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一、引言
1、想象数据结构与算法的奇妙世界
想象一下，数据结构就像书架，让数据变得有序。算法则是聪明的管理员，能快速找到你需要的数据。简单来说，算法就是帮我们把数据变成有用信息的聪明方法。
2、算法复杂度的轻松解读
算法复杂度就像问管理员找书快不快，需要多大地方放书。时间复杂度是找书速度，空间复杂度是书架大小。在编程中，这就像优化工作流程，让代码更快，占用资源更少。
3、数据结构与算法的温馨寄语
无论你是编程新手还是资深程序员，数据结构和算法都是你的好朋友。它们是计算机科学的基础，也是你写出高效、可靠代码的秘密武器。掌握它们，就像给编程加速，让代码更流畅、更高效。它们也是你展现才华的舞台，在笔试和面试中证明你的能力。
二、轻松掌握复杂度基础
1、时间复杂度：算法速度的衡量尺
时间复杂度，就是估算算法跑多快的一个工具。它不看具体时间，而是看算法里基本操作做了多少次，和数据量有啥关系。就像看厨师做菜，不看具体几分钟，而是看食材多少来估时间。
2、空间复杂度：算法占地的衡量尺
空间复杂度，是看算法运行时占多少地方的一个工具。它不算具体的bytes，而是算用了多少变量，就像看房间里放了多少箱子。主要关注的是算法临时申请的空间，编译时定好的栈空间不算。
3、常见的复杂度
- 常数复杂度 O(1)：算法执行时间恒定，不受数据量大小影响，效率极高。
- 对数复杂度 O(logN)：随着数据量翻倍，算法执行时间仅轻微增加，效率下降不明显。
- 线性复杂度 O(N)：算法执行时间与数据量成正比，数据量增大时，效率线性下降。
- 线性对数复杂度 O(NlogN)：效率略低于线性复杂度，但优于平方复杂度。数据量翻倍时，效率下降速度介于线性与平方之间。
- 平方复杂度 O(N^2)：算法执行时间随数据量平方增长，数据量翻倍时，效率显著下降。
- 立方复杂度 O(N^3)：比平方复杂度更慢，数据量翻倍时，效率下降速度更快。
- 指数复杂度 O(2^N)：数据量增加时，算法执行时间呈爆炸性增长，数据量翻倍导致效率急剧下降，对于大数据集几乎不可行。
三、复杂度的计算
1、时间复杂度计算
时间复杂度就是计算算法完成任务时，基本操作执行的次数如何随数据量变化。比如，遍历一个列表的算法，其基本操作（如访问元素）执行次数与列表长度N成正比，所以时间复杂度是O(N)。
2、空间复杂度计算
空间复杂度衡量的是算法运行时需要占用的存储空间大小。简单说，就是算法运行时 "用了多少地方" 。比如，使用一个固定大小的变量，空间复杂度为O(1)；若使用了一个与数据量N相等的数组，则空间复杂度为O(N)。
3、最好、最坏、平均复杂度
- 最好复杂度：算法在 "最顺利" 时的运行时间。
- 最坏复杂度：算法在 "最糟糕" 时的运行时间。
- 平均复杂度：算法在不同输入下运行时间的 "平均值" 。
四、C语言中的复杂度分析实例
1、求和函数
c
int sum(int arr[], int n)
{
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
res += arr[i];
}
return res;
}时间复杂度O(N)，因为循环n次，每次循环执行一次加法操作
空间复杂度O(1)，因为额外的变量只有res和i
2、冒泡排序
c
void bubbleSort(int arr[], int n)
{
for (int i = 0; i < n-1; i++)
{
for (int j = 0; j < n-i-1; j++)
{
if (arr[j] > arr[j+1])
{
//交换arr[j]和arr[j+1]
int temp = arr[j];
arr[j] = arr[j+1];
arr[j+1] = temp;
}
}
}
}时间复杂度O(N^2)，因为有两层嵌套的循环，每层循环最多执行n次
空间复杂度O(1)，因为额外的变量只有i, j和temp
3、矩阵乘法
c
void matrixMultiplication(int A[][2], int B[][2], int C[][2], int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
C[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < n; k++)
{
C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
}
}
}
}时间复杂度O(N^3)，因为有三层嵌套的循环，每层循环最多执行n次
空间复杂度O(N^2)，因为需要存储结果矩阵C
4、递归计算斐波拉契数
c
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}时间复杂度O(2^N)，画递归栈帧的二叉树图理解
空间复杂度O(N)，画递归栈帧的二叉树图理解
注意：
- 空间是函数进入开辟，函数退出销毁的（所以不是开辟过多少空间，空间复杂度就是多少）
- 时间是连续的，函数栈帧的创建和销毁都需要消耗时间（因为这里返回两个函数的返回相加，所以是二叉树）