MATLAB计算与建模常见函数：4.插值

插值

什么是插值？

通常实验测量或者采集的数据都是离散数值；
插值是指在所给的基准数据情况下，研究如何平滑地估算出基准数据之间其它点的函数数值；
一些点的数据无法获得，或者获取这些点的数据代价较高时，插值就会发挥很大的作用；

插值方法

最近点插值：
线性插值：

更高精度的插值：

多项式插值；
埃尔米特插值；
样条插值；

MATLAB提供的插值函数

在MATLAB中，插值函数保存在MATLAB工具箱的polyfun子目录下；

插值函数按插值变量的个数分为：

一维插值
二维插值
多维插值

一维插值

vq=interpl(x,v,xq)

使用**线性插值（默认）**返回一维函数在特定查询点的插入值。
向量x包含样本点，v包含对应值v(x);（都是离散值）
向量xq包含查询点的坐标 ，可以是多个查询点构成的向量；
若有多个在同一点坐标采样的数据集，则可以将ⅴ以数组的形式进行传递。数组V的每一列都包含一组不同的一维样本值。

vq=interpl(x,v,xq,method)

指定备选插值方法：'linear'、'nearest'、'next'、'previous'、'pchip'、'cubic'、'v5cubic'、'makima'或'spline'。默认方法为'linear'。

vq=interpl(x,v,xq,method,extrapolation)

用于指定外插策略 ，来计算落在x域范围外的点 。如果希望使用method算法进行外插，可将extrapolation设置为'extrap'。也可以指定一个标量值，这种情况下，interpl将为所有落在x域范围外的点返回该标量值。

常用插值方法介绍

方法	说明
'linear'	线性插值；查询点基于各维中邻点网格点处数值的线性插值（默认方法），至少2个点。
'nearest'	最近点插值；在查询点插入的值是距样本网格点最近的值，至少2个点。
'pchip'	保形分段三次插值。在插值点插入的值基于邻点网格点处数值的保形分段三次插值，至少4个点。
'cubic'	同'pchip'
'spline'	使用非终止条件的样条插值，在查询点插入的值基于各维中邻点网格点处的数值的三次插值，至少4个点。
'makima'	修正Akima三次Hermite插值。在查询点插入的值基于次数最大为3的多项式分段函数少2个点。

例子：

matlab 复制代码

x = 0:pi/4:2*pi;
v = sin(x);
xq = 0:pi/16:2*pi;
figure;
vq1 = interp1(x,v,xq);
plot(x,v,'o',xq,vq1,':.');
xlim([0 2*pi]);
title('linear interpolation');

vq2 = interp1(x,v,xq,'spline');
figure;
plot(x,v,'o',xq,vq2,':.');
xlim([0 2*pi]);
title('spline interpolation');

在一个查询点插入多组数据

matlab 复制代码

x= (-5:5)';
v1=x.^2;
v2=2*x.^2+2;
v3=3*x.^2+4;    
v= [v1,v2,v3];
xq=-5:0.1:5;
vq=interp1(x,v,xq,'pchip');
figure;
plot(x,v1,'o',x,v2,'o',x,v3,'o',xq,vq);
legend('x^2','x^3','x^4','interpolated');
h=gca;
h.XTick=-5:5;

二维插值

Vq=interp2(X,Y,V,Xq,Yq)

使用线性插值 返回双变量函数在特定查询点的插入值。结果始终穿过函数的原始采样。
X和Y包含样本点的坐标。V包含各样本点处的对应函数值。
Xq和Yq包含查询点的坐标。

Vq=interp2(V,k)

将每个维度上样本值之间的间隔反复分割k次 ，形成优化网格，并在这些网格上返回插入值 。这将在样本值之间生成2k-1个插入点。

Vq=interp2(,method)

指定备选插值方法：'linear'、'nearest'、'cubic'、'makima'或'spline'。默认方法为'linear';

Vq=interp2(,method,extrapval)

指定标量值extrapval,此参数会为处于样本点域范围外的所有查询点赋予该标量值 。如果样本点域范围外的查询省略extrapval参数，则基于method参数 ，interp2返回下列值之一：对于'spline'和'makima'方法，返回外插值;对于其他内插方法，返回NaN值；
例子：

matlab 复制代码

[X,Y] = meshgrid(-3:3);
V = peaks(X,Y);

figure;
surf(X,Y,V);
title('original data');

[Xq,Yq] = meshgrid(-3:0.2:3);
Vq = interp2(X,Y,V,Xq,Yq);

figure;
surf(Xq,Yq,Vq);
title('interpolated data');

Vq = interp2(X,Y,V,Xq,Yq,'cubic');
figure;
surf(Xq,Yq,Vq);
title('interpolated data with cubic method');

二维插值一优化灰度图像

matlab 复制代码

load flujet.mat
colormap gray
%隔离图像的一个小区域并将其转换为单精度
V=single(X(200:300,1:25));
%显示该图像区域
imagesc(V);
axis off
title('Original Image')

多维插值函数

Vq=interpn(X1,X2,...Xn,V,Xql,Xq2,...Xgn)

使用线性插值返回变量函数在特定查询点的插入值；结果始终穿过函数的原始采样；
X1,X2,Xn包含样本点的坐标，V包含各样本点处的对应函数值；
Xql,Xq2,Xqn包含查询点的坐标；

Vq=interpn(,method)

指定备选插值方法：'linear'、'nearest'、'pchip'、'cubic'、'makima'或'spline'。默认方法为'linear';