3-1特殊矩阵的压缩存储
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1.数组的存储结构
1.1一维数组
c
ElemType A[n]; 一维数组 A[0...n-1]，格数组元素大小相同，在物理上连续存放。其存储结构关系式为：
L O C ( a i ) = L O C + i ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) ( 0 ≤ i ≤ n ) LOC(a_i)=LOC+i*sizeof(ElemType)\ (0≤i≤n) LOC(ai)=LOC+i∗sizeof(ElemType) (0≤i≤n)
其中，LOC是起始地址。数组下标默认从 0 开始。
1.2.二维数组
c
ElemType b[2][4]; //2行4列的二维数组
二维数组在逻辑上是一个二维列表。在内存上，对于多维数组，有两种映射方法：按行优先存储、按列优先存储。
把非线性的二维数组拉成了一个线性存储 的存储结构，那么它的好处就是可以实现像一维数组一样的随机存储，即只需要用LOC加上目标元素的位置。
1.2.1行优先存储
设二维数组 b[M][N]，若按照行优先存储结构，先存储行号较小的元素，行号相等先存储列号较小的元素：
b [ i ] [ j ] = L O C + ( i ∗ N + j ) ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) b[i][j]=LOC+(i*N+j)*sizeof(ElemType) b[i][j]=LOC+(i∗N+j)∗sizeof(ElemType)
如果给出的是下标范围为 [0,n]，那么其实是有 n+1 个元素，即：
b [ i ] [ j ] = L O C + ( i ∗ ( n + 1 ) + j ) ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) b[i][j]=LOC+(i*(n+1)+j)*sizeof(ElemType) b[i][j]=LOC+(i∗(n+1)+j)∗sizeof(ElemType)
1.2.2列优先存储
按列优先方式存储时，得出存储结构关系式为：
b [ i ] [ j ] = L O C + ( j ∗ M + i ) ∗ s i z e o f ( E l e m T y p e ) b[i][j]=LOC+(j*M+i)*sizeof(ElemType) b[i][j]=LOC+(j∗M+i)∗sizeof(ElemType)
2.特殊矩阵
压缩存储 ：指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间。其目的是节省存储空间。
特殊矩阵：指具有许多相同矩阵元素或零元素，并且这些相同矩阵元素或零元素的分布有一定规律性的矩阵。常见的特殊矩阵有对称矩阵、上(下)三角矩阵、对角矩阵等。
特殊矩阵的压缩存储方法：找出特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈现规律性分布的、值相同的多个矩阵元素压缩存储到一个存储空间中。
2.1对称矩阵
方阵
若n阶方阵中任意一个元素 a i , j a_{i,j} ai,j 都有 a i , j a_{i,j} ai,j = a j , i a_{j,i} aj,i 则该矩阵为对称矩阵。
例如将下三角放入一维数组：
可以使用行优先的原则，把每行元素存入一维数组中。
- 那么这个一维数组它的大小就是 1+2+3+...+n 为 ( 1 + n ) ∗ n 2 \cfrac{(1+n)*n}2 2(1+n)∗n。
那么在一维数组中，就有：0 ~ ( 1 + n ) ∗ n 2 − 1 \cfrac{(1+n)*n}2-1 2(1+n)∗n−1个数。
- 对称矩阵压缩之后，可以实现一个"映射"函数，矩阵下标->一维数组下标。
例如按行优先，通过上面的一维数组存储结构：
a i , j a_{i,j} ai,j (i≥j ) = A[k]， a i , j a_{i,j} ai,j 是第 [1+2+...+(i-1)] + j 个元素（前面几行的元素+j所在那一行前面的几个），那么：
k = ( i − 1 ) ∗ i 2 + j 数组下标是从 0 开始，那么 k = ( i − 1 ) ∗ i 2 + j − 1 k=\frac{(i-1)*i}2+j\\ 数组下标是从0开始，那么\\ k=\frac{(i-1)*i}2+j-1 k=2(i−1)∗i+j数组下标是从0开始，那么k=2(i−1)∗i+j−1
如果是上三角矩阵，但是由于对阵矩阵 a i , j a_{i,j} ai,j = a j , i a_{j,i} aj,i 的性质，所有可以转换成下三角矩阵。那么总映射为：
k = { ( i − 1 ) ∗ i 2 + j − 1 , i ≥ j , 下三角区和对角线元素 ( j − 1 ) ∗ j 2 + i − 1 , i < j , 上三角区 , 但是 a i , j = a j , i k=\begin{cases} \cfrac{(i-1)*i}2+j-1,\ i≥j,\text{下三角区和对角线元素}\\[3ex] \cfrac{(j-1)*j}2+i-1,\ i<j,上三角区,但是a_{i,j}= a_{j,i}\\ \end{cases} k=⎩ ⎨ ⎧2(i−1)∗i+j−1, i≥j,下三角区和对角线元素2(j−1)∗j+i−1, i<j,上三角区,但是ai,j=aj,i
2.2三角矩阵
分为上三角矩阵、下三角矩阵。
2.2.1下三角矩阵
和对称矩阵同样，那么在一维数组中，就有：0 ~ ( 1 + n ) ∗ n 2 − 1 \cfrac{(1+n)*n}2-1 2(1+n)∗n−1个数，但是多在后面 ( 1 + n ) ∗ n 2 \cfrac{(1+n)*n}2 2(1+n)∗n的位置存储C。
a i , j a_{i,j} ai,j (i≥j ) → B[k]
k = { ( i − 1 ) ∗ i 2 + j − 1 , i ≥ j , 下三角区和对角线元素 ( n + 1 ) ∗ n 2 , i < j , 上三角区 k=\begin{cases} \cfrac{(i-1)*i}2+j-1,&\ i≥j,下三角区和对角线元素\\[3ex] \cfrac{(n+1)*n}2,&\ i<j,上三角区\\ \end{cases} k=⎩ ⎨ ⎧2(i−1)∗i+j−1,2(n+1)∗n, i≥j,下三角区和对角线元素 i<j,上三角区
2.2.2上三角矩阵
a i , j a_{i,j} ai,j (i≤j ) → B[k]
k = { ( i − 1 ) ∗ ( 2 n − i + 2 ) 2 + j − i , i ≤ j , 上三角区和对角线元素 ( n + 1 ) ∗ n 2 , i ＞ j , 下三角区 k=\begin{cases} \cfrac{(i-1)*(2n-i+2)}2+j-i,&\ i≤j,上三角区和对角线元素\\[3ex] \cfrac{(n+1)*n}2,&\ i＞j,下三角区\\ \end{cases} k=⎩ ⎨ ⎧2(i−1)∗(2n−i+2)+j−i,2(n+1)∗n, i≤j,上三角区和对角线元素 i＞j,下三角区
例1、若将 n 阶上三角矩阵 A 按列优先 级压缩存放在一维数组 B[1...n(n+1)/2+1] 中， 则存放到B[k] 中的非零元素 a i , j a_{i,j} ai,j (1 ≤ i, j ≤ n) 的下标 i, j 与 k 的对应关系是( C )。
A. i ( i + 1 ) / 2 + j
B. i ( i - 1 ) / 2 + j - 1
C. j ( j - 1 ) / 2 + i
D. j ( j - 1 ) / 2 + i - 1
解：按列优先存储，故元素 a i , j a_{i,j} ai,j 前面有 j - 1 列，
共有 1 + 2 + 3 + ... +j -1 = j ( j - 1 ) / 2 个元素，元素 a i , j a_{i,j} ai,j 在第 j 列上是第 i 个元素，
数组 B 的下标是从 1 开始，因此 k = j ( j - 1 ) / 2 + i。
例2、若将 n 阶下三角矩阵 A 按列优先顺序压缩存放在一维数组 B[1...n(n+1)/2+1] 中，则存放到 B[k] 中的非零元素 a i , j a_{i,j} ai,j (1 ≤ i, j ≤ n) 的下标 i, j 与 k 的对应关系是( B )。A. (j - 1) (2n - j + 1) / 2 + i - j
B. (j - 1) (2n - j + 2) / 2 + i - j + 1
C. (j - 1) (2n - j + 2) / 2 + i - j
D. (j - 1) (2n - j + 1) / 2 + i - j + 1
解：按列优先存储，故元素 a i , j a_{i,j} ai,j 之前有 j - 1 列，
共有 n + (n - 1) + ... + (n - j + 2) = (j-1)(2n - j + 2) / 2 个元素，
元素 a i , j a_{i,j} ai,j 是第 j 列上第 i - j + 1 个元素，
数组 B 下标从 1 开始，k = (j - 1) (2n - j + 2) / 2 + i - j + 1。
例3、【2018统考真题】设有一个 12*12 对称矩阵 M 的上三角 部分的元素 m i , j m_{i,j} mi,j (1 ≤ i ≤ j ≤ 10) 按行优先 存入 C 语言的一维数组 N 中， 元素 m 6 , 6 m_{6,6} m6,6 在 N 中的下标是( A )。A. 50 B. 51
C. 55 D. 66
解： 在 C 语言中，数组 N 的下标从 0 开始。
第一个元素 m 1 , 1 m_{1,1} m1,1 对应存入 n 0 n_0 n0，矩阵 M 的第一行有 12 元素，第二行有 11 个，第三行有 10 个，第四行有 9 个，第五行有 8 个，所以 m 6 , 6 m_{6,6} m6,6 是第 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 1 = 51 个元素。
下标应为 50。
4、【2020统考真题】将一个10*10 对称矩阵 M 的上三角 部分的元素 m i , j m_{i,j} mi,j (1 ≤ i ≤ j ≤ 12) 按列 优先存入 C 语言的一维数组 N 中， 元素 m 7 , 2 m_{7,2} m7,2 在 N 中的下标是( C )。A. 15 B. 16
C. 22 D. 23
解： 因为是对称矩阵，要求元素 m 7 , 2 m_{7,2} m7,2 在 N 中的下标，即求元素 m 2 , 7 m_{2,7} m2,7 在 N 中的下标。
在 C 语言中，数组 N 的下标从 0 开始。
上三角矩阵按列优先存储，先存储只有 1 个元素的第一列， 再存储有 2 个元素的第二列，以此类推。在 m 2 , 7 m_{2,7} m2,7之前存有
第 1 列: 1
第 2 列: 2
...
第 6 列: 6
第 7 列: 1
前面共存储有 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 = 22 个元素 ( 数组下标范围为0 ~ 21 )，注意数组下标从 0 开始，故 m 2 , 7 m_{2,7} m2,7 在数组N中的下标为 22，即 m 7 , 2 m_{7,2} m7,2 在数组 N 中的下标为 22。
2.3三对角矩阵
三对角矩阵又称带状矩阵。
在三对角矩阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的 3 条对角线的区域，其他区域的元素都为零。
[ a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 0 a 3 , 2 a 3 , 3 a 3 , 4 ⋱ ⋱ ⋱ 0 a n − 1 , n − 2 a n − 1 , n − 1 a n − 1 , n a n , n − 1 a n , n ] \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} &&&0\\ & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ & &\ddots &\ddots &\ddots\\ 0&&& a_{n-1,n-2} & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ &&&& a_{n,n-1} & a_{n,n} \\ \end{bmatrix} a1,1a2,10a1,2a2,2a3,2a2,3a3,3⋱a3,4⋱an−1,n−2⋱an−1,n−1an,n−10an−1,nan,n
采用压缩存储，将 3 条对角线上的元素，按行优先 方式存放在一维数组 B 中，且 a_{1,1} 存放于 B[0]中，其存储形式如下所示：
a 1 , 1 ∣ a 1 , 2 ∣ a 2 , 1 ∣ a 2 , 2 ∣ a 2 , 3 ∣ a 3 , 1 . . . a n − 1 , n ∣ a n , n − 1 ∣ a n , n a_{1,1}|a_{1,2}|a_{2,1}|a_{2,2}|a_{2,3}|a_{3,1}...a_{n-1,n}|a_{n,n-1}|a_{n,n} a1,1∣a1,2∣a2,1∣a2,2∣a2,3∣a3,1...an−1,n∣an,n−1∣an,n
- 按照行优先原则 ， a i , j a_{i,j} ai,j → B[k]。（1 ≤ i, j ≤ 100, |i - j| ≤ 1）
前 i-1 行共 3(i-1)-1 个元素。
a i , j a_{i,j} ai,j 是 i 行第 j-i+2 个元素。
所以 a i , j a_{i,j} ai,j 是第 2i+j-2 个元素，数组下标从 0 开始，所以：
k = 2 i + j − 3 k=2i+j-3 k=2i+j−3
- B[k] → a i , j a_{i,j} ai,j 。已知 B[k] 是第 k+1 个元素，判断 i 和 j 的位置。
前 i-1 行共 3(i-1)-1 个元素。
前 i 行共有 3i-1 个元素。
所以（注意k+1 ≤ 3i-1）：
3(i-1)-1 \< k+1 ≤ 3i-1\\ 那么在上式中\\frac{k+2}3 ≤ i \< \\frac{k+5}3\\ i ≥ \\frac{k+2}3\\ 通过向上取整即可满足"刚好"大于等于： 通过向上取整即可满足"刚好"大于等于： 通过向上取整即可满足"刚好"大于等于： i = \\left\\lceil \\frac{k+2}3 \\right\\rceil 同理，也可以使得 同理，也可以使得 同理，也可以使得 3(i-1)-1 ≤ k \< 3i-1\\ i ≤ \\frac{k+4}3\\ i ≤ \\frac{k+1}3+1\\ 通过向下取整即可满足"刚好"小于等于： 通过向下取整即可满足"刚好"小于等于： 通过向下取整即可满足"刚好"小于等于： i=\\left\\lfloor \\frac{k+1}3+1 \\right\\rfloor 计算出 i 之后，通过前面计算的 k = 2 i + j − 3 ，得： 计算出 i 之后，通过前面计算的 k=2i+j-3 ，得： 计算出i之后，通过前面计算的k=2i+j−3，得： j=k-2i+3\\
| 维数组 B下标 | 从 0 开始 | 从 1 开始 |
|---|---|---|
| i | ⌊ k + 1 3 + 1 ⌋ \left \lfloor\frac{k+1}{3} +1\right \rfloor ⌊3k+1+1⌋ | ⌊ k + 1 3 + 1 ⌋ \left \lfloor\frac{k+1}{3} +1\right \rfloor ⌊3k+1+1⌋ |
| j | k - 2i + 3 | k - 2i + 2 |
| k | 2i + j - 3 | 2i + j - 2 |
【考研】数据结构------特殊矩阵的压缩存储（含真题）-CSDN博客
例1、【2016统考真题】有一个 100 阶的三对角矩阵 M，其元素 m i , j m_{i,j} mi,j（1 ≤ i, j ≤ 100）按行优先依次压缩存入标从 0 开始的一维数组中 N。元素 m 30 , 30 m_{30,30} m30,30 在 N 中的下标是（ B ）
A. 86 B. 87 C. 88 D. 89
解：三对角矩阵 A 如下所示：
（在三对角矩阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的 3 条对角线的区域，其他区域的元素都为零。）
[ a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 0 a 3 , 2 a 3 , 3 a 3 , 4 ⋱ ⋱ ⋱ 0 a n − 1 , n − 2 a n − 1 , n − 1 a n − 1 , n a n , n − 1 a n , n ] \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} &&&0\\ & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} \\ & &\ddots &\ddots &\ddots\\ 0&&& a_{n-1,n-2} & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ &&&& a_{n,n-1} & a_{n,n} \\ \end{bmatrix} a1,1a2,10a1,2a2,2a3,2a2,3a3,3⋱a3,4⋱an−1,n−2⋱an−1,n−1an,n−10an−1,nan,n采用压缩存储，将 3 条对角线上的元素，按行优先 方式存放在一维数组 B 中，且 a_{1,1} 存放于 B[0]中，其存储形式如下所示：
a 1 , 1 ∣ a 1 , 2 ∣ a 2 , 1 ∣ a 2 , 2 ∣ a 2 , 3 ∣ a 3 , 1 . . . a n − 1 , n ∣ a n , n − 1 ∣ a n , n a_{1,1}|a_{1,2}|a_{2,1}|a_{2,2}|a_{2,3}|a_{3,1}...a_{n-1,n}|a_{n,n-1}|a_{n,n} a1,1∣a1,2∣a2,1∣a2,2∣a2,3∣a3,1...an−1,n∣an,n−1∣an,n可以计算矩阵 A 中 3 条对角线上的元素 a i , j a_{i,j} ai,j（1 ≤ i, j ≤ 100, |i - j| ≤ 1）在一维数组 B 中存放的下标为 k = 2i + j - 3。（下标从 0 开始）
解法一：针对该题，仅需将数字逐一代入公式: k = 2 x 30 + 30 - 3 = 87，结果为87。
解法二：观察上图的三对角矩阵不难发现，第一行有两个元素，剩下的在元素 m 30 , 30 m_{30,30} m30,30 所在行之前的 28 行（注意下标 1 ≤ i，j ≤ 100）中，每行都有 3 个元素，而 m 30 , 30 m_{30,30} m30,30 之前仅有一个元素 m 30 , 30 m_{30,30} m30,30 ， 不难发现元素 m 30 , 30 m_{30,30} m30,30 在数组 N 中的下标是 2 + 28x3 + 2 - 1 = 87。
（解法二中，减一是因为一维数组 B 的下标是从 0 开始。）
【注意】
解法一中的一维数组 B[k] 的下标是从 0 开始。若是从 1 开始，则公式应为 k = 2i + j - 2。
反过来，求 i , j ，有表如下：(三对角矩阵 A 从 1 开始)
维数组 B下标 从 0 开始 从 1 开始 i ⌊ k + 1 3 + 1 ⌋ \left \lfloor\frac{k+1}{3} +1\right \rfloor ⌊3k+1+1⌋ ⌊ k + 1 3 + 1 ⌋ \left \lfloor\frac{k+1}{3} +1\right \rfloor ⌊3k+1+1⌋ j k - 2i + 3 k - 2i + 2 k 2i + j - 3 2i + j - 2
例2、将三对角矩阵 A[1...100] 按行优先存入一维数组 B[1...298] 中，A 中元素 A[66][65] 在数组B 中的位置 k 为( B )
A. 198 B. 195
C.197 D.196
解：一维数组 B[k] 的下标是从 1 开始。由公式 k = 2i + j - 2，得 k = 2*66 + 65 - 2 = 195。
【另】反过来推导：已知 k 为 195 , 求 i , j：
i = ⌊ 195 + 1 3 + 1 ⌋ = ⌊ 65.3 + 1 ⌋ = 66 j = 195 − 2 ∗ 66 + 2 = 65 i = \left\lfloor \frac{195+1}{3}+1 \right\rfloor = \left\lfloor 65.3+1 \right\rfloor=66\\ j=195-2*66 + 2 = 65 i=⌊3195+1+1⌋=⌊65.3+1⌋=66j=195−2∗66+2=65
2.4稀疏矩阵
稀疏矩阵：矩阵中非零元素的个数 t，相对矩阵元素的个数 s 来说非常少，即 s >> t （s远大于t）的矩阵。
压缩存储策略
-
顺序存储------三元组 。非零元素及其相应的行和列构成个三元组（行标，列标，值），即三元组表的结点存储了行 row、列 col、值 value 三种信息，是主要用来存储稀疏矩阵的一种数据结构。
-
链式存储------十字链表 。将行单链表和列单链表结合起来存储稀疏矩阵。邻接矩阵空间复杂度达 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，不适合于存储稀疏矩阵。
- 二叉链表又名左孩子右兄弟表示法，可用于表示树或森林。
例1、【2017统考真题】适用于压缩存储稀疏矩阵的两种存储结构是( A )。
A. 三元组表和十字链表 B. 三元组表和邻接矩阵
C. 十字链表和二叉链表 D. 邻接矩阵和十字链表
解：A正确。