代码随想录算法训练营第三十四天（动态规划 二）

力扣题部分:

62.不同路径

题目链接:. - 力扣（LeetCode）

题面:

一个机器人位于一个 m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

思路:

动规五部曲:

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dpij ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dpij条不同的路径。

2.确定递推公式

想要求dpij，只能有两个方向来推导出来，即dpi - 1j 和 dpij - 1。

此时在回顾一下 dpi - 1j 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dpij - 1同理。

那么很自然，dpij = dpi - 1j + dpij - 1，因为dpij只有这两个方向过来。

3.dp数组的初始化

如何初始化呢，首先dpi0一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp0j也同理。

4.确定遍历顺序

这里要看一下递推公式dpij = dpi - 1j + dpij - 1，dpij都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

这样就可以保证推导dpij的时候，dpi - 1j 和 dpij - 1一定是有数值的。

5.举例推导dp数组

如图所示：

代码实现:

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n)
    {
        vector<vector<int>>dp;
        vector<int>a0(n, 0);
        a0[0] = 1;
        vector<int>a1(n, 1);
        for(int i = 0; i < m; i ++)
        {
            if(i != 0) dp.push_back(a0);
            else dp.push_back(a1);
        }
        for(int i = 1; i < m; i ++)
        {
            for(int j = 1; j < n; j ++)
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

63. 不同路径 II

题目链接:. - 力扣（LeetCode）

题面:

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish"）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

思路:

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dpij ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dpij条不同的路径。

2.确定递推公式

递推公式和上题一样，dpij = dpi - 1j + dpij - 1。

但这里需要注意一点，因为有了障碍，

(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）

3.dp数组如何初始化

和上题不同，障碍的加入使得初始化需要注意更多细节:

如果起点就是障碍，所有地点都无法达到，所以直接return 0了。

第一行 第一列 有障碍的话障碍后面就不能到达。

我采用第一行或第一列分开递推的方式初始化。

部分代码:

if(obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;
if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
else if(i == 0 && j == 0) dp[i][j] = 1;
else if(i == 0 && j != 0) dp[i][j] = dp[i][j - 1];
else if(j == 0 && i != 0) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];

4.确定遍历顺序

从递归公式dpij = dpi - 1j + dpij - 1 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dpij的时候，dpi - 1j 和 dpij - 1一定是有数值。

5.举例推导dp数组

拿示例1来举例如题：

代码实现:

class Solution {
public:
   int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) 
    {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>>dp;
        vector<int>a0(n, 0);
        for(int i = 0; i < m; i ++)
        {
            dp.push_back(a0);
        }
        for(int i = 0; i < m; i ++)
        {
            for(int j = 0; j < n; j  ++)
            {
                if(obstacleGrid[0][0] == 1) return 0;
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
                else if(i == 0 && j == 0) dp[i][j] = 1;
                else if(i == 0 && j != 0) dp[i][j] = dp[i][j - 1];
                else if(j == 0 && i != 0) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};