3y + c_3z = 0 a1x+b1y+c1z=0a2x+b2y+c2z=0a3x+b3y+c3z=0
  Δ ≠ 0 = > 方 程 组 的 唯 一 的 一 组 零 解 : x = y = z = 0 \Delta \ne 0=>方程组的唯一的一组零解:x=y=z=0 Δ=0=>方程组的唯一的一组零解:x=y=z=0
  Δ = 0 = > 方 程 组 有 非 零 解 \Delta =0=>方程组有非零解 Δ=0=>方程组有非零解

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三元齐次线性方程组是指形如

{ a 11 x + a 12 y + a 13 z = 0 a 21 x + a 22 y + a 23 z = 0 a 31 x + a 32 y + a 33 z = 0 \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = 0 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = 0 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = 0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧a11x+a12y+a13z=0a21x+a22y+a23z=0a31x+a32y+a33z=0

的方程组，其中 a i j a_{ij} aij 是系数，且 x , y , z x, y, z x,y,z 是未知数。当方程组有非零解时，意味着存在不全为零的 x , y , z x, y, z x,y,z

使得上述方程同时成立。

{ x + y + z = 0 3 − y + 2 z = 0 x − 3 y = 0 \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 3 -y + 2z = 0 \\ x - 3y = 0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x+y+z=03−y+2z=0x−3y=0
Δ = 0 \Delta=0 Δ=0

julia> Δ=[1 1 1;3 -1 2;1 -3 0]
3×3 Matrix{Int64}:
 1   1  1
 3  -1  2
 1  -3  0

julia> det(Δ)
0.0

julia>
$$

∣ 1 1 3 − 1 ∣ = − 4 ≠ 0 x = k ∣ 1 1 − 1 2 ∣ = 3 k , y = k ∣ 1 1 2 3 ∣ = k z = k ∣ 1 1 3 − 1 ∣ = − 4 k \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}=-4 \ne 0 \\x=k\begin{vmatrix} 1 & 1\\ -1 & 2 \end{vmatrix}=3k,y=k\begin{vmatrix} 1& 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}=k \\z=k{\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}}=-4k ∣∣∣∣131−1∣∣∣∣=−4=0x=k∣∣∣∣1−112∣∣∣∣=3k,y=k∣∣∣∣1213∣∣∣∣=kz=k∣∣∣∣131−1∣∣∣∣=−4k

高阶行列式

• 利用代数余子式简化计算
• 例题
  ∣ 1 1 3 7 − 1 − 4 2 5 7 5 − 3 2 11 2 9 − 4 ∣ ， 第 一 列 − 第 二 列 ， 第 一 列 × 3 − 第 三 列 ， 第 一 列 × 7 − 第 四 列 ⇒ ∣ 1 0 0 0 − 1 − 3 5 12 7 − 2 − 24 − 47 11 − 9 − 24 − 81 ∣ = 1 × ∣ − 3 5 12 − 2 − 24 − 47 − 9 − 24 − 81 ∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 & 7\\ -1 & -4 & 2 & 5\\ 7 & 5 & -3 &2\\ 11 & 2 & 9 & -4 \end{vmatrix}， \\第一列-第二列，第一列\times 3 -第三列，第一列 \times 7 -第四列 \\\Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & -3 &5 & 12\\ 7 & -2 & -24 & -47\\ 11 & -9 & -24 & -81 \end{vmatrix} \\=1\times \begin{vmatrix} -3 &5 & 12\\ -2 & -24 & -47\\ -9 & -24 & -81 \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣1−17111−45232−39752−4∣∣∣∣∣∣∣∣，第一列−第二列，第一列×3−第三列，第一列×7−第四列⇒∣∣∣∣∣∣∣∣1−17110−3−2−905−24−24012−47−81∣∣∣∣∣∣∣∣=1×∣∣∣∣∣∣−3−2−95−24−2412−47−81∣∣∣∣∣∣

参考文献

1. 文心一言
2. 《高等数学讲义》