高斯消元
高斯消元：解线性方程组
有 n n n 个未知数： x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn
a 1 1 x 1 1 + a 1 2 x 1 2 + . . . + a 1 n x 1 n = b 1 a_{1_1}x_{1_1}+a_{1_2}x_{1_2}+...+a_{1_n}x_{1_n}=b_1 a11x11+a12x12+...+a1nx1n=b1
a 2 1 x 2 1 + a 2 2 x 2 2 + . . . + a 2 n x 2 n = b 2 a_{2_1}x_{2_1}+a_{2_2}x_{2_2}+...+a_{2_n}x_{2_n}=b_2 a21x21+a22x22+...+a2nx2n=b2
. . . . . . ...... ......
次数为 1 1 1
e . g . e.g. e.g. 斐波那契数列 : f i = f i − 1 + f i − 2 f_i=f_{i-1}+f_{i-2} fi=fi−1+fi−2
系数矩阵
[ a 1 1 a 1 2 a 1 3 . . . a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 3 . . . a 2 n a 3 1 a 3 2 a 3 3 . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n n ] \left[ \begin{matrix} a_{1_1} & a_{1_2} & a_{1_3} & ... & a_{1_n} \\ a_{2_1} & a_{2_2} & a_{2_3} & ... & a_{2_n} \\ a_{3_1} & a_{3_2} & a_{3_3} & ... & a_{3_n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n_1} & a_{n_2} & a_{n_3} & ... & a_{n_n} \end{matrix} \right] a11a21a31...an1a12a22a32...an2a13a23a33...an3...............a1na2na3n...ann
增广矩阵
[ a 1 1 a 1 2 a 1 3 . . . a 1 n b 1 a 2 1 a 2 2 a 2 3 . . . a 2 n b 2 a 3 1 a 3 2 a 3 3 . . . a 3 n b 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n n b n ] \left[ \begin{matrix} a_{1_1} & a_{1_2} & a_{1_3} & ... & a_{1_n} & b_1\\ a_{2_1} & a_{2_2} & a_{2_3} & ... & a_{2_n} & b_2\\ a_{3_1} & a_{3_2} & a_{3_3} & ... & a_{3_n} & b_3\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n_1} & a_{n_2} & a_{n_3} & ... & a_{n_n} & b_n \end{matrix} \right] a11a21a31...an1a12a22a32...an2a13a23a33...an3...............a1na2na3n...annb1b2b3...bn
初等行变换：
1.交换两行
2.把某一行 × k ( k ≠ 0 ) \times~k~(k ≠ 0) × k (k=0)
3.把某一行的 k k k 倍加到另一行上 ( k ∈ R ) (k\in \R) (k∈R)
线性方程组的解的情况
如果一个线性方程组有至少两个解，那么它一定有无穷多个解
设两个解：
{ x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n } \{ x_1,x_2,x_3,...,x_n \} {x1,x2,x3,...,xn}
{ x 1 ′ , x 2 ′ , x 3 ′ , . . . , x n ′ } \{ x_1',x_2',x_3',...,x_n' \} {x1′,x2′,x3′,...,xn′}
则： { x 1 − x 1 ′ , x 2 − x 2 ′ , x 3 − x 3 ′ , . . . , x n − x n ′ } \{ x_1-x_1',x_2-x_2',x_3-x_3',...,x_n-x_n' \} {x1−x1′,x2−x2′,x3−x3′,...,xn−xn′} 也成立
所有情况： 0 0 0 个解 ， 1 1 1 个解 ，无穷多个解
阶梯型矩阵
每一行第一个不是 0 0 0 的数在上一行第一个不是 0 0 0 的数的严格右侧
e . g . e.g. e.g.
[ 2 5 3 4 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 ] \left[ \begin{matrix} 2 & 5 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right] 20005100310040200103
对于任意一个矩阵，我们在使用初等行变换的基础上，一列一列地将矩阵转换成阶梯型矩阵
如果 a 1 , 1 a_{1,1} a1,1 不是 0 0 0，让 r 2 + k ⋅ r 1 ( k ∈ R ) r_2~+~k\cdot r_1(k\in \R) r2 + k⋅r1(k∈R)，让其他行第一列为 0 0 0
同理，向下每一行如此处理
若 a 1 , 1 a_{1,1} a1,1 是 0 0 0，向下寻找第一个第一列不是 0 0 0 的第一行与矩阵第一行交换使其成为新的第一行进行上述操作
若这一列所有行均为 0 0 0，那么将这一列忽略掉
第一行处理完之后将剩下的部分 （ ( n − 1 ) 2 (n-1)^2 (n−1)2 的矩阵）当成新的矩阵继续如此操作
方程有解
阶梯型矩阵中最后一个含 0 0 0 的直角不在最后一列，方程有解
e . g . e.g. e.g.
[ 2 0 5 2 0 1 4 3 0 0 2 1 ] \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} \right] 200010542231
方程无解
反之，无解：
[ 2 0 5 2 0 2 1 0 0 0 5 3 0 0 0 1 ] \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] 2000020051502031
方程无穷多解
某一行含 0 0 0 直角未连续出现，成为断层：
[ 2 0 5 2 0 2 1 0 0 0 0 3 0 0 0 1 ] \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] 2000020051002031
简化阶梯型矩阵
满足下列三个条件的矩阵称为简化阶梯型矩阵：
1.它是一个阶梯形矩阵
2.非零行首元素均为 1 1 1
3.首元素所在列其他元素均为 0 0 0
将矩阵转换为简化阶梯型矩阵
e . g . e.g. e.g.
[ 2 1 1 2 1 0 2 1 3 1 1 5 ] \left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 5 \end{matrix} \right] 213101121215
[ 2 1 1 2 0 − 1 2 3 2 0 0 − 1 2 − 1 2 2 ] \left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2 \end{matrix} \right] 2001−21−21123−21202
[ 2 1 1 2 0 − 1 2 3 2 0 0 0 − 2 2 ] \left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{matrix} \right] 2001−210123−2202
(已成为阶梯型矩阵)
[ 1 1 2 1 2 1 0 1 − 6 0 0 0 1 − 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] 100211021−6110−1
[ 1 0 7 2 1 0 1 − 6 0 0 0 1 − 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \frac{7}{2} & 1 \\ 0 & 1 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] 10001027−6110−1
[ 1 0 0 9 2 0 1 0 − 6 0 0 1 − 1 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right] 10001000129−6−1
基础解系
三元一次方程在立体坐标系中，若三个未知数均有一个解，则在空间内呈点，若两个未知数有一个解，则在空间内呈线，若只有一个未知数有一个解，则在空间内呈平面
代码实现
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,p=1;
double a[105][105],eps=1e-6;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n+1;j++){
cin>>a[i][j];
}
}
for(int z=1;z<=n;z++){
int flag=0;
for(int i=p;i<=n;i++){
if(fabs(a[i][z])>eps){
flag=i;
break;
}
}
if(flag==0){
continue;
}
for(int i=1;i<=n+1;i++){
swap(a[flag][i],a[p][i]);
}
for(int i=n+1;i>=z;i--){
a[p][i]/=a[p][z];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i!=p){
double x=a[i][z];
for(int j=1;j<=n+1;j++){
a[i][j]-=a[p][j]*x;
}
}
}
p++;
}
if(p<=n){
for(int i=p;i<=n;i++){
if(fabs(a[i][n+1])>eps){
cout<<-1<<endl;
return 0;
}
}
cout<<0<<endl;
}
else{
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("x%d=%.2lf\n",i,a[i][n+1]);
}
}
return 0;
}