LeetCode: 2552. 统计上升四元组 动态规划 时间复杂度O(n*n)

2552. 统计上升四元组

today 2552. 统计上升四元组

题目描述

给你一个长度为n下标从 0 开始的整数数组 nums ,它包含1n的所有数字,请你返回上升四元组的数目。

如果一个四元组 (i, j, k, l) 满足以下条件,我们称它是上升的:

  • 0 <= i < j < k < l < n
  • nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l]

示例 1:

输入:nums = [1,3,2,4,5]
输出:2
解释:
- 当 i = 0 ,j = 1 ,k = 2 且 l = 3 时,有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
- 当 i = 0 ,j = 1 ,k = 2 且 l = 4 时,有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
没有其他的四元组,所以我们返回 2 。

示例 2:

输入:nums = [1,2,3,4]
输出:0
解释:没有四元组,所以我们返回 0 。

提示:

  • 4 <= nums.length <= 4000
  • 1 <= nums[i] <= nums.length
  • nums 中所有数字 互不相同 ,nums 是一个排列。

解题思路

我们可以枚举四元组中的 jk,那么问题转化为,对于当前的 j k

统计有多少个 l 满足 l>knums[l]>nums[j],记为cnt1

统计有多少个 i 满足 i<jnums[i]<nums[k],记为cnt2;

所以,对于每一组 jk,满足条件的组合数目为cnt1*cnt2,将所有jk组合数目相加,就是答案。

那么我们可以用动态规划解决这个问题。

使用二维数组 f 来记录 jk 组合的情况,f[j][k] 表示 有多少个l满足满足 l>knums[l]>nums[j]

初始化 f[j][n-1]0,表示对于末尾元素为k的情况下,没有满足条件的l。注意1<=j<n-2

从后往前填充行f[j],如果nums[k]>nums[j],则f[j][k-1]=f[j][k]+1

此时,对于每个jk,我们都可以计算出有多少个 l 满足 l>knums[l]>nums[j],即cnt1=f[j][k]

对于每个jk,我们已经通过二维数组 f,记录了cnt1的取值,接下来,我们只需要记录cnt2的取值即可。

对于每个jk,我们可以确定k,,之后从前往后遍历数组。

初始化cnt2=0,如果

  • nums[j]<nums[k],则cnt2+=1,表示当前有多少个i满足nums[i]<nums[k]
  • nums[j]>nums[k],则当前jk满足条件,我们将cnt2*cnt1cnt2*f[j][k]加入答案。

最后,返回答案即可。

复杂度分析

  • 时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),其中 n n n 是数组的长度。
  • 空间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2),其中 n n n 是数组的长度。

代码实现

Python实现:

python 复制代码
class Solution(object):
    def countQuadruplets(self, nums):
        n=len(nums)
        f=[[0]*n for i in range(n)]
        ans=0
        for j in range(1,n-2):
            cnt=0
            for k in range(n-1,j,-1):
                f[j][k]=cnt
                if nums[k]>nums[j]:
                    cnt+=1
        for k in range(2,n-1):
            cnt=0
            for j in range(0,k):
                if(nums[j]>nums[k]):
                    ans+=cnt*f[j][k]
                else:
                    cnt+=1
        return ans

C++实现:

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        vector<vector<int>> f(n,vector<int>(n,0));
        long long res=0;
        for(int j=1;j<n-2;j++){
            int cnt=0;
            for(int k=n-1;k>j;k--){
                f[j][k]=cnt;
                if(nums[k]>nums[j]){
                    cnt++;
                }
            }
        }
        for(int k=2;k<n-1;k++){
            int cnt=0;
            for(int j=0;j<k;j++){
                if(nums[j]<nums[k]){
                    cnt++;
                    continue;
                }else{
                    res+=cnt*f[j][k];
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

Go实现:

go 复制代码
func countQuadruplets(nums []int) int64 {
	n := len(nums)
	f := make([][]int, n)
	for i := range f {
		f[i] = make([]int, n)
	}
	for j := 1; j < n-2; j++ {
		cnt := 0
		for k := n-1; k >j; k-- {
            f[j][k] = cnt
			if nums[j] < nums[k] {
				cnt++
			} 
		}
	}
	ans := 0
	for k := 2; k < n-1; k++ {
		cnt := 0
		for j := 0; j <k; j++ {
			if nums[j] < nums[k] {
				cnt++
                continue
			}else{
                ans+=cnt*f[j][k]
            }
		}
	}
	return int64(ans)
}
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