备战2024年全国大学生数学建模竞赛：海洋多波束测线布设优化

一、引言

全国大学生数学建模竞赛是培养学生数学应用能力的重要赛事，每年吸引大量参赛者。2023年竞赛B题以"多波束测线布设优化"为主题，涉及海洋测绘领域的复杂几何与优化问题。本文结合该题，详细讨论如何建立模型并求解，以优化多波束测线布设方案。我们将涵盖问题分析、解题思路、知识点解析以及MATLAB代码示例，帮助参赛者备战2024年的竞赛。

二、问题分析

多波束测深系统在水深测量中能够同时获取多个相邻窄波束，形成条带式海底地形数据，从而实现高效测绘。2023年B题要求通过建模来优化测线布设，主要包括以下四个问题：

问题1： 计算在特定条件下的海水深度、覆盖宽度及相邻条带的重叠率。
问题2： 在已知坡面法向投影角度的情况下，计算特定位置的覆盖宽度。
问题3： 为矩形海域设计最短的测线方案，确保完全覆盖和合理重叠率。
问题4： 基于单波束测深数据，设计多波束测量的测线方案，确保测量完整性和效率。

三、解题思路

1. 问题1：覆盖宽度及重叠率的计算

目标： 在海底坡度已知的情况下，计算多波束测深的覆盖宽度和相邻条带之间的重叠率。

建模步骤：

三维坐标系建立： 以海域中心为原点，建立三维直角坐标系，分别表示测线方向、测线间距和水深。
海水深度计算： 通过相似三角形原理计算海水深度，利用几何关系推导出关键角度与覆盖宽度的关系。
重叠率计算： 根据覆盖宽度和测线间距，推导出相邻条带之间的重叠率公式。

2. 问题2：不同测线方向的覆盖宽度

目标： 在已知测线方向与坡面法向夹角的条件下，计算覆盖宽度。

建模步骤：

矢量分析： 利用向量叉乘求解测线方向与水平面投影的夹角，进而计算海水深度和覆盖宽度。
角度调整： 考虑不同测线方向与坡面的夹角，利用正弦定理计算覆盖宽度的变化。

3. 问题3：测线布设的单目标优化

目标： 设计一组测线，确保最短总长度的同时，实现完全覆盖并满足重叠率要求。

建模步骤：

测线方向选择： 通过数学证明，确定测线方向应平行于等深线。
单目标优化： 以测线总长度最短为目标，建立单目标优化模型，约束条件为覆盖面积和重叠率范围。
算法求解： 基于贪心算法逐步优化测线布设，确保求解的合理性与效率。

4. 问题4：基于单波束数据的多波束测线设计

目标： 在复杂地形的海域，基于单波束测深数据设计多波束测线方案，确保高效测量。

建模步骤：

海域划分与拟合： 依据海底地形的复杂度，将海域划分为多个矩形区域，利用最小二乘法拟合坡面方程。
粒子群优化： 利用粒子群算法优化测线布设，确保整体测量的效率和完整性。

四、知识点解析

1. 几何与向量分析

相似三角形与正弦定理： 用于计算海水深度、覆盖宽度与角度关系。
向量分析与叉乘： 用于确定不同测线方向与水平面夹角，从而影响覆盖宽度。

2. 优化算法

贪心算法： 用于逐步优化测线布设，确保最短路径和最优重叠率。
粒子群优化算法： 通过随机扰动和全局搜索，优化复杂海域的测线布设。

3. 模拟退火

模拟退火算法： 通过随机优化搜索，避免局部最优解，确保测线布设的全局最优。

五、MATLAB代码示例

以下是问题1的MATLAB代码示例，用于计算海水深度、覆盖宽度与重叠率：

Matlab 复制代码

clear;
alpha = 1.5; % 海底坡度 (degrees)
theta = 120; % 开角 (degrees)
D0 = 70; % 海域中心处水深 (m)
y = linspace(-800, 800, 9); % 距离中心点的测线位置

% 计算海水深度
D = D0 - y * tand(alpha);

% 计算覆盖宽度
W = 2 * D .* sind(theta / 2) ./ sind(90 - alpha - theta / 2);

% 计算重叠率
d = 200; % 测线间距 (m)
HF = W - d .* cosd(alpha);
eta = HF ./ W;

% 输出结果
result_table = table(y', D', W', eta', 'VariableNames', {'距离', '水深', '覆盖宽度', '重叠率'});
disp(result_table);

结果分析：

海水深度与覆盖宽度： 随测线距离中心的增大，海水深度和覆盖宽度减少。
重叠率： 深水区重叠率较大，浅水区出现负值，表明有漏测风险。

六、总结与建议

本文详细分析了多波束测线布设问题，并提供了相应的模型建立与求解思路。通过优化算法和MATLAB编程，参赛者可以有效解决实际测绘问题。在备战2024年竞赛中，建议参赛者重点关注：

模型建立与求解： 熟练掌握几何分析与优化算法，确保模型的科学性与解法的准确性。
工具使用： 熟悉MATLAB编程，能快速实现模型求解与结果分析。
团队合作与时间管理： 在竞赛中合理分工与协作，确保各项任务的高效完成。

预祝各位参赛者在2024年全国大学生数学建模竞赛中取得优异成绩！