常用代码模板1 - 基础算法
作者：CodeWin；
快速排序
cpp
void qsort(int a[], int l, int r)
{
if (l >= r) // 分治的边界，区间长度为 1
return;
// i:从左到右找第一个不符合要求的位置, j:从右到左找第一个不符合要求的位置, 基准值
int i = l, j = r, midx = a[l + r >> 1];
while (i <= j)
{
while (i <= j && a[i] < midx)
i++;
while (i <= j && a[j] > midx)
j--;
if (i <= j) // 将左右两侧不符合的要求的位置，交换值
swap(a[i++], a[j--]); // 且靠拢一步
}
if (l < j) // 递归分治两部分
qsort(a, l, j);
if (i < r)
qsort(a, i, r);
}归并排序
cpp
int tmp[N]; // 临时存放数组，O(n)
void merge_sort(int a[], int l, int r)
{
if (l >= r)
return;
int mid = l + r >> 1;
merge_sort(a, l, mid); // 先分治,后处理
merge_sort(a, mid + 1, r);
int tmp[N];
int k = l, i = l, j = mid + 1; // k:表示临时数组的存放指针, i/j:分别表示为两部分[l,mid] / [mid+1,r]的各自左指针
while (i <= mid && j <= r)
if (a[i] <= a[j]) // 小的优先放，<= 也能确定算法的稳定性
tmp[k++] = a[i++];
else
tmp[k++] = a[j++];
while (i <= mid) // 左侧剩余的有序元素
tmp[k++] = a[i++];
while (j <= r) // 右侧剩余的有序元素
tmp[k++] = a[j++];
for (i = l; i <= r; i++) // 有序后归位
a[i] = tmp[i];
}二分查找类
二分查找 - 整数
开区间，非常实用且美观的二分板子
- 查找
第一个≥ t a r g e t \ge target ≥target 元素所在位置。- 查找最
后一个≥ t a r g e t \ge target ≥target 元素所在位置。
cpp
bool check(int x)
{
/*检查 x 是否满足某种性质*/
}
// 查找第一个满足 >= target 的元素
int bsearch1(int target, int a[], int l, int r)
{
l -= 1, r += 1; // 开区间
while (l + 1 < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid))
r = mid;
else
l = mid;
}
return r; // 答案落在右端点
}
// 查找最后一个满足 >= target 的元素
int bsearch2(int target, int a[], int l, int r)
{
l -= 1, r += 1; // 开区间
while (l + 1 < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid))
l = mid;
else
r = mid;
}
return l; // 答案落在左端点
}二分查找 - 浮点数
cpp
bool check(double x)
{
/*检查 x 是否满足某种性质*/
}
double bsearch3(double l, double r)
{
const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，去取决于题目对精度的要求
while (r - l > eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid))
r = mid;
else
l = mid;
}
return l; // l/r都可以
}高精度
高精度 - 加法
省略了「逆序存放」，逆序存放后下标从 1 开始
cpp
void gadd(int a[], int b[], int len)
{
for (int i = 1; i <= len; i++)
{
c[i] += a[i] + b[i];
c[i + 1] = c[i] / 10; // 模拟进位
c[i] %= 10;
}
if (c[len + 1]) // 最后进位可能会位数增加
len++;
// 处理前导 0
while (c[len] == 0 && len > 1)
len--;
for (int i = len; i >= 1; i--)
cout << c[i];
}高精度 - 减法
省略了「逆序存放」、「处理负数」
cpp
void gsub(int a[], int b[], int len)
{
for (int i = 1; i <= len; i++)
{
if (a[i] < b[i])
a[i] += 10, a[i + 1] -= 1;
c[i] = a[i] - b[i];
}
while (c[len] == 0) // 处理前导0，998-996=002
len--;
for (int i = len; i >= 1; i--)
cout << c[i];
if (len < 1) // 恰好为 0 的情况
cout << 0;
}高精度 - 乘法
省略，逆序存放，竖式乘法，规律：
c[i+j-1] = a[i]*b[j]；
- 注意特判，结果为 0 的情况也要输出
cpp
void gmul(int a[], int b[], int len)
{
for (int i = 1; i <= s1.size(); i++)
for (int j = 1; j <= s2.size(); j++)
c[i + j - 1] += a[i] * b[j];
// 先相乘，后处理进位问题
for (int i = 1; i <= len; i++)
{
c[i + 1] += c[i] / 10; // 模拟进位
c[i] %= 10;
}
// 处理前导0
while (c[len] == 0)
len--;
for (int i = max(1, len); i >= 1; i--) // 结果为 0 的情况，用 max 特判
cout << c[i];
}高精度 - 除法 (高除低)
- 注意分母 b 不能是零；
- 前导 0 处理到倒数第二位，可能结果是 0，保留一位
- 省略了，除法不需要逆序存放。
cpp
void gdiv(int a[], int b, int len)
{
int res = 0;
for (int i = 1; i <= len; i++)
{
res = res * 10 + a[i];
c[i] = res / b;
res %= b;
}
int k = 1;
while (c[k] == 0 && k < len) // 处理前导0teng`
k++;
for (k = max(1, k); k <= len; k++) // 注意结果为 0 的情况，用 max 特殊处理
cout << c[k];
}前缀和与查分
一维前缀和
- O ( 1 ) O(1) O(1) 区间和查询： s u m [ R ] − s u m [ L − 1 ] sum[R] - sum[L-1] sum[R]−sum[L−1]
cpp
// 原值, 前缀和数组
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], sum[N], T;
int main() {
...
// 构造前缀和数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
// O(1) 时间内访问区间 [L,R] 的和
cin >> T;
while ( T-- ) {
int L, R;
cin >> L >> R;
cout << sum[R] - sum[L - 1] << endl;
}
}一维差分
- O ( 1 ) O(1) O(1) 区修： b [ l ] + c , b [ r + 1 ] − c b[l]+c, b[r+1]-c b[l]+c,b[r+1]−c；
cpp
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N]; // 原值、差分数组
int n;
int main() {
...
// 构造差分数组
for (int i = 1; i <= n; i++)
b[i] = a[i] - a[i - 1];
// O(1) 时间复杂度内修改区间的值
int q, L, R, c;
cin >> q;
while (q--) {
cin >> L >> R >> c; // [L,R] + c
b[L] += c, b[R + 1] -= c;
}
// 前缀和运算，将差分数组 b[] 还原到原值数组 b[]
for (int i = 1; i <= n; i++)
b[i] = b[i] + b[i - 1];
// 输出原值数组 b[]
for (int i = 1; i <= n; i++)
cout << b[i] << endl;
}二维前缀和
- 构造： s u m [ i ] [ j ] = s u m [ i − 1 ] [ j ] + s u m [ i ] [ j − 1 ] − s u m [ i − 1 ] [ j − 1 ] + a [ i ] [ j ] sum[i][j] =sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i][j] sum[i][j]=sum[i−1][j]+sum[i][j−1]−sum[i−1][j−1]+a[i][j]；
- 输出： s u m [ c ] [ d ] − s u m [ c ] [ b − 1 ] − s u m [ a − 1 ] [ d ] + s u m [ a − 1 ] [ b − 1 ] sum[c][d] - sum[c][b-1] - sum[a-1][d] + sum[a-1][b-1] sum[c][d]−sum[c][b−1]−sum[a−1][d]+sum[a−1][b−1]；
cpp
int a[N][N], sum[N][N];
int n, m, q;
int main() {
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> a[i][j];
// 构造二维前缀和数组, O(nm)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i][j];
// q 次询问, 每次 O(1)
for(int i=1,a,b,c,d;i<=q;i++){
cin >> a >> b >> c >> d;
cout << sum[c][d] - sum[c][b-1] - sum[a-1][d] + sum[a-1][b-1] << endl;
}
return 0;
}二维差分
构造：
cppb[aa][bb] += a[i][j]，b[aa + 1][bb] -= a[i][j]，b[aa][bb + 1] -= a[i][j]，b[aa + 1][bb + 1] += a[i][j]区修
aa,bb)-(cc,dd)+k：
cppb[aa][bb] += k; //左上 b[cc + 1][bb] -= k; //左下 b[aa][dd + 1] -= k; //右上 b[cc + 1][dd + 1] += k; // 右下
cpp
const int N = 1e3 + 10;
int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];
void insert( int aa, int bb, int cc, int dd, int k ) {
b[aa][bb] += k; //左上
b[cc + 1][bb] -= k; //左下
b[aa][dd + 1] -= k; //右上
b[cc + 1][dd + 1] += k; // 右下
}
int main() {
...
// 构造差分数组
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
insert( i, j, i, j, a[i][j] );
// 区间修改 O(1)
for(int i=1,aa,bb,cc,dd,k;i<=q;i++){
cin >> aa >> bb >> cc >> dd >> k;
insert( aa,bb,cc,dd,k );
}
// 前缀和还原，将差分数组还原序列的值
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++) // 二维前缀和式子
b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];
...
}位运算
求 n n n 的第 k k k 位数字：
n >> k & 1返回 n n n 的最后一位 1 1 1：
lowbit(n) = n & -n
双指针算法
cpp
for (int i = 0, j = 0; j < n ; j++)
{
while( j<i && check( i,j ) ) j++;
// 具体的代码逻辑
...
}
常见问题分类：
(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并sort中合并两个有序序列的操作离散化
解决，一段 区间值域较大 ，如： [ − 1 0 9 , 1 0 9 ] [-10^9, 10^9] [−109,109] ，通过创建数组及下标来访问某个值 ，修改某段区间是
做不到，会超出最大可空间存储，实际上值域存在的个数又不是很多 ，如 1 0 5 10^5 105 个元素，这时就可以 利用离散化，将一端较大的值域离散到「紧靠」在一起的数组元素，通过二分来查找出原值锁在的位置。三步骤：
- 放入分布交离散的元素到「待离散」的数组中。
- 排序、去重，离散的元素「紧靠」在一起，通过下标映射。
- 二分查找离散后「x」的下标 k，通过 k 来访问离散后值。
cpp
vector<int> alls; //存储所有｛待离散化｝的值
int n;
int find( int k ) {
int l = 0, r = alls.size(); // 开区间
while ( l + 1 < r ) {
int mid = (l + r) / 2 ;
if ( alls[mid] >= k )
r = mid;
else
l = mid;
}
return r + 1; //+1，代表分布在 [1,...,all.size()] ,不加以就从 0 开始
}
int main() {
int n;
cin >> n;
for (int i = 1, x; i <= n; i++)
cin >> x, alls.push_back(x); // 读入到「待离散」的数组中
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase( unique( alls.begin(), alls.end() ), alls.end() ); // 去重元素
// 二分求出 x 对应的离散化的位置
int x;
cin >> x;
cout << find( x ) << endl;
return 0;
}区间合并
cpp
// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
vector<PII> res;
sort(segs.begin(), segs.end());
int st = -2e9, ed = -2e9;
for (auto seg : segs)
if (ed < seg.first)
{
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
st = seg.first, ed = seg.second;
}
else ed = max(ed, seg.second);
if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
segs = res;
}深搜
cpp
auto dfs( ... ){
if( 搜索边界 ) // 一般是最小问题初始化 / 到达答案则返回
return ...;
// 具体问题具体分析
dfs( ... );// 缩小子问题, 递归求解
}
dfs( ... ); 广搜
cpp
#include<queue>
queue< 类型 > q;
q.push( <初始状态> );
while( q.size() ){
auto top = q.front(); // 队头状态
q.pop(); //出队
for( ; ; ) { // 课扩展状态的枚举
if( check() ) // 符合要求的元素进队
q.push();
}
//..... 具体问题具体分析
}回溯算法
Carl（卡尔）的板子
cpp
void backtarcking( 参数 ){
if( 终止条件 ){
记录结果
return;
}
else{
for( 选择：本层集合元素（树中节点孩子的数量或集合的大小） ){
处理节点；
backtarcking( 路径，选择列表 ); // 递归
回溯，撤销处理结果；
}
}
}