文章目录
- [经验误差与过拟合 （Empirical error &overfitting）](#经验误差与过拟合 （Empirical error &overfitting）)
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- [1. **均方误差（Mean Squared Error, MSE）**](#1. 均方误差（Mean Squared Error, MSE）)
- [2. **均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE）**](#2. 均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE）)
- [3. **平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）**](#3. 平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）)
- [4. **交叉熵损失（Cross Entropy Loss）**](#4. 交叉熵损失（Cross Entropy Loss）)
- [5. **Hinge 损失**](#5. Hinge 损失)
- [6. **Huber 损失**](#6. Huber 损失)
- [7. **KL 散度（Kullback-Leibler Divergence）**](#7. KL 散度（Kullback-Leibler Divergence）)
- [8. **Softmax 损失**](#8. Softmax 损失)
- 总结：
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- [评估方法 （Evaluation method）](#评估方法 （Evaluation method）)
- [性能度量（Performance measure）](#性能度量（Performance measure）)
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- 错误率与精度
- 查准率、查全率与F1
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- [混淆矩阵（Confusion Matrix）：](#混淆矩阵（Confusion Matrix）：)
- [查准率（Precision, P）：](#查准率（Precision, P）：)
- [查全率（Recall, R）：](#查全率（Recall, R）：)
- [F1值（F1 Score）：](#F1值（F1 Score）：)
- 总结：
- 案例分析：垃圾邮件识别
- ROC与AUC
- 代价敏感错误率与代价曲线
- [偏差与方差 （Bias and Variance）](#偏差与方差 （Bias and Variance）)
经验误差与过拟合 （Empirical error &overfitting）
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经验误差 是指学习器 f f f 在训练集上表现出的误差。公式为：
R e m p ( f ) = 1 m ∑ i = 1 m L ( f ( x i ) , y i ) R_{emp}(f) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} L(f(x_i), y_i) Remp(f)=m1i=1∑mL(f(xi),yi)
其中 L ( f ( x i ) , y i ) L(f(x_i), y_i) L(f(xi),yi) 是损失函数 ，表示模型在训练样本 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi) 上的误差。
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泛化误差 是指学习器 f f f 在未来的未见样本上所表现出的误差。公式为：
R ( f ) = E [ L ( f ( x ) , y ) ] = ∫ L ( f ( x ) , y ) d P ( x , y ) R(f) = \mathbb{E}[L(f(x), y)] = \int L(f(x), y) dP(x, y) R(f)=E[L(f(x),y)]=∫L(f(x),y)dP(x,y)
- 这里 P ( x , y ) P(x, y) P(x,y) 是样本的真实分布 ， L ( f ( x ) , y ) L(f(x), y) L(f(x),y) 表示模型对新的样本 ( x , y ) (x, y) (x,y) 的误差。
- 公式右侧的积分表达式说明了**泛化误差是模型在整个真实数据分布下的平均误差，**即模型不仅要在训练数据上表现好，还需要在未来可能遇到的未知样本上表现良好。
要点：
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经验误差并非越小越好，因为过度减小经验误差 可能导致模型过拟合（即模型在训练集上表现非常好，但在新样本上表现差）。
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常见的损失函数与适用范围
1. 均方误差（Mean Squared Error, MSE）
- 公式 ： M S E = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y i ^ ) 2 MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y_i})^2 MSE=n1∑i=1n(yi−yi^)2
- 适用场景 ：主要用于回归任务，例如预测房价或气温。
- 解释 ：MSE 计算的是真实值 y i y_i yi 与预测值 y i ^ \hat{y_i} yi^ 之间的平方差。这个损失函数惩罚较大的误差，因此对异常值较为敏感。
2. 均方根误差（Root Mean Squared Error, RMSE）
- 公式 ： R M S E = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y i ^ ) 2 RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y_i})^2} RMSE=n1∑i=1n(yi−yi^)2
- 适用场景 ：同样适用于回归任务，其单位与输出变量一致，因此易于解释。
- 解释 ：与 MSE 类似，但在计算后进行了平方根处理，避免了过度放大大误差的影响。
3. 平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）
- 公式 ： M A E = 1 n ∑ i = 1 n ∣ y i − y i ^ ∣ MAE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \hat{y_i}| MAE=n1∑i=1n∣yi−yi^∣
- 适用场景 ：用于回归任务，但相比 MSE 更加鲁棒，适用于异常值较多的场景。
- 解释 ：MAE 计算的是预测值与真实值之间的绝对误差，所有误差的权重相同，因此对异常值的影响较小。
4. 交叉熵损失（Cross Entropy Loss）
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公式：对于二分类问题：
H ( p , q ) = − 1 n ∑ i = 1 n [ y i log y i ^ + ( 1 − y i ) log ( 1 − y i ^ ) ] H(p, q) = - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [y_i \log \hat{y_i} + (1 - y_i) \log (1 - \hat{y_i})] H(p,q)=−n1i=1∑n[yilogyi^+(1−yi)log(1−yi^)]
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适用场景 ：主要用于分类任务，例如二分类任务（如猫和狗的分类）、多分类任务（如手写数字识别）。
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解释 ：交叉熵损失衡量的是两个概率分布之间的差异 ，预测值 y i ^ \hat{y_i} yi^ 越接近真实值 y i y_i yi ，损失越小。
5. Hinge 损失
- 公式 ： L ( y , y ^ ) = max ( 0 , 1 − y ⋅ y ^ ) L(y, \hat{y}) = \max(0, 1 - y \cdot \hat{y}) L(y,y^)=max(0,1−y⋅y^)
- 适用场景：主要用于**支持向量机（SVM）**等分类模型。
- 解释 ：当样本的预测结果 y ⋅ y ^ ≥ 1 y \cdot \hat{y} \geq 1 y⋅y^≥1 时，损失为 0 0 0；当预测错误时，损失会增加。Hinge 损失用于区分模型的预测结果是否足够有信心。
6. Huber 损失
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公式：
L δ ( a ) = { 1 2 a 2 if ∣ a ∣ ≤ δ δ ( ∣ a ∣ − 1 2 δ ) otherwise L_{\delta}(a) = \begin{cases} \frac{1}{2}a^2 & \text{if } |a| \leq \delta \\ \delta(|a| - \frac{1}{2}\delta) & \text{otherwise} \end{cases} Lδ(a)={21a2δ(∣a∣−21δ)if ∣a∣≤δotherwise
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适用场景 ：用于回归任务 ，尤其在需要平衡鲁棒性 和异常值敏感性时。
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解释：Huber 损失在误差较小时表现为均方误差（MSE），在误差较大时表现为平均绝对误差（MAE），因此在处理异常值时更加稳健。
7. KL 散度（Kullback-Leibler Divergence）
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公式：
D K L ( P ∣ ∣ Q ) = ∑ i P ( i ) log P ( i ) Q ( i ) D_{KL}(P || Q) = \sum_{i} P(i) \log \frac{P(i)}{Q(i)} DKL(P∣∣Q)=i∑P(i)logQ(i)P(i)
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适用场景 ：用于测量两个概率分布之间的差异 ，常用于生成模型 或自监督学习。
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解释 ： K L KL KL 散度度量了真实分布 P P P 与预测分布 Q Q Q 之间的信息损失，越接近越好。
8. Softmax 损失
- 公式： L = − 1 N ∑ i = 1 N log e y i ^ ∑ j e y j ^ 公式： L = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log \frac{e^{\hat{y_i}}}{\sum_{j} e^{\hat{y_j}}} 公式：L=−N1∑i=1Nlog∑jeyj^eyi^
- 适用场景 ：通常用于多分类问题的神经网络输出层，结合交叉熵损失。
- 解释 ： S o f t m a x Softmax Softmax 损失将多个分类的输出归一化为概率分布，并计算与真实标签的交叉熵损失。
总结：
- 回归任务：常用 MSE、MAE、Huber 损失等。
- 分类任务：常用交叉熵损失、Hinge 损失、Softmax 损失等。
- 生成模型/概率测量：常用 KL 散度等。
损失函数的选择取决于具体的任务类型、数据特性以及模型需求。
评估方法 （Evaluation method）
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留出法 (Hold-out method)：
这是最简单的验证方法之一，将数据集分成两个或三个部分：训练集和测试集（有时还有验证集）。训练集用于训练模型，测试集用于评估模型的性能。常见的划分比例是70%用于训练，30%用于测试。这种方法简单直接，但在数据量较小时可能不够稳定。
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交叉验证法 (Cross-validation)：
交叉验证是一种比留出法更可靠的验证技术。最常见的是 k折交叉验证 。数据集被分成
k个相同大小的部分，模型训练k次，每次使用一个不同的部分作为测试集，其余部分作为训练集。这样可以更好地减少模型性能估计的方差，提供更稳定的结果。 -
自助法 (Bootstrapping)：
- 自助法是一种重采样技术，数据点从数据集中随机选取，允许有放回地抽样，以创建多个新的训练集。这种方法在数据集较小 时尤其有用，因为它可以通过创建许多样本来帮助估计模型性能的不确定性。自助法主要用于估计统计量的分布或不确定性。
- 通过自助法，初始数据集 D D D 中约有 36.8 % 36.8 \% 36.8% 的样本未被采样到数据集 D D D' 中。
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调参与最终模型 (Parameter tuning and final model)：
这指的是调整模型的超参数以优化性能的过程。常用的方法包括网格搜索（Grid Search）和随机搜索（Random Search），它们用于找到最佳的参数组合。在找到最佳参数之后，最终模型会在整个训练集上进行训练，并在测试集上评估模型的性能。
性能度量（Performance measure）
错误率与精度
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错误率 ：
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错误率表示模型预测错误的比例。公式如下：
E ( f ; D ) = 1 m ∑ i = 1 m I ( f ( x i ) ≠ y i ) E(f;D) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \mathbb{I}(f(x_i) \neq y_i) E(f;D)=m1i=1∑mI(f(xi)=yi)
其中：
- m m m 是数据集中的样本总数；
- f ( x i ) f(x_i) f(xi) 是模型对样本 x i x_i xi 的预测结果；
- y i y_i yi 是样本 x i x_i xi 的真实标签；
- I ( f ( x i ) ≠ y i ) \mathbb{I}(f(x_i) \neq y_i) I(f(xi)=yi) 是一个指示函数 ，当 f ( x i ) ≠ y i f(x_i) \neq y_i f(xi)=yi 时取值为 1 1 1（表示预测错误），否则取值为 0 0 0。
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错误率的意思是，模型在整个数据集上预测错误的样本占总样本数的比例。
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精度 ：
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精度表示模型预测正确的比例。公式如下：
acc ( f ; D ) = 1 m ∑ i = 1 m I ( f ( x i ) = y i ) \text{acc}(f;D) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \mathbb{I}(f(x_i) = y_i) acc(f;D)=m1i=1∑mI(f(xi)=yi)
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精度公式与错误率类似，不同的是，这里的指示函数是 I ( f ( x i ) = y i ) \mathbb{I}(f(x_i) = y_i) I(f(xi)=yi) ，当模型预测正确时取值为 1 1 1（即 f ( x i ) = y i f(x_i) = y_i f(xi)=yi ），否则为 0 0 0。
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因为精度和错误率是互补的关系，所以我们可以用以下公式表示精度：
acc ( f ; D ) = 1 − E ( f ; D ) \text{acc}(f;D) = 1 - E(f;D) acc(f;D)=1−E(f;D)
即：精度等于 1 1 1 减去错误率。
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总结：
- 错误率 和 精度 是评估模型性能的两个基本指标。错误率衡量模型的错误预测比例，而精度则衡量模型的正确预测比例。两者之间的关系是互补的 ，精度等于 1 1 1 减去错误率。
查准率、查全率与F1
混淆矩阵（Confusion Matrix）：
表格中展示了分类结果的四种情况：
- TP (True Positive)：真正例，即模型正确预测为正类的样本。
- FN (False Negative)：假反例，即模型错误地预测为负类的正类样本。
- FP (False Positive)：假正例，即模型错误地预测为正类的负类样本。
- TN (True Negative)：真反例，即模型正确预测为负类的样本。
查准率（Precision, P）：
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查准率衡量的是模型预测为正类的样本中，实际为正类的比例。公式为：
P = T P T P + F P P = \frac{TP}{TP + FP} P=TP+FPTP
解释：在所有被模型预测为正的样本中，有多少是实际正类。
查全率（Recall, R）：
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查全率衡量的是所有实际为正类的样本中，模型正确预测为正类的比例。公式为：
R = T P T P + F N R = \frac{TP}{TP + FN} R=TP+FNTP
解释：在所有真实正类样本中，有多少被模型正确预测为正。
F1值（F1 Score）：
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F 1 F1 F1 值是查准率和查全率的调和平均，用来平衡查准率和查全率之间的权衡。公式为：
F 1 = 2 × P × R P + R = 1 1 2 × ( 1 P + 1 R ) F1 = \frac{2 \times P \times R}{P + R} = \frac{1}{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{P} +\frac{1}{R})} F1=P+R2×P×R=21×(P1+R1)1
解释： F 1 F1 F1 值同时考虑了查准率和查全率 ，当这两者数值差距较大时， F 1 F1 F1 值能提供一个平衡的评估。
总结：
- 查准率 衡量的是预测为正类的准确性。
- 查全率 衡量的是对所有正类样本的覆盖程度。
- F1值 提供了查准率和查全率的平衡评价，是在查准率和查全率有冲突时的常用指标。
案例分析：垃圾邮件识别
ROC与AUC
ROC曲线：
- ROC曲线 是一个常用的评估分类模型性能的工具，特别是在二分类问题中。ROC曲线通过不同的分类阈值 绘制出真正例率（ T P R TPR TPR） 和 假正例率（ F P R FPR FPR） 的关系，帮助分析模型在不同阈值下的表现。
真正例率（True Positive Rate, TPR）：
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真正例率也称为召回率（Recall），表示在所有真实的正类样本中，模型正确预测为正类的比例。公式如下：
T P R = T P T P + F N TPR = \frac{TP}{TP + FN} TPR=TP+FNTP
其中：
- T P TP TP 是真正例（模型正确预测为正的样本数）；
- F N FN FN 是假反例（实际为正，但被模型预测为负的样本数）。
假正例率（False Positive Rate, FPR）：
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假正例率表示在所有真实的负类样本中，模型错误预测为正类的比例。公式如下：
F P R = F P F P + T N FPR = \frac{FP}{FP + TN} FPR=FP+TNFP
其中：
- F P FP FP 是假正例（实际为负，但被模型预测为正的样本数）；
- T N TN TN 是真反例（模型正确预测为负的样本数）。
AUC（Area Under ROC Curve）：
- A U C AUC AUC 是 R O C ROC ROC曲线下面积，表示模型在不同阈值下的总体表现 。 A U C AUC AUC 值的范围是 0 0 0 到 1 1 1， A U C AUC AUC 越接近 1 1 1，说明模型的分类性能越好。
- A U C AUC AUC 为 1 1 1：表示模型有完美的分类能力。
- A U C AUC AUC 为 0.5 0.5 0.5：表示模型的分类能力与随机猜测相当。
总结：
- ROC曲线 通过观察模型在不同阈值下 的真正例率 和假正例率的变化，评估模型的区分能力。
- AUC 是ROC曲线下的面积，用来量化模型的整体表现，越接近 1 1 1代表模型性能越好。
代价敏感错误率与代价曲线
背景：
例如，错误地将小区居民识别为陌生人，和将陌生人错误识别为小区居民，这两种错误在实际应用中会有不同的代价。因此，在分类模型的评估中，我们需要考虑不同类型错误的代价，而不仅仅是简单的错误率。
公式解释：
E ( f ; D ; c o s t ) = 1 m ( ∑ x i ∈ D + I ( f ( x i ) ≠ y i ) × c o s t 01 + ∑ x i ∈ D − I ( f ( x i ) ≠ y i ) × c o s t 10 ) E(f; D; cost) = \frac{1}{m} \left( \sum_{x_i \in D^+} \mathbb{I}(f(x_i) \neq y_i) \times cost_{01} + \sum_{x_i \in D^-} \mathbb{I}(f(x_i) \neq y_i) \times cost_{10} \right) E(f;D;cost)=m1(xi∈D+∑I(f(xi)=yi)×cost01+xi∈D−∑I(f(xi)=yi)×cost10)
- E ( f ; D ; c o s t ) E(f; D; cost) E(f;D;cost) ：表示考虑错误代价后的总体错误率。
- m m m：数据集中样本的总数。
- I ( f ( x i ) ≠ y i ) \mathbb{I}(f(x_i) \neq y_i) I(f(xi)=yi)：一个指示函数，当模型 f ( x i ) f(x_i) f(xi) 预测错误（即 f ( x i ) ≠ y i f(x_i) \neq y_i f(xi)=yi ）时，值为 1 1 1，否则为 0 0 0。
代价因素：
- D + D^+ D+ ：样例集中正类的子集，也就是标签为 0 0 0（正类）的样本。
- D − D^- D− ：样例集中负类的子集，也就是标签为 1 1 1（负类）的样本。
- c o s t 01 cost_{01} cost01：将正类样本错误预测为负类样本的代价。例如，在实际中，将一个正常用户误判为危险用户可能产生较小的代价。
- c o s t 10 cost_{10} cost10 ：将负类样本错误预测为正类样本的代价。例如，将一个危险用户误判为正常用户，可能会带来很大的风险。
解释：
- 该公式考虑了不同错误类型的代价。通过为不同的错误（假正例和假反例）分配不同的代价权重，模型可以更合理地应对代价不对称的情况。
- 如果某种错误比另一种错误代价更高，公式会通过加权方式增加该类错误的惩罚，使模型更注重减少此类错误。
实际应用：
在一些场景中，错误的代价可能不均衡，比如在疾病诊断中，误诊为病人的代价（假正例）和漏诊的代价（假反例）是不一样的。漏诊可能导致更严重的后果，因此我们通常希望减少假反例（更高的代价）。
总结：
此公式提供了一种引入代价的错误率计算方式，通过权衡不同错误的代价，帮助设计出更符合实际应用需求的分类模型。
偏差与方差 （Bias and Variance）
泛化误差分解公式：
泛化误差 E ( f ; D ) E(f; D) E(f;D) 表示模型在新数据上的期望误差，它可以通过偏差（bias） 、方差（variance）和不可避免的噪声项进行分解：
E ( f ; D ) = bias 2 ( x ) + var ( x ) + ϵ 2 E(f; D) = \text{bias}^2(x) + \text{var}(x) + \epsilon^2 E(f;D)=bias2(x)+var(x)+ϵ2
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偏差 bias 2 ( x ) \text{bias}^2(x) bias2(x) ：衡量模型的预测值 f ˉ ( x ) \bar{f}(x) fˉ(x) 与真实输出 y y y 的差异，即模型的系统误差。偏差反映了模型在捕捉数据特征时的偏离程度。公式如下：
bias 2 ( x ) = ( f ˉ ( x ) − y ) 2 \text{bias}^2(x) = \left( \bar{f}(x) - y \right)^2 bias2(x)=(fˉ(x)−y)2
偏差高通常意味着模型过于简单，无法很好地拟合数据（即欠拟合）。
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方差 var ( x ) \text{var}(x) var(x)：衡量模型在不同训练集上的预测结果之间的波动性，反映了模型对训练数据的敏感程度。公式如下：
var ( x ) = E D [ ( f ( x ; D ) − f ˉ ( x ) ) 2 ] \text{var}(x) = \mathbb{E}_D \left[ (f(x; D) - \bar{f}(x))^2 \right] var(x)=ED[(f(x;D)−fˉ(x))2]
方差高通常意味着模型过度依赖训练数据，容易过拟合（即过拟合）。
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噪声项 ϵ 2 \epsilon^2 ϵ2 ：这是不可避免的误差，它来自数据本身的固有噪声，表示即使模型完美拟合数据，也无法消除的误差。公式如下：
ϵ 2 = E D [ ( y D − y ) 2 ] \epsilon^2 = \mathbb{E}_D \left[ (y_D - y)^2 \right] ϵ2=ED[(yD−y)2]
各项含义：
- 偏差 ：期望输出和真实输出的差别，代表了模型的学习能力。当模型过于简单时，偏差较大，容易出现欠拟合。
- 方差 ：同样大小的训练集变动引起的模型预测变动，代表了模型对数据的敏感程度。当模型过于复杂时，方差较大，容易出现过拟合。
- 噪声：数据本身所带来的无法消除的误差，这部分无法通过改进模型来减少。
结论：
泛化性能由学习算法的能力 、数据的充分性 以及任务本身的难度共同决定。偏差和方差的权衡是机器学习中的一个核心问题，模型需要在复杂度和对数据的敏感性之间找到一个平衡点，既避免欠拟合（偏差过高），也避免过拟合（方差过高）。