4. 微分
4.2 导数的意义与性质
4.2.3 单侧导数
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
f + ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 + f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'+(x_0)=\lim\limits{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f+′(x0)=Δx→0+limΔxf(x+Δx)−f(x)为 f f f在 x 0 x_0 x0的右导数 。
f − ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 − f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'-(x_0)=\lim\limits{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f−′(x0)=Δx→0−limΔxf(x+Δx)−f(x)为 f f f在 x 0 x_0 x0的左导数 。
f f f在 x 0 x_0 x0可导 ⇔ f \Leftrightarrow f ⇔f在 x 0 x_0 x0的左右导数存在且相等。
【注】 f + ′ ( x 0 ) f'+(x_0) f+′(x0)与 f ′ ( x 0 + ) f'(x_0^+) f′(x0+)不同， f + ′ ( x 0 ) f'+(x_0) f+′(x0)是 f f f在 x 0 x_0 x0的右导数 ，而 f ′ ( x 0 + ) f'(x_0^+) f′(x0+)是 f f f的导函数在 x 0 x_0 x0的右极限 。 f − ′ ( x 0 ) f'_-(x_0) f−′(x0)与 f ′ ( x 0 − ) f'(x_0^-) f′(x0−)的不同也是类似的。
【例4.2.3】考察 f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=|x| f(x)=∣x∣在 x 0 = 0 x_0=0 x0=0的左右导数。
【解】函数图像如下：
当 x > 0 x>0 x>0时， f ( x ) = ∣ x ∣ = x , f + ′ ( 0 ) = lim Δ x → 0 + f ( 0 + Δ x ) − f ( 0 ) Δ x = Δ x Δ x = 1 f(x)=|x|=x,f'+(0)=\lim\limits{\Delta x \to 0 ^+}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 f(x)=∣x∣=x,f+′(0)=Δx→0+limΔxf(0+Δx)−f(0)=ΔxΔx=1
当 x < 0 x<0 x<0时， f ( x ) = ∣ x ∣ = − x , f − ′ ( 0 ) = lim Δ x → 0 − f ( 0 + Δ x ) − f ( 0 ) Δ x = − Δ x Δ x = − 1 f(x)=|x|=-x,f'-(0)=\lim\limits{\Delta x \to 0 ^-}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1 f(x)=∣x∣=−x,f−′(0)=Δx→0−limΔxf(0+Δx)−f(0)=Δx−Δx=−1
f + ′ ( 0 ) ≠ f − ′ ( 0 ) f'+(0)\ne f'-(0) f+′(0)=f−′(0)
则 f ( x ) f(x) f(x)在 0 0 0点不可导。
【例4.2.4】 f ( x ) = { x sin 1 x , x > 0 0 , x ⩽ 0 f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x \sin \frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{array}\right. f(x)={xsinx1,0,x>0x⩽0，讨论 f ( x ) f(x) f(x)在 x = 0 x=0 x=0处的可导情况。
【解】函数图像如下：
f − ′ ( 0 ) = lim Δ x → 0 − f ( 0 + Δ x ) − f ( 0 ) Δ x = lim Δ x → 0 − 0 Δ x = 0 f'-(0)=\lim\limits{\Delta x \to 0 ^ -}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0 ^ -}\frac{0}{\Delta x}=0 f−′(0)=Δx→0−limΔxf(0+Δx)−f(0)=Δx→0−limΔx0=0（真0做分母， Δ x → 0 \Delta x\to 0 Δx→0但 Δ x ≠ 0 \Delta x \ne 0 Δx=0
f + ′ ( 0 ) = lim Δ x → 0 + f ( 0 + Δ x ) − f ( 0 ) Δ x = lim Δ x → 0 + Δ x sin 1 Δ x Δ x f'+(0)=\lim\limits{\Delta x \to 0 ^ +}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0 ^ +}\frac{\Delta x\sin \frac{1}{\Delta x}}{\Delta x} f+′(0)=Δx→0+limΔxf(0+Δx)−f(0)=Δx→0+limΔxΔxsinΔx1不存在
则 f f f在 x 0 = 0 x_0=0 x0=0的右导数不存在。
所以 f f f在 0 0 0点不可导
【例4.2.5】 f ( x ) = { x 2 + b , x > 2 , a x + 1 , x ⩽ 2. f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+b, & x>2, \\ a x+1, & x \leqslant 2 . \end{array}\right. f(x)={x2+b,ax+1,x>2,x⩽2.，要求确定 a , b a,b a,b，使得 f f f在 x 0 = 2 x_0=2 x0=2点可导。
【解】由于可导一定连续
则 f f f在 x 0 = 2 x_0=2 x0=2连续，由题意可知 f f f在 x 0 = 2 x_0=2 x0=2左连续
即 lim x → 2 + f ( x ) = lim x → 2 + ( x 2 + b ) = 4 + b = f ( 2 − ) = 2 a + 1 \lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 2^+}(x^2+b)=4+b=f(2-)=2a+1 x→2+limf(x)=x→2+lim(x2+b)=4+b=f(2−)=2a+1...(1)
f − ′ ( 2 ) = lim Δ x → 0 − f ( 2 + Δ x ) − f ( 2 ) Δ x = lim Δ x → 0 − a ( 2 + Δ x ) + 1 − ( 2 a + 1 ) Δ x = a Δ x Δ x = a f'{-}(2)=\lim\limits{\Delta x\to 0^-}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}\frac{a(2+\Delta x)+1-(2a+1)}{\Delta x}=\frac{a\Delta x }{\Delta x}=a f−′(2)=Δx→0−limΔxf(2+Δx)−f(2)=Δx→0−limΔxa(2+Δx)+1−(2a+1)=ΔxaΔx=a
f + ′ ( 2 ) = lim Δ x → 0 + f ( 2 + Δ x ) − f ( 2 ) Δ x = lim Δ x → 0 + ( 2 + Δ x ) 2 + b − ( 2 a + 1 ) Δ x = ( 由 ( 1 ) 式知 ) lim Δ x → 0 + ( 2 + Δ x ) 2 + b − ( 4 + b ) Δ x = lim Δ x → 0 + 4 Δ x + Δ x 2 Δ x = 4 f'+(2)=\lim\limits{\Delta x\to 0^+}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\frac{(2+\Delta x)^2+b-(2a+1)}{\Delta x}=(由(1)式知)\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\frac{(2+\Delta x)^2+b-(4+b)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\frac{4\Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}=4 f+′(2)=Δx→0+limΔxf(2+Δx)−f(2)=Δx→0+limΔx(2+Δx)2+b−(2a+1)=(由(1)式知)Δx→0+limΔx(2+Δx)2+b−(4+b)=Δx→0+limΔx4Δx+Δx2=4
要使得 f f f在 x 0 = 2 x_0=2 x0=2处可导 f + ′ ( 2 ) = f − ′ ( 2 ) f'+(2)=f'-(2) f+′(2)=f−′(2)
则 a = 4 , b = 5 a=4,b=5 a=4,b=5
4.2.4 区间可导
考虑 f ( x ) f(x) f(x)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)上每一点可导，则称 f ( x ) f(x) f(x)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)上可导；
若 f ( x ) f(x) f(x)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)上每一点可导，在 x = a x=a x=a有右导数，在 x = b x=b x=b有左导数，则称 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可导。
【注】椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ⇒ y = b a a 2 − x 2 , x ∈ [ − a , a ] , y \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y =\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},x\in[-a,a],y a2x2+b2y2=1⇒y=aba2−x2 ,x∈[−a,a],y在 ( − a , a ) (-a,a) (−a,a)上可导， y ′ = − b a ⋅ x a 2 − x 2 , x ∈ ( − a , a ) y'=-\frac{b}{a}\cdot\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}},x\in(-a,a) y′=−ab⋅a2−x2 x,x∈(−a,a)，当 x = ± a x=\pm a x=±a时， y y y不可导（算导数的极限是无穷大，一个是正无穷大，一个是负无穷大），但不是说明函数在这点没切线，其切线斜率是无穷大，它是垂直于 x x x轴的切线，但是左右导数不相等，说明 y y y在此点没有切线。