文章目录
- 算法笔记（五）------分治
- 快排
-
- 颜色分类
- 排序数组
- 数组中的第K个最大元素
- [库存管理 III](#库存管理 III)
- 归并
算法笔记（五）------分治
分治算法字面上的解释是"分而治之"，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题......直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)...
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
步骤
- 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
- 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
- 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解
经典的分治算法有二分搜索，归并排序，快速排序，。
快排
颜色分类
题目：颜色分类
思路
- 初始化三个指针：
i遍历数组；left左侧均为0right右侧均为2- 遍历过程中遇到
0，swap(nums[++left],nums[i++]) - 遇到
1，i++，不进行交换 - 遇到
2，swap(nums[--right], nums[i]) - 循环条件
i < right
C++代码
cpp
class Solution
{
public:
void sortColors(vector<int>& nums)
{
for(int i = 0, left = -1, right = nums.size(); i < right; )
{
if(nums[i] == 0)
swap(nums[++left], nums[i++]);
else if(nums[i] == 1)
i++;
else
swap(nums[--right], nums[i]);
}
}
};排序数组
题目：排序数组
思路
- 我们将数组划分为三块，再来实现快排，将数组划分为三个部分：小于、等于、大于基准值；
<key，=key，>key
三路划分：减少重复元素的递归处理（相同元素过多的话，可以减小递归深度）、避免不必要的交换（将相同元素聚集在一起，避免了不必要的交换操作）
C++代码
cpp
class Solution
{
public:
int getKey(vector<int>& nums, int left, int right)
{
return nums[rand() % (right - left + 1) + left];
}
void qsort(vector<int>& nums, int l, int r)
{
if(l >= r) return;
int key = getKey(nums, l, r);
int i = l, left = l - 1, right = r + 1;
while(i < right)
{
if(nums[i] < key) swap(nums[++left], nums[i++]);
else if(nums[i] == key) i++;
else swap(nums[--right], nums[i]);
}
qsort(nums, l, left);
qsort(nums, right, r);
}
vector<int> sortArray(vector<int>& nums)
{
srand(time(NULL));
qsort(nums, 0, nums.size() - 1);
return nums;
}
};数组中的第K个最大元素
题目：数组中的第K个最大元素
思路
常规解法，利用堆排，但时间复杂度不为O(N)
快速选择算法（快排）O(N)
- 三路划分，将数组划分为三块；
- 大于
key的元素个数为c，等于key的元素个数为b，小于key元素个数为a - 若
c >= k，则第k大元素在右侧，继续在右侧递归寻找第k大元素； - 若
b + c >= k，则直接返回基准元素，即为第k大元素； - 若上述均不满足，则第k大元素在左侧，继续在左侧递归寻找第
k大元素，此时k = k - b - c
C++代码
cpp
class Solution
{
public:
// 数组中获得随机值
int getKey(vector<int>& nums, int l, int r)
{
return nums[rand() % (r - l + 1) + l];
}
int qsort(vector<int>& nums, int l, int r, int k)
{
if(l == r) return nums[l];
// 随机选择基准元素
int key = getKey(nums, l, r);
// 根据基准元素将数组分为三块
int i = l, left = l - 1, right = r + 1;
while(i < right)
{
if(nums[i] < key) swap(nums[++left], nums[i++]);
else if(nums[i] == key) i++;
else swap(nums[--right], nums[i]);
}
int b = right - 1 - (left + 1) + 1; // 等于key的数量
int c = r - right + 1; // 大于key的数量
if(c >= k) return qsort(nums, right, r, k);
else if((b + c) >= k) return key;
else return qsort(nums, l, left, k - b - c);
}
int findKthLargest(vector<int>& nums, int k)
{
srand(time(NULL));
return qsort(nums, 0, nums.size() - 1, k);
}
};库存管理 III
题目：库存管理 III
思路
和上题想法一致，使用快速选择的算法，使时间复杂度达到O(n)
C++代码
cpp
```class Solution
{
public:
void qsort(vector<int>& nums, int l, int r, int cnt)
{
if(l >= r) return ;
int key = nums[rand() % (r - l + 1) + l];
int i = l, left = l - 1, right = r + 1;
while(i < right)
{
if(nums[i] < key) swap(nums[++left], nums[i++]);
else if(nums[i] == key) i++;
else swap(nums[--right], nums[i]);
}
int a = left - l + 1;
int b = right - 1 - (left + 1) + 1;
if(a >= cnt) qsort(nums, l, left, cnt);
else if((a + b) >= cnt) return;
else qsort(nums, right, r, cnt - a - b);
}
vector<int> inventoryManagement(vector<int>& stock, int cnt)
{
srand(time(NULL));
qsort(stock, 0, stock.size() - 1, cnt);
return {stock.begin(), stock.begin() + cnt};
}
};归并
排序数组
题目：排序数组
C++代码
cpp
class Solution
{
// 归并
vector<int> tmp;
public:
void mergeSort(vector<int>& nums, int l, int r)
{
if(l >= r) return ;
// 计算中间位置
int mid = (l + r) >> 1;
// 对左右两部分进行归并排序
mergeSort(nums, l, mid);
mergeSort(nums, mid + 1, r);
// 归并合并两个有序部分
int i = l, j = mid + 1, k = 0;
while(i <= mid && j <= r)
tmp[k++] = (nums[i] <= nums[j]) ? nums[i++] : nums[j++];
while(i <= mid) tmp[k++] = nums[i++];
while(j <= r) tmp[k++] = nums[j++];
// 拷贝回原数组
for(int i = l; i <= r; i++)
{
nums[i] = tmp[i - l];
}
}
vector<int> sortArray(vector<int>& nums)
{
tmp.resize(nums.size());
mergeSort(nums, 0, (int)nums.size() - 1);
return nums;
}
};交易逆序对的总数
题目：交易逆序对的总数
思路
当我们将两个已排序的子数组合并成一个有序数组时，如果左侧子数组中的某个元素大于右侧子数组中的某个元素，那么左侧子数组中该元素之后的所有元素（包括该元素本身）都将与右侧子数组中的该元素形成逆序对。因此，我们可以通过计算这样的元素对数来统计逆序对的总数
C++代码
cpp
class Solution
{
int tmp[50010];
public:
int reversePairs(vector<int>& record)
{
return mergeSort(record, 0, record.size() - 1);
}
int mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right)
{
if(left >= right) return 0;
int ret = 0;
// 中间，将数组分为两部分
int mid = left + right >> 1;
// [left, mid], [mid + 1, right]
// 左边个数 + 排序 + 右边个数 + 排序
ret += mergeSort(nums, left, mid);
ret += mergeSort(nums, mid + 1, right);
// 一左一右个数
int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
{
if(nums[cur1] <= nums[cur2])
{
tmp[i++] = nums[cur1++];
}
else
{
ret += mid - cur1 + 1; // 统计逆序对个数
tmp[i++] = nums[cur2++];
}
}
// 处理剩余元素
while (cur1 <= mid) tmp[i++] = nums[cur1++];
while (cur2 <= right) tmp[i++] = nums[cur2++];
// 拷贝回原数组
for (int i = left; i <= right; ++i)
nums[i] = tmp[i - left];
return ret;
}
};计算右侧小于当前元素的个数
思路
这⼀道题的解法与求数组中的逆序对的解法是类似的，记录每⼀个元素的右边有多少个元素⽐⾃⼰⼩
归并排序的过程中，元素的下标是会跟着变化的，因此我们需要⼀个辅助数组，来将数组元素和对应的下标绑定在⼀起归并，也就是再归并元素的时候，顺势将下标也转移到对应的位置上
C++代码
cpp
class Solution
{
vector<int> ret;
vector<int> index; // 记录当前元素的元素下标
int tmpNums[500010];
int tmpIndex[500010];
public:
vector<int> countSmaller(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
ret.resize(n);
index.resize(n);
// 初始化tmpIndex
for(int i = 0; i < n; i++) index[i] = i;
mergeSort(nums, 0, n - 1);
return ret;
}
void mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right)
{
if(left >= right) return ;
// 根据中间元素划分区间
int mid = (left + right) >> 1;
// [left, mid]、[mid + 1, right]
// 处理左右两部分
mergeSort(nums, left, mid);
mergeSort(nums, mid + 1, right);
// 处理一左一右，降序数组
int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
{
if(nums[cur1] <= nums[cur2])
{
tmpNums[i] = nums[cur2];
tmpIndex[i++] = index[cur2++];
}
else
{
ret[index[cur1]] += right - cur2 + 1;
tmpNums[i] = nums[cur1];
tmpIndex[i++] = index[cur1++];
}
}
// 处理剩余数组
while(cur1 <= mid)
{
tmpNums[i] = nums[cur1];
tmpIndex[i++]=index[cur1++];
}
while(cur2 <= right)
{
tmpNums[i] = nums[cur2];
tmpIndex[i++]=index[cur2++];
}
// 还原
for(int j = left; j <= right; j++)
{
nums[j] = tmpNums[j - left];
index[j] = tmpIndex[j - left];
}
}
};翻转对
题目：翻转对
思路
翻转对和逆序对的定义⼤同⼩异，逆序对是前⾯的数要⼤于后⾯的数。⽽翻转对是前⾯的⼀个数要⼤于后⾯某个数的两倍。因此，我们依旧可以⽤归并排序的思想来解决这个问题
C++代码
cpp
class Solution
{
int tmp[50010];
public:
int reversePairs(vector<int>& nums)
{
return mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);
}
int mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right)
{
if(left >= right) return 0;
int ret = 0;
int mid = (left + right) >> 1;
ret += mergeSort(nums, left, mid);
ret += mergeSort(nums, mid + 1, right);
int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = left;
while(cur1 <= mid) // 降序
{
while(cur2 <= right && nums[cur2] >= nums[cur1] / 2.0)
cur2++;
if(cur2 > right)
break;
ret += right - cur2 + 1;
cur1++;
}
cur1 = left, cur2 = mid + 1;
while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
tmp[i++] = nums[cur1] <= nums[cur2] ? nums[cur2++] : nums[cur1++];
while(cur1 <= mid) tmp[i++] = nums[cur1++];
while(cur2 <= right) tmp[i++] = nums[cur2++];
for(int j = left; j <= right; j++)
nums[j] = tmp[j];
return ret;
}
};