题目通道\]([教主的魔法 - 洛谷](https://www.luogu.com.cn/problem/P2801 "教主的魔法 - 洛谷"))
### 摘要
分块，是一种**优雅**的暴力，它通过对数列分段，完成对数列一些区间操作和区间查询的操作，是一种根号算法。
这篇学习笔记\&题解是本**萌新** 在学习分块过程中的一些感悟，希望能够帮助分块零基础的同学学会**基础**分块。
*** ** * ** ***
### 0 说明
本文中，以下变量有特定的含义：
* blockblock：块的大小
* nn：被分块的数列的大小（长度）
* LxLx：第 xx 号块的左边界
* RxRx：第 xx 号块的右边界
* tottot：块的数量
* belongxbelongx：第 xx 号元素所属的块
在写作时，由于本萌新的失误，只好提前在这里令 \[l,r\]\[l,r\] 与 \[x,y\]\[x,y\] 等价。
*** ** * ** ***
### 1 建块
#### 1.1 建块需要完成的任务
在读入数据后，建块需要完成以下几个任务：
* 确定块的大小
* 确定块的数量
* 标记每个块的左右边界
* 标记每个元素所属的块
* 对每个块的数据进行初始化
#### 1.2 确定块的大小
一般来说，我们习惯于令 block=nblock=n。
但是由于毒瘤良心命题人泛滥，block=nblock=n 极其有可能被针对，在这种情况下，我们可以对块的大小适当作出一些调整，例如 n+1n+1，n−1n−1，nlg(n)lg(n)n 等。
一般这个工作只有一句话：
block = (int)sqrt((double)n);
#### 1.3 确定块的数量
在确定了块的大小后，块的数目就很容易确定了。
但是 nn 不一定是一个完全平方数，我们需要把最后几个无法凑足 blockblock 个元素的再单独分一个块。
代码如下：
tot = n / block;
if(n % block) tot++;
#### 1.4 标记每个块的左右边界
非常显然，L1=1,R1=block,L2=block+1,R2=2×block,⋯L1=1,R1=block,L2=block+1,R2=2×block,⋯
从而可以得出结论：
Lx=(x−1)⋅block+1,Rx=x⋅blockLx=(x−1)⋅block+1,Rx=x⋅block
特别地，Rtot=nRtot=n
代码：
for(int i = 1; i <= tot; i++){
L[i] = (i - 1) * block + 1;
R[i] = i * block;
}
R[tot] = n;
#### 1.5 标记每个元素所属的块
根据 1.4，我们很容易推出公式如下：
belongx=x−1block+1belongx=blockx−1+1
代码如下：
for(int i = 1; i <= n; i++)
belong[i] = (i - 1) / block + 1;
**重要：在使用分块过程中，一定要注意区分 tottot 和 nn。** tottot 是块的总数，nn 是原来元素的总数。
#### 1.6 对每个块的元素进行初始化
这项工作因题目不同而不同，如【教主的魔法】一题，就要对每个块的元素进行排序。
**因为排序会对原始数列作出改变，所以在本题中，应当先把数列复制一遍再进行分块**
*** ** * ** ***
### 2 分块题常见的操作
修改：
* 对数列 \[l,r\]\[l,r\] 内的每个数加上 kk
* 对数列 \[l,r\]\[l,r\] 内的每个数减去 kk
* etc.
查询：
* 求数列 \[l,r\]\[l,r\] 内的所有数的和
* 求数列 \[l,r\]\[l,r\] 内的数有多少大于/小于/大于等于/小于等于 kk
* etc.
*** ** * ** ***
### 3 修改操作
考虑两种修改操作本质相同，第二种修改操作相当于第一种修改操作中 k=−k′k=−k′。
#### 3.1 暴力修改
考虑枚举区间 \[l,r\]\[l,r\] 之间所有数，直接对其实施修改，在修改的过程中维护每一个块的和/大小关系等。
但这不是我们考虑的东西
#### 3.2 考虑线段树思想
线段树一个重要思想：lazytag
考虑应用在分块中。在修改操作中，如果是整块，就不维护每个的具体信息，而是在这个块的 lazylazy 标记上加上 kk。对于没有整块修改的部分（即块 belongxbelongx 和 belongybelongy 的修改部分），暴力修改。
这样的话，第 ii 个数据 aiai 的真正数据值为 ai+lazybelongiai+lazybelongi。
如果询问涉及到排序，块 belongxbelongx 和 belongybelongy 需要全部重新备份和排序，对于块 \[belongx+1,belongy−1\]\[belongx+1,belongy−1\] 的块，数的相对大小不会改变，所以可以不重新排序。
特别地，需要特判 belongx=belongybelongx=belongy 的情况。
代码：
void change(){
if(belong[x] == belong[y]){
for(int i = x; i <= y; i++){
a[i] += k;
sum[belong[x]] += k;
}
return;
}
for(int i = x; i <= R[belong[x]]; i++){
a[i] += k;sum[belong[x]] += k;
}
for(int i = L[belong[y]]; i <= y; i++){
a[i] += k; sum[belong[y]] += k;
}
for(int i = belong[x] + 1; i <= belong[y] - 1; i++){
lazy[i] += k;
sum[i] += blo * k;
}
}
对以下这句代码作出特别解释：
sum[i] += blo * k;
不用特判最后一块的原因是：如果操作区间覆盖到的最后一块，也一定是作为 belongybelongy 处理掉了，剩下来的块长一定是 blockblock。
*** ** * ** ***
### 4 查询操作
#### 4.1 查询元素和
对于块 belongxbelongx 和 belongybelongy，暴力枚举加和，注意加上其元素后还要加上 lazybelongilazybelongi
对于 \[belongx+1,belongy−1\]\[belongx+1,belongy−1\] 的块，直接 `ans=ans+sum[i]` 即可。
同样的，需要特判 belongx=belongybelongx=belongy
代码：
int query_sum(){
int ans = 0;
if(belong[x] == belong[y]){
for(int i = x; i <= y; i++){
ans += a[i] + lazy[belong[x]];
}
return ans;
}
for(int i = x; i <= R[belong[x]]; i++){
ans += a[i] + lazy[belong[x]];
}
for(int i = L[belong[x]]; i <= y; i++){
ans += a[i] + lazy[belong[y]];
}
for(int i = belong[x] + 1; i <= belong[y] - 1; i++){
ans += sum[i];
}
return ans;
}
#### 4.2 查询关系
与4.1类似，在块 belongxbelongx 和 belongybelongy，暴力枚举求答案；
对于 \[belongx+1,belongy−1\]\[belongx+1,belongy−1\] 的块，因为其是有序的，进行二分找到端点位置，然后加加减减求出块中有多少符合要求的元素即可。
本处代码见5.
*** ** * ** ***
### 5 教主的魔法
在学习完分块后，我们可以发现，教主的魔法就是一道裸的分块题。
因此，完整代码如下：
```cpp
#include
P2801 教主的魔法
浚浚的二师兄2024-08-20 2:10
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