深度优先搜索：如何在二叉树中找出“好节点”【迭代法、状态管理技巧、DFS】

一、题目分析

题目要求：

给定一棵二叉树，定义一个"好节点"为：从根节点到该节点路径上，没有任何节点的值比该节点的值大。要求我们返回二叉树中好节点的数量。

示例：

示例 1:
```
输入: [3,1,4,3,null,1,5]
输出: 4
```
解释: 根节点 3 是好节点。节点 4 是路径 3->4 中的最大值，节点 5 是路径 3->4->5 中的最大值，节点 3 是路径 3->1->3 中的最大值，所以总共有 4 个好节点。
示例 2:
```
输入: [3,3,null,4,2]
输出: 3
```
解释: 根节点 3 是好节点。节点 4 是路径 3->4 中的最大值。节点 3 是路径 3->3 中的最大值。节点 2 不是好节点，因为路径上有个节点的值比 2 大。
示例 3:
```
输入: [1]
输出: 1
```
解释: 根节点是好节点。

1448. 统计二叉树中好节点的数目 - 力扣（LeetCode）

二、解题思路

我们需要遍历整棵二叉树，并在遍历的过程中记录当前路径上遇到的最大值。对于每个节点，如果当前节点的值大于等于当前路径的最大值，那么这个节点就是"好节点"。

三、代码实现

我们可以通过 深度优先搜索（DFS） 来实现这个遍历，并且在递归的过程中传递当前路径上的最大值。

1. 递归 DFS 实现

递归的 DFS 方法非常适合这种遍历二叉树的问题。

代码如下：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int goodNodes(TreeNode* root, int maxVal = INT_MIN) {
        if (!root) return 0;
        int cnt = 0;
        if (root->val >= maxVal) {
            cnt++;
            maxVal = root->val;
        }
        cnt += goodNodes(root->left, maxVal);
        cnt += goodNodes(root->right, maxVal);
        return cnt;
    }
};

代码讲解：

递归边界： 如果当前节点为空（nullptr），返回 0，表示没有"好节点"。
判断当前节点是否为"好节点"： 如果当前节点的值大于等于 maxVal（当前路径的最大值），那么这个节点就是好节点，cnt 加 1，同时更新 maxVal 为当前节点的值。
递归遍历左、右子树： 继续遍历当前节点的左、右子树，传递更新后的 maxVal。
累加"好节点"数量： 返回左右子树的"好节点"数量之和。

示例分析

假设有如下二叉树：

根节点 3： 从根到自己是好节点，maxVal = 3，计数 1。
左子节点 1： 路径 [3, 1]，1 < maxVal，不是好节点。
左子节点的左子节点 3： 路径 [3, 1, 3]，3 >= maxVal，是好节点，计数 2。
右子节点 4： 路径 [3, 4]，4 > maxVal，是好节点，更新 maxVal 为 4，计数 3。
右子节点的左子节点 1： 路径 [3, 4, 1]，1 < maxVal，不是好节点。
右子节点的右子节点 5： 路径 [3, 4, 5]，5 > maxVal，是好节点，计数 4。

最终，输出 4。

2. 迭代 DFS 实现

如果使用栈来实现迭代的 DFS，需要额外注意在回溯到父节点时如何正确恢复 maxVal。

迭代代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int goodNodes(TreeNode* root) {
        if (!root) return 0;
        
        stack<pair<TreeNode*, int>> s; // 栈中存放节点和当前路径的最大值
        s.push({root, root->val});
        int cnt = 0;

        while (!s.empty()) {
            auto [node, maxVal] = s.top();
            s.pop();
            
            if (node->val >= maxVal) {
                cnt++;
                maxVal = node->val; // 更新路径最大值
            }
            
            if (node->right) s.push({node->right, maxVal});
            if (node->left) s.push({node->left, maxVal});
        }

        return cnt;
    }
};

代码讲解：

栈的定义 ：使用一个栈 s，栈中的每个元素是一个 pair，其中 first 是当前遍历的节点，second 是到达该节点时路径中的最大值。
cpp 复制代码
```
stack<pair<TreeNode*, int>> s;
```
初始值：将根节点和它的值作为初始最大值一起入栈。
cpp 复制代码
```
s.push({root, root->val});
```

遍历过程：每次从栈顶取出一个元素，比较当前节点的值和当前路径的最大值。

cpp 复制代码

while (!s.empty()) {
    auto [node, maxx] = s.top();
    s.pop();

    // 判断当前节点是否为好节点
    if (node->val >= maxx) {
        cnt++;
    }

    // 更新路径最大值
    maxx = max(maxx, node->val);

    // 将左右子节点入栈
    if (node->right) s.push({node->right, maxx});
    if (node->left) s.push({node->left, maxx});
}

注意细节：

路径中的最大值传递：在遍历到每个节点时，必须确保路径中的最大值被正确传递到子节点。如果不正确传递，可能会导致判断错误。
遍历顺序：由于栈的特性（后进先出），在处理当前节点时，需要先将右子节点入栈，然后再将左子节点入栈。这保证了在模拟递归时，左子树会先于右子树遍历。
初始值的选择 ：栈的初始状态需要包含根节点和根节点的值，因为根节点的值在它自己的路径中始终是最大的。
假设输入的二叉树是 [3, 1, 4, 3, null, 1, 5]，即树的结构如下：

结合示例解释

初始化 ：s.push({root, 3})，栈初始为 [(3, 3)]。
第一步 ：弹出 (3, 3)，3 >= 3，是好节点，cnt++，maxx 保持为 3，将右子节点 (4, 3) 和左子节点 (1, 3) 入栈。
第二步 ：弹出 (1, 3)，1 < 3，不是好节点，maxx 保持为 3，将子节点 (3, 3) 入栈。
第三步 ：弹出 (3, 3)，3 >= 3，是好节点，cnt++，maxx 保持为 3，无子节点。
第四步 ：弹出 (4, 3)，4 > 3，是好节点，cnt++，更新 maxx = 4，将右子节点 (5, 4) 和左子节点 (1, 4) 入栈。
第五步 ：弹出 (1, 4)，1 < 4，不是好节点，maxx 保持为 4，无子节点。
第六步 ：弹出 (5, 4)，5 > 4，是好节点，cnt++，maxx 更新为 5，无子节点。

最终结果：cnt = 4。

四、总结

通过 DFS 遍历二叉树，实时跟踪当前路径的最大值来判断节点是否为"好节点"。递归与迭代两种方法各有优势，递归写法简洁直观，迭代写法则适用于避免递归栈溢出。理解如何在 DFS 中维护状态是解决二叉树类问题的关键。