判断排列逆序奇偶性的乘积判别法（范德蒙德符号法）
1. 问题定义
给定一个由 n 个互不相等 的元素组成的排列：
p 1 , p 2 , ... , p n p_1, p_2, \dots, p_n p1,p2,...,pn
我们希望通过构造一个乘积，快速判断该排列的逆序数是奇数还是偶数（即排列是 奇排列 还是 偶排列）。
2. 核心判别式
按照排列的原始位置顺序 （从左到右），取所有满足 i < j i < j i<j 的"后面元素减去前面元素"的差，并将它们全部相乘，构造判别式 D D D：
D = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( p j − p i ) \boxed{D = \prod_{1 \le i < j \le n} (p_j - p_i)} D=1≤i<j≤n∏(pj−pi)
判别式是 ( n 2 ) = n ( n − 1 ) 2 \binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2} (2n)=2n(n−1) 个因子 ( p j − p i ) (p_j-p_i) (pj−pi) 的乘积------遍历所有位置对 ( i , j ) (i,j) (i,j)（ i < j i<j i<j），每对一项、不重复、不遗漏 。故因子总数仅由 n n n 决定，与排列内容无关：
| n n n | 因子数 ( n 2 ) \binom{n}{2} (2n) | 本文出处 |
|---|---|---|
| 3 | 3 | §5 示例 D = ( 2 − 3 ) ( 1 − 3 ) ( 1 − 2 ) D=(2-3)(1-3)(1-2) D=(2−3)(1−3)(1−2) |
| 6 | 15 | §9/§10 "15 个因子" |
因子按"被减数 j j j 从 2 2 2 到 n n n、减数 i i i 从 1 1 1 到 j − 1 j-1 j−1"展开即可穷举（ n = 6 n=6 n=6 全列）：
D = ( p 2 − p 1 ) ( p 3 − p 1 ) ( p 3 − p 2 ) ( p 4 − p 1 ) ( p 4 − p 2 ) ( p 4 − p 3 ) ( p 5 − p 1 ) ( p 5 − p 2 ) ( p 5 − p 3 ) ( p 5 − p 4 ) ( p 6 − p 1 ) ( p 6 − p 2 ) ( p 6 − p 3 ) ( p 6 − p 4 ) ( p 6 − p 5 ) D=(p_2-p_1)(p_3-p_1)(p_3-p_2)(p_4-p_1)(p_4-p_2)(p_4-p_3)(p_5-p_1)(p_5-p_2)(p_5-p_3)(p_5-p_4)(p_6-p_1)(p_6-p_2)(p_6-p_3)(p_6-p_4)(p_6-p_5) D=(p2−p1)(p3−p1)(p3−p2)(p4−p1)(p4−p2)(p4−p3)(p5−p1)(p5−p2)(p5−p3)(p5−p4)(p6−p1)(p6−p2)(p6−p3)(p6−p4)(p6−p5)
其中取负值（ p j − p i < 0 p_j-p_i<0 pj−pi<0，即 p i > p j p_i>p_j pi>pj 构成逆序）的因子个数恰好等于逆序数 inv ( p ) \operatorname{inv}(p) inv(p)，故 sgn ( D ) = ( − 1 ) # 负因子 = ( − 1 ) inv ( p ) \operatorname{sgn}(D)=(-1)^{\#\text{负因子}}=(-1)^{\operatorname{inv}(p)} sgn(D)=(−1)#负因子=(−1)inv(p)（详 §4）。以 §9 的 p = ( 3 , 5 , 1 , 6 , 2 , 4 ) p=(3,5,1,6,2,4) p=(3,5,1,6,2,4) 为例，15 个因子中 7 个为负（=逆序数 7）， D < 0 D<0 D<0，奇排列。
3. 判定规则（极易混淆的关键点）
请特别注意：这里判断的是乘积 D D D 的"正负号"（符号），而不是乘积数值本身的"奇数"或"偶数"！
| 判别结果 | 排列性质 | 逆序数奇偶性 |
|---|---|---|
| D > 0 D > 0 D>0（正数） | 偶排列 | 逆序数为偶数 |
| D < 0 D < 0 D<0（负数） | 奇排列 | 逆序数为奇数 |
4. 直观原理
判别式 D D D 是 ( n 2 ) \binom{n}{2} (2n) 个因子 ( p j − p i ) (p_j-p_i) (pj−pi) 之积，每个因子恰有一对位置 ( i , j ) (i,j) (i,j)，乘积的最终符号由"取值为负的因子个数"决定，而不是把符号当字符堆叠。逐因子看：
- 对于每一对位置 i < j i < j i<j：
- 若 p i < p j p_i < p_j pi<pj（顺序正常），则因子 p j − p i > 0 p_j - p_i > 0 pj−pi>0，对整体符号贡献 + 1 +1 +1。
- 若 p i > p j p_i > p_j pi>pj（构成逆序），则因子 p j − p i < 0 p_j - p_i < 0 pj−pi<0，对整体符号贡献 − 1 -1 −1（即令乘积符号翻转一次）。
由实数乘法符号律 ∏ k a k \prod_k a_k ∏kak 的符号 = ∏ k sgn ( a k ) = \prod_k \operatorname{sgn}(a_k) =∏ksgn(ak)，有
sgn ( D ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n sgn ( p j − p i ) = ( − 1 ) # { ( i , j ) : i < j , p i > p j } = ( − 1 ) inv ( p ) \operatorname{sgn}(D) = \prod_{1 \le i < j \le n} \operatorname{sgn}(p_j - p_i) = (-1)^{\,\#\{(i,j)\,:\,i<j,\;p_i>p_j\}} = (-1)^{\operatorname{inv}(p)} sgn(D)=1≤i<j≤n∏sgn(pj−pi)=(−1)#{(i,j):i<j,pi>pj}=(−1)inv(p)
即：取值为负的因子个数恰好等于逆序数 inv ( p ) \operatorname{inv}(p) inv(p) ，乘积符号只取决于这个个数的奇偶（因 ( − 1 ) 偶 = + 1 (-1)^{\text{偶}}=+1 (−1)偶=+1， ( − 1 ) 奇 = − 1 (-1)^{\text{奇}}=-1 (−1)奇=−1）。这里"个数"指 ( n 2 ) \binom{n}{2} (2n) 个既定因子中取负值者的计数 ，是一个 0 ∼ ( n 2 ) 0\sim\binom{n}{2} 0∼(2n) 的有限整数；不存在"符号在表达式上无穷堆叠"的歧义------负号既不来自书写形式，也不能随意累加，只由每个因子 ( p j − p i ) (p_j-p_i) (pj−pi) 的真实正负唯一决定。
5. 示例验证
以排列 3 , 2 , 1 3, 2, 1 3,2,1 为例：
按位置顺序取差（后项减前项）：
D = ( 2 − 3 ) × ( 1 − 3 ) × ( 1 − 2 ) D = (2-3) \times (1-3) \times (1-2) D=(2−3)×(1−3)×(1−2)
计算得：
D = ( − 1 ) × ( − 2 ) × ( − 1 ) = − 2 D = (-1) \times (-2) \times (-1) = -2 D=(−1)×(−2)×(−1)=−2
因为 D = − 2 < 0 D = -2 < 0 D=−2<0，所以该排列为 奇排列 。
（实际逆序数为 3，为奇数，结论完全一致。）
6. 与常见误区的辨析
为了帮助理解，对比以下两种做法：
-
正确做法（带符号） ：
必须严格写成 ( p j − p i ) (p_j - p_i) (pj−pi)，其中 i < j i < j i<j。顺序敏感：这正是让逆序对 ( i , j ) (i,j) (i,j) 对应的因子取负值、从而把"逆序"如实计入 sgn ( D ) \operatorname{sgn}(D) sgn(D) 的关键。
-
错误做法（取绝对值） ：
如果像 ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ∣ p j − p i ∣ \prod_{1 \le i < j \le n} |p_j - p_i| ∏1≤i<j≤n∣pj−pi∣ 这样，只取大数减小数的正值相乘，结果永远是正数（如 ∣ 3 − 2 ∣ × ∣ 3 − 1 ∣ × ∣ 2 − 1 ∣ = 1 × 2 × 1 = 2 |3-2| \times |3-1| \times |2-1| = 1 \times 2 \times 1 = 2 ∣3−2∣×∣3−1∣×∣2−1∣=1×2×1=2），这丢失了排列的顺序信息，无法判断奇偶性。
7. 适用范围与失效条件
- 适用范围 ：序列中所有元素必须严格互不相同，且可比较大小（不限定为 1 , ... , n 1, \dots, n 1,...,n 的全排列，任意互异实数序列均适用）。
- 失效条件 ：如果数列中存在重复元素，则会出现 p j − p i = 0 p_j - p_i = 0 pj−pi=0，导致整个乘积 D = 0 D = 0 D=0。此时符号法失效（0 既非正也非负），需改用统计逆序数或其它方法。
8. 与范德蒙德行列式的联系（补充）
判别式 D D D 恰为序列 p 1 , ... , p n p_1, \dots, p_n p1,...,pn 的范德蒙德乘积 。当元素恰为 { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n} 时，取升序 { 1 < 2 < ⋯ < n } \{1<2<\dots<n\} {1<2<⋯<n} 作为基准（一般互异实数 x 1 < ⋯ < x n x_1<\dots<x_n x1<⋯<xn 则取 D 0 = ∏ i < j ( x j − x i ) D_0=\prod_{i<j}(x_j-x_i) D0=∏i<j(xj−xi)），令
D 0 = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( j − i ) > 0 D_0 = \prod_{1 \le i < j \le n} (j - i) > 0 D0=1≤i<j≤n∏(j−i)>0
（此式仅当元素恰为 { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n} 时成立；一般互异实数情形见上文括注。）则两者比值
D D 0 = sgn ( σ ) ∈ { + 1 , − 1 } \frac{D}{D_0} = \operatorname{sgn}(\sigma) \in \{+1, -1\} D0D=sgn(σ)∈{+1,−1}
即为排列的符号。这也解释了为何承载奇偶信息的只是 D D D 的符号 而非数值------真正的奇偶信息藏在与基准乘积 D 0 D_0 D0 的相对符号关系中。
9. 六元素示例与置换图
取 6 元素排列
p = ( p 1 , ... , p 6 ) = ( 3 , 5 , 1 , 6 , 2 , 4 ) p = (p_1,\dots,p_6) = (3,\; 5,\; 1,\; 6,\; 2,\; 4) p=(p1,...,p6)=(3,5,1,6,2,4)
9.1 置换图（两列连线表示法）
左右列钉死：
- 左列 ：自上而下标签 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6，按位置序 排------第 k k k 槽是位置 k k k （ y = 40 + ( k − 1 ) ⋅ 40 y=40+(k-1)\cdot40 y=40+(k−1)⋅40）。与排布 p p p 无关，恒为 1..6 1..6 1..6。
- 右列 ：自上而下标签 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6，按值序 排------第 k k k 槽是值 k k k （ y = 40 + ( k − 1 ) ⋅ 40 y=40+(k-1)\cdot40 y=40+(k−1)⋅40）。与排布 p p p 无关，恒为 1..6 1..6 1..6。
- 两侧标签同为 1..6 1..6 1..6 是定义使然： { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n} 置换里位置集合 = = = 值集合 = { 1 , ... , n } =\{1,\dots,n\} ={1,...,n} （§11.1），故两列用同一个标签集。差别在"第 k k k 槽的标签指什么"：左指位置 k k k ，右指值 k k k------排序轴不同，故标签数值恰好一致。
- 反事实辨正 ：若右列按"位置序"排（第 k k k 槽装 p k p_k pk），对 p = ( 3 , 5 , 1 , 6 , 2 , 4 ) p=(3,5,1,6,2,4) p=(3,5,1,6,2,4) 右列标签会变 ( 3 , 5 , 1 , 6 , 2 , 4 ) (3,5,1,6,2,4) (3,5,1,6,2,4) 而非 1..6 1..6 1..6，且连线 i → i\to i→ 第 i i i 槽全竖直平行、零交叉 ，图即失效。正因右列按值序 ，标签才恒 1..6 1..6 1..6、连线右端落到"值 p i p_i pi 的槽"，交叉才与逆序对应。
左列自上而下为位置 i = 1 ... 6 i=1\dots6 i=1...6，右列自上而下为值 1 ... 6 1\dots6 1...6；从左列 i i i 连线到右列 p i p_i pi。两条连线交叉当且仅当对应位置对构成逆序 ，因此图中连线的交叉点数恰好等于逆序数。
读这张图只需记三点：
- 线在说什么 ：每条线把"位置 i i i 装着值 p i p_i pi"画出来------左端是位置，右端是值，线和两数本身无关。如 1 1 1 连 3 3 3 即 p 1 = 3 p_1=3 p1=3，不是 1 与 3 有何关系。
- 两侧为何都是 1--6 ： { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n} 置换里位置集合 = = = 值集合 = { 1 , ... , n } =\{1,\dots,n\} ={1,...,n}（§11.1），故标签集相同；左列按位置序、右列按值序 ，恰因右列值序其标签才恒 1..6 1..6 1..6（若按位置序会变 p p p 本身），两列代数上不可区分故读作一致。这是定义使然，不是图想表达什么。
- 图唯一用途是数交叉 ：两侧各自升序 ⟹ "连线交叉 ⟺ 左 i < j i<j i<j 而右端 p i p_i pi 落到 p j p_j pj 下方 ⟺ p i > p j p_i>p_j pi>pj（逆序）"。交叉点数 = 逆序数，其奇偶即排列奇偶性。
位置 i 值 p_i 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
读图（左列 i i i → 右列 p i p_i pi）： 1 → 3 , 2 → 5 , 3 → 1 , 4 → 6 , 5 → 2 , 6 → 4 1\to3,\;2\to5,\;3\to1,\;4\to6,\;5\to2,\;6\to4 1→3,2→5,3→1,4→6,5→2,6→4。
9.1.1 对比例子：位置集与值集数字不相交时（澄清左右列）
上面的 p = ( 3 , 5 , 1 , 6 , 2 , 4 ) p=(3,5,1,6,2,4) p=(3,5,1,6,2,4) 有个"碍眼"特性：位置集合 { 1 , ... , 6 } \{1,\dots,6\} {1,...,6} 与值集合 { 1 , ... , 6 } \{1,\dots,6\} {1,...,6} 是同一个数集 ，左列标签 1..6 1..6 1..6 与右列标签 1..6 1..6 1..6 数值完全相同，容易让人误以为"两列排的是同一套东西"。本例换一组位置集与值集数字上不相交的元素，让左右列的差异一眼可辨。
取位置集 P = { 1 , 2 , 3 , 4 } P=\{1,2,3,4\} P={1,2,3,4}、值集 V = { 7 , 9 , 11 , 13 } V=\{7,9,11,13\} V={7,9,11,13}（两集数字不相交、均可比较大小），排布为
位置 1 装 11 , 2 装 7 , 3 装 13 , 4 装 9 \text{位置 }1\text{ 装 }11,\quad 2\text{ 装 }7,\quad 3\text{ 装 }13,\quad 4\text{ 装 }9 位置 1 装 11,2 装 7,3 装 13,4 装 9
（即 q = ( 11 , 7 , 13 , 9 ) q=(11,7,13,9) q=(11,7,13,9)，按位置序列出各位置的值）。判别式 D = ∏ i < j ( q j − q i ) D=\prod_{i<j}(q_j-q_i) D=∏i<j(qj−qi) 实算：
D = ( 7 − 11 ) ( 13 − 11 ) ( 13 − 7 ) ( 9 − 11 ) ( 9 − 7 ) ( 9 − 13 ) = ( − 4 ) ( 2 ) ( 6 ) ( − 2 ) ( 2 ) ( − 4 ) = − 768 < 0 D=(7-11)(13-11)(13-7)(9-11)(9-7)(9-13)=(-4)(2)(6)(-2)(2)(-4)=-768<0 D=(7−11)(13−11)(13−7)(9−11)(9−7)(9−13)=(−4)(2)(6)(−2)(2)(−4)=−768<0
负因子 3 3 3 个 = = = 逆序数 inv ( q ) = 3 \operatorname{inv}(q)=3 inv(q)=3（奇）⇒ 奇排列。
位置 i（位置序） 值 v（值序） 1 2 3 4 7 9 11 13
读图（左列位置 i i i → 右列值 q i q_i qi）： 1 → 11 , 2 → 7 , 3 → 13 , 4 → 9 1\to11,\;2\to7,\;3\to13,\;4\to9 1→11,2→7,3→13,4→9。
这个对比例子澄清了三件事：
- 左右列排的是两套不同的东西 ：左列标签 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,4\} {1,2,3,4} 是位置 ，右列标签 { 7 , 9 , 11 , 13 } \{7,9,11,13\} {7,9,11,13} 是值 ------两集数字不相交，绝不可能混淆为"同一套"。这把 §9.1 主例里"两侧都是 1..6 1..6 1..6"带来的视觉同质化打破了：主例两列数值相同纯属 { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n} 置换的位置集=值集巧合，不是图的固有性质。
- 右列必按值序（升序）排 ：右列自上而下 7 , 9 , 11 , 13 7,9,11,13 7,9,11,13 是值升序，与排布 q q q 无关、恒升序。若改按"位置序"排（第 k k k 槽装 q k q_k qk），右列标签会变 ( 11 , 7 , 13 , 9 ) (11,7,13,9) (11,7,13,9) 非升序，且连线 i → i\to i→ 第 i i i 槽全竖直平行、零交叉 ，图失效。正因右列按值序，连线右端才落到"值 q i q_i qi 的槽"，交叉才与逆序对应。
- 交叉数仍 = 逆序数 ：图中连线交叉 3 3 3 处 = = = inv ( q ) = 3 \operatorname{inv}(q)=3 inv(q)=3（逆序对 ( 11 , 7 ) , ( 11 , 9 ) , ( 13 , 9 ) (11,7),(11,9),(13,9) (11,7),(11,9),(13,9)，按"位置 i < j i<j i<j 但 q i > q j q_i>q_j qi>qj"计）。可见交叉⟺逆序的几何机制不依赖位置集与值集是否同数集 ，只依赖"两侧各自升序 + 连线 i → q i i\to q_i i→qi"------这才是图工作的真正条件。
对照小结 ：§9.1 主例 p = ( 3 , 5 , 1 , 6 , 2 , 4 ) p=(3,5,1,6,2,4) p=(3,5,1,6,2,4)（位置集=值集= { 1..6 } \{1..6\} {1..6}，标签同质）与本例 q = ( 11 , 7 , 13 , 9 ) q=(11,7,13,9) q=(11,7,13,9)（位置集 { 1..4 } \{1..4\} {1..4} ∩ 值集 { 7 , 9 , 11 , 13 } \{7,9,11,13\} {7,9,11,13}=∅，标签异质）共同印证：左列恒按位置序、右列恒按值序 ；标签是否数值相同，只是位置集与值集是否同集的副产物，与图的逆序计数功能无关。读图时盯"左=位置、右=值、连线 i → q i i\to q_i i→qi、数交叉"，不被标签数值相同与否带偏。
9.1.2 用两种约定描述本例（函数约定 vs 移动约定）
§11 的两种约定在本例（ P ∩ V = ∅ P\cap V=\varnothing P∩V=∅）上的表现，与 §9.1/§10 主例（ P = V = { 1 , ... , n } P=V=\{1,\dots,n\} P=V={1,...,n}）有关键差异------正好用它检验你是否真懂两约定的本质。
函数约定 σ f \sigma_f σf（位置→值） ： σ f ( i ) = q i \sigma_f(i)=q_i σf(i)=qi，给"位置 i i i 装的值"。
| 位置 i i i | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| σ f ( i ) = q i \sigma_f(i)=q_i σf(i)=qi | 11 | 7 | 13 | 9 |
one-line（按位置升序） = ( 11 , 7 , 13 , 9 ) =(11,7,13,9) =(11,7,13,9)，就是排布 q q q 本身。
移动约定 τ \tau τ（值→位置） ： τ ( v ) = \tau(v)= τ(v)= 值 v v v 所在的位置，给"值 v v v 落在哪号位"。
| 值 v v v | 7 | 9 | 11 | 13 |
|---|---|---|---|---|
| τ ( v ) \tau(v) τ(v) | 2 | 4 | 1 | 3 |
one-line（按值升序 7 , 9 , 11 , 13 7,9,11,13 7,9,11,13） = ( 2 , 4 , 1 , 3 ) =(2,4,1,3) =(2,4,1,3)。
互逆验证 ： σ f ∘ τ = i d V \sigma_f\circ\tau=\mathrm{id}_V σf∘τ=idV、 τ ∘ σ f = i d P \tau\circ\sigma_f=\mathrm{id}_P τ∘σf=idP（实算 σ f ( τ ( 7 ) ) = σ f ( 2 ) = 7 \sigma_f(\tau(7))=\sigma_f(2)=7 σf(τ(7))=σf(2)=7 ✓， τ ( σ f ( 1 ) ) = τ ( 11 ) = 1 \tau(\sigma_f(1))=\tau(11)=1 τ(σf(1))=τ(11)=1 ✓）。两约定仍是互逆映射，这点不变。
关键差异------本例无循环分解、one-line 字面也非互逆排列：
- §9.1/§10 主例 （ P = V = { 1 , ... , n } P=V=\{1,\dots,n\} P=V={1,...,n}）： σ f , τ \sigma_f,\tau σf,τ 都是 { 1 , ... , n } → { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\} {1,...,n}→{1,...,n} 的自映射 ，故可复合自身、有循环分解，且 τ \tau τ one-line = σ f \sigma_f σf one-line（即 p p p）的逆排列（字面互逆）。
- 本例 （ P ∩ V = ∅ P\cap V=\varnothing P∩V=∅）： σ f : P → V \sigma_f:P\to V σf:P→V、 τ : V → P \tau:V\to P τ:V→P，定义域 ≠ \ne = 值域 ，都不是自映射------ σ f 2 \sigma_f^2 σf2、 τ 2 \tau^2 τ2 无定义 ，故两者都没有循环分解 （循环记号 ( c 1 c 2 ... ) (c_1\,c_2\,\dots) (c1c2...) 要求 c i c_i ci 既作位置又作值，本例位置集与值集不相交，没有"既属位置又属值"的元素可填入循环）。同理， τ \tau τ 的 one-line ( 2 , 4 , 1 , 3 ) (2,4,1,3) (2,4,1,3) 值域是 P = { 1 , 2 , 3 , 4 } P=\{1,2,3,4\} P={1,2,3,4}， σ f \sigma_f σf 的 one-line ( 11 , 7 , 13 , 9 ) (11,7,13,9) (11,7,13,9) 值域是 V = { 7 , 9 , 11 , 13 } V=\{7,9,11,13\} V={7,9,11,13}------两者值域不同，"τ one-line = p 的逆排列"那句不再成立 （它只在 P = V = { 1 , ... , n } P=V=\{1,\dots,n\} P=V={1,...,n} 时才有意义）。
奇偶性仍约定无关------这是真正不依赖"位置集=值集"的不变量：
| one-line | inv \operatorname{inv} inv | 奇偶 | |
|---|---|---|---|
| 函数约定 σ f \sigma_f σf | ( 11 , 7 , 13 , 9 ) (11,7,13,9) (11,7,13,9) | 3 | 奇 |
| 移动约定 τ \tau τ | ( 2 , 4 , 1 , 3 ) (2,4,1,3) (2,4,1,3) | 3 | 奇 |
两约定 one-line 字面不同、值域不同、无循环分解，但 inv \operatorname{inv} inv 同为 3 3 3、奇偶同为奇 ------这与范德蒙德 D = − 768 < 0 D=-768<0 D=−768<0 的判定一致。根源： sgn ( σ f ) = sgn ( τ ) \operatorname{sgn}(\sigma_f)=\operatorname{sgn}(\tau) sgn(σf)=sgn(τ)（互逆映射符号相同），逆序数的奇偶作为 D D D 符号只依赖"位置 i < j i<j i<j 而 q i > q j q_i>q_j qi>qj"的计数，不需要位置集与值集同集。
若想要循环分解 （用 §9.2/§10.2 方法三）：对值做保序标定 7 ↦ 1 , 9 ↦ 2 , 11 ↦ 3 , 13 ↦ 4 7\mapsto1,9\mapsto2,11\mapsto3,13\mapsto4 7↦1,9↦2,11↦3,13↦4（§12.1 的 "集合到 { x 1 < ⋯ < x n } \{x_1<\dots<x_n\} {x1<⋯<xn} 的保序标定"），把值集映回 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,4\} {1,2,3,4}，得 { 1 , 2 , 3 , 4 } \{1,2,3,4\} {1,2,3,4} 自映射，方可写循环记号。保序标定不改变逆序的奇偶（它只是把值换成其大小排名），故奇偶结论与上面一致。
新增例子两约定 × 两记法 对照表（保序标定后；循环记号在此栏才可写）：
| 约定 | 映射方向 | one-line（按各自输入升序） | 循环记号（标定后） | inv \operatorname{inv} inv | 奇偶 |
|---|---|---|---|---|---|
| 函数约定 σ f \sigma_f σf | 位置→值 | ( 11 , 7 , 13 , 9 ) (11,7,13,9) (11,7,13,9) ｜ 标定后 ( 3 , 1 , 4 , 2 ) (3,1,4,2) (3,1,4,2) | ( 1 3 4 2 ) (1\;3\;4\;2) (1342)（4-循环） | 3 | 奇 |
| 移动约定 τ \tau τ | 值→位置 | ( 2 , 4 , 1 , 3 ) (2,4,1,3) (2,4,1,3) ｜ 标定后 ( 2 , 4 , 1 , 3 ) (2,4,1,3) (2,4,1,3) | ( 1 2 4 3 ) (1\;2\;4\;3) (1243)（4-循环， σ f \sigma_f σf 循环反读） | 3 | 奇 |
表注：
- "one-line" 与 "循环记号" 是两种并列记法 （非 one-line 属循环）：one-line 按输入升序逐位列输出、恒 n n n 项、任意映射可写；循环记号追轨道、省略不动点、仅自映射可写 。本例原生 P ∩ V = ∅ P\cap V=\varnothing P∩V=∅ 故原生无循环记号，经保序标定成自映射后才有上表循环栏。
- 标定后 σ f \sigma_f σf one-line ( 3 , 1 , 4 , 2 ) (3,1,4,2) (3,1,4,2) 与 τ \tau τ one-line ( 2 , 4 , 1 , 3 ) (2,4,1,3) (2,4,1,3) 互逆 （实算 σ f ∘ τ = i d \sigma_f\circ\tau=\mathrm{id} σf∘τ=id）；对应循环 ( 1 3 4 2 ) (1\;3\;4\;2) (1342) 与 ( 1 2 4 3 ) (1\;2\;4\;3) (1243) 互为反读（条目顺序倒过来），印证"两约定循环互逆"。
- ( 1 3 4 2 ) (1\;3\;4\;2) (1342) 是 4-循环 = 3 个对换之积 = 奇； ( 1 2 4 3 ) (1\;2\;4\;3) (1243) 同。两约定奇偶同（奇），与范德蒙德 D = − 768 < 0 D=-768<0 D=−768<0 一致------奇偶是唯一约定无关的不变量。
一句话 ：函数约定 σ f ( i ) = q i \sigma_f(i)=q_i σf(i)=qi 给"位置→值"、移动约定 τ ( v ) = \tau(v)= τ(v)= 值 v v v 的位置给"值→位置"，两者互逆------这对任意位置集 P P P、值集 V V V（不必同集）都成立 ；但当 P ∩ V = ∅ P\cap V=\varnothing P∩V=∅ 时两者都不是自映射、无循环分解、one-line 字面也非互逆排列，唯一约定无关的不变量是奇偶性（ = = = 范德蒙德 D D D 的符号）。这正是 §11.1 "标号集合=值集合= { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n}"那条假设的作用：它让两约定退化成 { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n} 自映射、从而有循环分解与"τ one-line = p 逆排列"的便利------这是简化，不是置换的本质。
9.2 三种方法交叉验证奇偶性
方法一：直接数逆序数
| i i i | p i p_i pi | 右侧比 p i p_i pi 小的元素 | 贡献 |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 1, 2 | 2 |
| 2 | 5 | 1, 2, 4 | 3 |
| 3 | 1 | --- | 0 |
| 4 | 6 | 2, 4 | 2 |
| 5 | 2 | --- | 0 |
| 6 | 4 | --- | 0 |
inv ( p ) = 2 + 3 + 0 + 2 + 0 + 0 = 7 ( 奇 ) \operatorname{inv}(p) = 2+3+0+2+0+0 = 7 \quad(\text{奇}) inv(p)=2+3+0+2+0+0=7(奇)
故 p p p 为 奇排列 。对应到图中，连线交叉点数应为 7 （可在上图中逐一数出，与逆序对 ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 5 , 1 ) , ( 5 , 2 ) , ( 5 , 4 ) , ( 6 , 2 ) , ( 6 , 4 ) (3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,4),(6,2),(6,4) (3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,4),(6,2),(6,4) 一一对应）。
方法二：范德蒙德符号法（本文判别式）
D = ∏ 1 ≤ i < j ≤ 6 ( p j − p i ) D=\prod_{1\le i<j\le6}(p_j-p_i) D=∏1≤i<j≤6(pj−pi) 共 C 6 2 = 15 C_6^2=15 C62=15 个因子，其中为负的因子数恰为逆序数 7 7 7：
sgn ( D ) = ( − 1 ) 7 = − 1 ⇒ D < 0 \operatorname{sgn}(D) = (-1)^{7} = -1 \;\Rightarrow\; D<0 sgn(D)=(−1)7=−1⇒D<0
由 §3 判定规则， D < 0 D<0 D<0 ⇒ 奇排列。与方法一一致。
方法三：循环分解
将 p p p 视作映射 i ↦ p i i\mapsto p_i i↦pi（函数约定 σ f ( i ) = p i \sigma_f(i)=p_i σf(i)=pi，与 §10.2 同），分解为不相交循环：
p = ( 1 3 ) ( 2 5 ) ( 4 6 ) p = (1\;3)(2\;5)(4\;6) p=(13)(25)(46)
即 3 个对换 之积。每个对换改变排列奇偶性，3 为奇数 ⇒ 奇排列。三方法结论一致 ✓。
约定注记 ：本文用函数约定 σ f ( i ) = p i \sigma_f(i)=p_i σf(i)=pi（位置 i i i 的值）；循环记号里出现的是条目 { c 1 , ... , c k } \{c_1,\dots,c_k\} {c1,...,ck}（§11.1）， ( c 1 c 2 ) (c_1\;c_2) (c1c2) 指 c 1 ↦ c 2 ↦ c 1 c_1\mapsto c_2\mapsto c_1 c1↦c2↦c1。若改用移动约定 τ \tau τ（" i → j i\to j i→j"=标号 i i i 搬到位置 j j j， τ = σ f − 1 \tau=\sigma_f^{-1} τ=σf−1），循环变为各对换的逆------但 2-循环 ( c 1 c 2 ) = ( c 2 c 1 ) (c_1\;c_2)=(c_2\;c_1) (c1c2)=(c2c1) 自逆，故 p p p 的循环分解在两约定下完全相同 ( 1 3 ) ( 2 5 ) ( 4 6 ) (1\;3)(2\;5)(4\;6) (13)(25)(46)，约定无关的物理事实"位置 1 装标号 3"不变。逆序数 7、奇偶性（奇）约定无关。
9.3 轨道图（单行有向图，按循环着色）
将 p p p 作为映射 i ↦ p i i\mapsto p_i i↦pi：三个不相交 2-循环 ( 1 3 ) , ( 2 5 ) , ( 4 6 ) (1\;3),(2\;5),(4\;6) (13),(25),(46) 各用一色；前向边（ i → j , j > i i\to j,\,j>i i→j,j>i）置于节点行上方，后向边（ j < i j<i j<i）置于下方。
1 2 3 4 5 6
蓝色 = (1 3) 橙色 = (2 5) 绿色 = (4 6)
从轨道图可直读三个不相交 2-循环 ( 1 ↔ 3 ) , ( 2 ↔ 5 ) , ( 4 ↔ 6 ) (1\leftrightarrow3),(2\leftrightarrow5),(4\leftrightarrow6) (1↔3),(2↔5),(4↔6)，每个 2-循环是一对相向箭头构成的"梭形"。与 §10.4 对照：本例轨道全是 2-循环（周期 2，即 p 2 = i d p^2=\mathrm{id} p2=id 的对合），§10.4 全是 3-循环（周期 3）。
注：本例 p p p 是一个无不动点的对合 （ p 2 = i d p^2=\mathrm{id} p2=id），由三个 2-循环构成（2-循环即对换，长度 ℓ = 2 \ell=2 ℓ=2）；其偶/奇性由对换（2-循环）的个数（3，奇）决定，与逆序数 7（奇）同奇偶------这正是"奇偶性不依赖于分解方式"这一基本定理的体现。注意区分："循环长度 ℓ \ell ℓ 的奇偶"（ ℓ = 2 \ell=2 ℓ=2 为偶）与"排列的奇偶"（3 个对换 = 奇排列）是两回事，后者才决定 D D D 的符号。
10. 偶排列对照例 + 轨道图
取另一个 6 元素排列
q = ( q 1 , ... , q 6 ) = ( 2 , 4 , 6 , 1 , 3 , 5 ) q = (q_1,\dots,q_6) = (2,\; 4,\; 6,\; 1,\; 3,\; 5) q=(q1,...,q6)=(2,4,6,1,3,5)
10.1 置换图（两列连线表示法，与 §9.1 对照）
同 §9.1 约定：左列按位置序、右列按值序 （两列标签集同为 { 1 , ... , 6 } \{1,\dots,6\} {1,...,6}，因 { 1 , ... , 6 } \{1,\dots,6\} {1,...,6} 置换里位置集合 = = = 值集合 = { 1 , ... , 6 } =\{1,\dots,6\} ={1,...,6}，§11.1），从左列 i i i 连线到右列 q i q_i qi，故"连线交叉 ⟺ 逆序"。
位置 i 值 q_i 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
读图： 1 → 2 , 2 → 4 , 3 → 6 , 4 → 1 , 5 → 3 , 6 → 5 1\to2,\;2\to4,\;3\to6,\;4\to1,\;5\to3,\;6\to5 1→2,2→4,3→6,4→1,5→3,6→5。
10.2 三方法交叉验证（偶排列）
方法一：数逆序数
| i i i | q i q_i qi | 右侧比 q i q_i qi 小的元素 | 贡献 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 1, 3 | 2 |
| 3 | 6 | 1, 3, 5 | 3 |
| 4 | 1 | --- | 0 |
| 5 | 3 | --- | 0 |
| 6 | 5 | --- | 0 |
inv ( q ) = 1 + 2 + 3 + 0 + 0 + 0 = 6 ( 偶 ) \operatorname{inv}(q) = 1+2+3+0+0+0 = 6 \quad(\text{偶}) inv(q)=1+2+3+0+0+0=6(偶)
故 q q q 为 偶排列 。图中交叉点数应为 6 ，对应逆序对 ( 2 , 1 ) , ( 4 , 1 ) , ( 4 , 3 ) , ( 6 , 1 ) , ( 6 , 3 ) , ( 6 , 5 ) (2,1),(4,1),(4,3),(6,1),(6,3),(6,5) (2,1),(4,1),(4,3),(6,1),(6,3),(6,5)。
方法二：范德蒙德符号法
15 个因子中为负者恰有 6 个：
sgn ( D ) = ( − 1 ) 6 = + 1 ⇒ D > 0 \operatorname{sgn}(D) = (-1)^{6} = +1 \;\Rightarrow\; D>0 sgn(D)=(−1)6=+1⇒D>0
由 §3， D > 0 D>0 D>0 ⇒ 偶排列。与方法一一致。
方法三：循环分解
循环记号约定（重要） ：本文用标准函数约定 ------把排列看作映射 σ f : { 1 , ... , n } → { 1 , ... , n } \sigma_f:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\} σf:{1,...,n}→{1,...,n}， σ f ( i ) = q i \sigma_f(i)=q_i σf(i)=qi（即"位置 i i i 上的值"）。循环记号里出现的是条目 { c 1 , ... , c k } \{c_1,\dots,c_k\} {c1,...,ck}（§11.1）， ( c 1 c 2 ... c k ) (c_1\;c_2\;\dots\;c_k) (c1c2...ck) 指 c 1 ↦ c 2 ↦ ⋯ ↦ c k ↦ c 1 c_1\mapsto c_2\mapsto\dots\mapsto c_k\mapsto c_1 c1↦c2↦⋯↦ck↦c1。据此 q 1 = 2 , q 2 = 4 , q 4 = 1 q_1=2,q_2=4,q_4=1 q1=2,q2=4,q4=1 给出 σ f : 1 ↦ 2 ↦ 4 ↦ 1 \sigma_f:1\mapsto2\mapsto4\mapsto1 σf:1↦2↦4↦1，即 ( 1 2 4 ) (1\;2\;4) (124)，故位置 1 的值是 σ f ( 1 ) = 2 \sigma_f(1)=2 σf(1)=2 。
另一种常见读法是移动约定 ：把" i → j i\to j i→j"理解为"标号 i i i 搬到位置 j j j"，记此映射 τ ( i ) = j \tau(i)=j τ(i)=j（标号→位置）。对同一排列 q q q， τ \tau τ 恰是函数约定 σ f \sigma_f σf 的逆 ： τ = σ f − 1 \tau=\sigma_f^{-1} τ=σf−1（ σ f \sigma_f σf 给"位置→值"，其逆给"值/标号→位置"），故 τ \tau τ 的循环 = σ f \sigma_f σf 循环逐个反读，即 ( 1 4 2 ) ( 3 5 6 ) (1\;4\;2)(3\;5\;6) (142)(356)。其中 τ ( 1 ) = 4 \tau(1)=4 τ(1)=4 意为标号 1 搬到位置 4 ------注意这不是"位置 1 装 4"：位置 1 装的是 σ f ( 1 ) = 2 \sigma_f(1)=2 σf(1)=2，这是约定无关的物理事实。两种约定描述同一排列 、互逆、均合法，差别仅在把哪个映射（位置→值 或 标号→位置）命名为"置换"；逆序数与奇偶性不受约定影响（仍为 6、偶）。
q = ( 1 2 4 ) ( 3 6 5 ) q = (1\;2\;4)(3\;6\;5) q=(124)(365)
两个 3-循环之积。每个 3-循环 = 2 个对换之积（偶），两个相乘仍偶 ⇒ 偶排列。三方法一致 ✓。
10.3 奇偶对照
| §9 排列 p p p | §10 排列 q q q | |
|---|---|---|
| 排列 | ( 3 , 5 , 1 , 6 , 2 , 4 ) (3,5,1,6,2,4) (3,5,1,6,2,4) | ( 2 , 4 , 6 , 1 , 3 , 5 ) (2,4,6,1,3,5) (2,4,6,1,3,5) |
| 逆序数 | 7（奇） | 6（偶） |
| 范德蒙德 D D D 符号 | − - −（负） | + + +（正） |
| 循环分解 | ( 1 3 ) ( 2 5 ) ( 4 6 ) (1\;3)(2\;5)(4\;6) (13)(25)(46) | ( 1 2 4 ) ( 3 6 5 ) (1\;2\;4)(3\;6\;5) (124)(365) |
| 循环结构 | 3 个 2-循环（对合） | 2 个 3-循环 |
| 排列性质 | 奇 | 偶 |
可见：循环长度 不决定奇偶性，决定奇偶性的是"等价对换个数的奇偶"，它依次等同于逆序数的奇偶、范德蒙德乘积 D D D 的符号。
10.4 轨道图（单行有向图，按循环着色）
本图画的排列是 q = ( 2 , 4 , 6 , 1 , 3 , 5 ) q=(2,4,6,1,3,5) q=(2,4,6,1,3,5)（即 §10 的偶排列，逆序数 6）。把 q q q 看作映射 i ↦ q i i\mapsto q_i i↦qi，6 条箭头与映射一一对应：
| 起点 i i i | q i q_i qi | 箭头 | 所属循环 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 → 2 1\to2 1→2（上弧，蓝） | ( 1 2 4 ) (1\;2\;4) (124) |
| 2 | 4 | 2 → 4 2\to4 2→4（上弧，蓝） | ( 1 2 4 ) (1\;2\;4) (124) |
| 4 | 1 | 4 → 1 4\to1 4→1（下弧，蓝） | ( 1 2 4 ) (1\;2\;4) (124) |
| 3 | 6 | 3 → 6 3\to6 3→6（上弧，橙） | ( 3 6 5 ) (3\;6\;5) (365) |
| 6 | 5 | 6 → 5 6\to5 6→5（下弧，橙） | ( 3 6 5 ) (3\;6\;5) (365) |
| 5 | 3 | 5 → 3 5\to3 5→3（下弧，橙） | ( 3 6 5 ) (3\;6\;5) (365) |
同一循环的节点与边同色：蓝 = ( 1 2 4 ) (1\;2\;4) (124)，橙 = ( 3 6 5 ) (3\;6\;5) (365)；前向边（ j > i j>i j>i）走节点行上方，后向边（ j < i j<i j<i）走下方。沿箭头环行： 1 → 2 → 4 → 1 1\to2\to4\to1 1→2→4→1 与 3 → 6 → 5 → 3 3\to6\to5\to3 3→6→5→3，即两个不相交 3-循环，无不动点。
1 2 3 4 5 6
蓝色 = (1 2 4) 循环 橙色 = (3 6 5) 循环
从轨道图可直读循环结构： ( 1 → 2 → 4 → 1 ) (1\to2\to4\to1) (1→2→4→1) 与 ( 3 → 6 → 5 → 3 ) (3\to6\to5\to3) (3→6→5→3) 两个不相交 3-循环。轨道图展示的是"映射 i ↦ p i i\mapsto p_i i↦pi 的轨道"，周期为循环长度 ℓ \ell ℓ；它直接呈现拓扑结构，而 §9/§10.1 的两列连线图呈现的是"作为一次重排的逆序几何"，周期信息隐含在交叉点数中。两者互补：连列图看奇偶，轨道图看循环。
11. 函数约定 vs 移动约定：翻译时的区别与判别
§9.2 / §10.2 已两次触及循环记号的两种读法。本节集中说明两者在把一行排列翻译成循环（或反向翻译）时到底差在哪、如何判别该用哪种。
11.1 两种约定的定义
一句话钉死 ：函数约定是 位置→值 的映射（问" i i i 号位装谁"）；移动约定是 值→位置 的映射（问"值 i i i 在哪号位"）。在 { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n} 置换中标号集合 = = = 值集合 = { 1 , ... , n } =\{1,\dots,n\} ={1,...,n} ------标号 i i i 就是值 i i i，故"标号→位置"与"值→位置"指同一映射 τ = σ f − 1 \tau=\sigma_f^{-1} τ=σf−1。两约定互逆提问、互为逆映射，这正是它们循环分解互逆的根源（互逆映射的循环分解自然互逆）。
记排列的一行形式 为 p = ( p 1 , p 2 , ... , p n ) p=(p_1,p_2,\dots,p_n) p=(p1,p2,...,pn)，其中 p i p_i pi 是位置 i i i 上的值 （约定无关的物理排布）。循环记号里出现的则是一组条目 ------用另一套字号 c 1 , c 2 , ... , c k c_1,c_2,\dots,c_k c1,c2,...,ck 表示同一个循环内互不相同的 k k k 个元素（它们是 { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n} 的成员，但不是 p i p_i pi，别混）。把排列视为双射 { 1 , ... , n } → { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\} {1,...,n}→{1,...,n}：
| 函数约定（ σ f : 位置 → 值 \sigma_f:\text{位置}\to\text{值} σf:位置→值） | 移动约定（ τ : 标号 → 位置 \tau:\text{标号}\to\text{位置} τ:标号→位置） | |
|---|---|---|
| 映射定义 | σ f ( i ) = p i \sigma_f(i)=p_i σf(i)=pi：位置 i i i 的值 | τ ( i ) = j \tau(i)=j τ(i)=j：标号 i i i 搬到位置 j j j |
| 两映射关系 | 基准 | τ = σ f − 1 \tau=\sigma_f^{-1} τ=σf−1（"标号→位置" 即 "位置→值"的逆） |
| 循环 ( c 1 c 2 ... c k ) (c_1\;c_2\;\dots\;c_k) (c1c2...ck) 读作 | c 1 ↦ c 2 ↦ ⋯ ↦ c k ↦ c 1 c_1\mapsto c_2\mapsto\dots\mapsto c_k\mapsto c_1 c1↦c2↦⋯↦ck↦c1，每步 σ f ( c i ) = c i + 1 \sigma_f(c_i)=c_{i+1} σf(ci)=ci+1，即"位置 c i c_i ci 的值是 c i + 1 c_{i+1} ci+1" | c 1 c_1 c1 搬到位置 c 2 c_2 c2、 ... \dots ...、 c k c_k ck 搬到位置 c 1 c_1 c1，即"标号 c i c_i ci 落到位置 c i + 1 c_{i+1} ci+1" |
| 循环里 c i c_i ci 的角色 | 左端=位置、右端=值------位置→值 | 左端=标号、右端=位置------标号（值）→位置 |
| 对应一行形式 | p i = σ f ( i ) p_i=\sigma_f(i) pi=σf(i)（按位置 i i i 列值，即排列本身） | τ ( j ) = σ f − 1 ( j ) \tau(j)=\sigma_f^{-1}(j) τ(j)=σf−1(j)：按标号 j j j 列其所在位置，即 p p p 的逆排列 ( 4 , 1 , 5 , 2 , 6 , 3 ) (4,1,5,2,6,3) (4,1,5,2,6,3)（仍描述同一排布，只是把标号→位置映射逐位写出） |
| 一句直问 | 问位置 得值 ：" i i i 号位装谁？" | 问标号 得位置 ："标号 i i i 在第几号位？" |
核心区别 ：两约定描述的是同一物理排布的两个互逆映射 。 σ f \sigma_f σf（位置→值）与 τ \tau τ（标号→位置）满足 τ = σ f − 1 \tau=\sigma_f^{-1} τ=σf−1，故同一排列 p p p 在两约定下写出的循环分解互为逆 （把每个循环的条目顺序反过来读）。关键 ：把哪个映射命名为"置换"是约定选择；位置 i i i 装标号 p i p_i pi 这一物理事实约定无关 ------约定只决定顺着循环条目链 c i → c i + 1 c_i\to c_{i+1} ci→ci+1 追下去时， c i + 1 c_{i+1} ci+1 被读成"位置 c i c_i ci 的值"（函数）还是"标号 c i c_i ci 的目的地"（移动）。
11.1.1 置换的定义层 vs 作用层（置换与"位置上的值"无关）
上面的" σ f \sigma_f σf 问位置得值、 τ \tau τ 问标号得位置"是在对同一物理排布读出置换 这一编码层说的。但置换群操作本身 的定义比这更彻底地与"值"无关------它纯粹建立在位置/标号上。需分两层：
- 定义层（置换 σ \sigma σ 本身） ： σ \sigma σ 是集合 Ω = { 1 , ... , n } \Omega=\{1,\dots,n\} Ω={1,...,n} 到自身的双射，描述的是**"位置 i i i 的内容送到位置 σ ( i ) \sigma(i) σ(i)"**这套位置间的搬运规则。它的 one-line σ ( 1 ) , ... , σ ( n ) \\sigma(1),\\dots,\\sigma(n) σ(1),...,σ(n)、逆序数 inv ( σ ) \operatorname{inv}(\sigma) inv(σ)、符号 sgn ( σ ) \operatorname{sgn}(\sigma) sgn(σ) 全都只由"位置→目标位置"序列决定，与位置上当前装什么值无关 。位置在这里只是抽象槽位，槽里坐着 7 7 7 还是 9 9 9 还是字母 α \alpha α， σ \sigma σ 既不问也不改。
- 作用层（执行 σ \sigma σ 于一组具体内容） ：只有当你拿 σ \sigma σ 去搬运当前排布时，具体内容才出场，得到一张新排布（state）；但这是作用结果 ，不是 σ \sigma σ 本身， σ \sigma σ 的定义与符号在搬运中纹丝未动。
具体实例（ σ = ( 1 2 3 ) \sigma=(1\;2\;3) σ=(123)，one-line 2 , 3 , 1 2,3,1 2,3,1）：
| 内容 | 备注 | |
|---|---|---|
| σ \sigma σ 本身（定义层） | 2 , 3 , 1 2,3,1 2,3,1， inv = 2 \operatorname{inv}=2 inv=2， sgn = + 1 \operatorname{sgn}=+1 sgn=+1（3-循环恒偶） | 与"装什么值"无关 |
| 当前排布（任给） | 7 , 8 , 9 7,8,9 7,8,9（位置 1 装 7、...) | 内容仅在这一层出现 |
| 作用后排布 | 9 , 7 , 8 9,7,8 9,7,8（位置 1 装 9、...) | σ \sigma σ 把位置 i i i 的内容搬到位置 σ ( i ) \sigma(i) σ(i) |
关键：置换符号 sgn ( σ ) = + 1 \operatorname{sgn}(\sigma)=+1 sgn(σ)=+1 由 σ \sigma σ 的结构（3-循环 = 2 个对换之积）决定，无论排布装的是 7 , 8 , 9 7,8,9 7,8,9 还是 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ 都一样。具体内容只在"执行搬运"时才被搬运出场，且搬运不改变置换本身 。这正是 §12 群作用视角 " σ ⋅ Δ \sigma\cdot\Delta σ⋅Δ" 的实质： σ \sigma σ 对下标 v v v 作用 σ ⋅ x v = x σ ( v ) \sigma\cdot x_v=x_{\sigma(v)} σ⋅xv=xσ(v)，与变量名 x v x_v xv 的"值"无关------变量被换位，但 σ \sigma σ 这步动作的定义没变。
易混误解（结果排布 ≠ 置换本身） ：把"作用后排布 9 , 7 , 8 9,7,8 9,7,8"误当作" σ \sigma σ 的 one-line 是 9 , 7 , 8 9,7,8 9,7,8"------这混淆了作用结果 （state，一张排布）与作用算子 （ σ \sigma σ，one-line 2 , 3 , 1 2,3,1 2,3,1）。两者的判别：one-line 写的是位置→目标位置 序列（算子，内容无关），不是位置→当前装的值 序列（状态，内容相关）。 σ = ( 1 2 3 ) \sigma=(1\;2\;3) σ=(123) 只有唯一的 one-line 2 , 3 , 1 2,3,1 2,3,1；"装 7 还是 9"是排布层面的可变状态，不进入 σ \sigma σ。§11.1 的"位置→值 vs 标号→位置"歧义发生在对同一终态排布读出 σ \sigma σ 时（读位置→值得 σ f \sigma_f σf，读标号→位置得 τ \tau τ）；一旦 σ \sigma σ 读定为 2 , 3 , 1 2,3,1 2,3,1，它与"装 7 还是 9"再无瓜葛。
11.2 等价性界定：作为记号系统等价，作为逐点翻译不等价
"两约定是否等价"需分两层回答，否则必陷混乱：
- 第 1 层（群结构不变量）------等价 ：两约定由"取逆"这一可逆翻译 σ ↔ σ − 1 \sigma\leftrightarrow\sigma^{-1} σ↔σ−1 联结，且翻译保结构。凡只依赖下表不变量的命题，两约定同真同假，约定无关：
| 不变量 | 两约定是否相同 | 核验（ q = ( 2 , 4 , 6 , 1 , 3 , 5 ) q=(2,4,6,1,3,5) q=(2,4,6,1,3,5)） |
|---|---|---|
| 循环型（各循环长度的重集） | 相同 | σ \sigma σ 与 σ − 1 \sigma^{-1} σ−1 均 ( 3 , 3 ) (3,3) (3,3) |
| 元素阶 ∣ σ ∣ = lcm ( 循环长 ) \lvert\sigma\rvert=\text{lcm}(\text{循环长}) ∣σ∣=lcm(循环长) | 相同 | 3 = 3 3=3 3=3 |
| 奇偶性 / sgn ( σ ) \operatorname{sgn}(\sigma) sgn(σ) | 相同 | sgn ( σ − 1 ) = sgn ( σ ) \operatorname{sgn}(\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}(\sigma) sgn(σ−1)=sgn(σ)，均偶 |
| 逆序数 | 相同 | 6 = 6 6=6 6=6 |
| 共轭类（由循环型决定） | 相同 | ------ |
| 是否对合（ σ 2 = i d \sigma^2=\mathrm{id} σ2=id） | 相同 | ------ |
- 第 2 层（逐点/逐元指派）------不等价：两约定对"具体翻译"给出互逆结果，不可混用、不可部分套用：
表 A --- 标号 1 的互逆指派（以同一标号 1 为输入，看两映射给出什么）：
| 量 | 函数约定 σ f \sigma_f σf | 移动约定 τ = σ f − 1 \tau=\sigma_f^{-1} τ=σf−1 | 核验 |
|---|---|---|---|
| 给定标号 1 1 1，问：位置的值 / 标号的目的地 | σ f ( 1 ) = \sigma_f(1)= σf(1)=值 2 2 2（位置 1 装的值） | τ ( 1 ) = \tau(1)= τ(1)=位置 4 4 4（标号 1 搬到哪） | 2 vs 4，不同------问的是不同问题 |
| 循环字面 | ( 1 2 4 ) ( 3 6 5 ) (1\;2\;4)(3\;6\;5) (124)(365) | ( 1 4 2 ) ( 3 5 6 ) (1\;4\;2)(3\;5\;6) (142)(356) | 互逆 |
（注： σ f ( 1 ) = 2 \sigma_f(1)=2 σf(1)=2 与 τ ( 1 ) = 4 \tau(1)=4 τ(1)=4 不同，是因为前者问"位置 1 装什么值"、后者问"标号 1 搬到哪位置"------本就是两个不同的物理问题，故答数不同、不矛盾。位置 1 装标号 2 这一物理事实约定无关。）
表 B --- 乘积代数（对两约定共同的群论恒等式，非位置 1 指派）：
| 恒等式 | 含义 |
|---|---|
| ( σ ∘ τ ) − 1 = τ − 1 ∘ σ − 1 (\sigma\circ\tau)^{-1}=\tau^{-1}\circ\sigma^{-1} (σ∘τ)−1=τ−1∘σ−1 | 求逆翻转因式书写顺序（实跑： ( s ∘ t ) − 1 = t − 1 ∘ s − 1 (s\circ t)^{-1}=t^{-1}\circ s^{-1} (s∘t)−1=t−1∘s−1 ✓） |
| σ − 1 \sigma^{-1} σ−1 的循环分解 = σ \sigma σ 循环分解逐个反读 | 故两约定循环字面互逆的代数根源 |
一句话定性 ：作为记号系统，两约定等价 （取逆为可逆翻译，保阶/循环型/奇偶/共轭类等一切群结构不变量）；作为"这一行数对应哪几个循环、位置 i i i 是几、积怎么写"的逐点翻译，两约定不等价 （互逆，不可混用）。类比左手系 vs 右手系坐标系------描述同一空间（等价），但任一具体坐标 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z) 数值不同（不等价），混用出错。
11.3 翻译差别（同一行排列 → 循环）
以 q = ( 2 , 4 , 6 , 1 , 3 , 5 ) q=(2,4,6,1,3,5) q=(2,4,6,1,3,5) 为例（位置 1 装标号 2、位置 2 装标号 4、...、位置 4 装标号 1，这是约定无关的物理排布）：
- 函数约定 （ σ f : 位置 → 值 \sigma_f:\text{位置}\to\text{值} σf:位置→值）： σ f ( 1 ) = 2 , σ f ( 2 ) = 4 , σ f ( 4 ) = 1 \sigma_f(1)=2,\sigma_f(2)=4,\sigma_f(4)=1 σf(1)=2,σf(2)=4,σf(4)=1 ⇒ σ f \sigma_f σf 的循环 ( 1 2 4 ) (1\;2\;4) (124)； σ f ( 3 ) = 6 , σ f ( 6 ) = 5 , σ f ( 5 ) = 3 \sigma_f(3)=6,\sigma_f(6)=5,\sigma_f(5)=3 σf(3)=6,σf(6)=5,σf(5)=3 ⇒ ( 3 6 5 ) (3\;6\;5) (365)。故 q = ( 1 2 4 ) ( 3 6 5 ) q=(1\;2\;4)(3\;6\;5) q=(124)(365)。
- 移动约定 （ τ : 标号 → 位置 \tau:\text{标号}\to\text{位置} τ:标号→位置）： τ \tau τ 给"标号 i i i 搬到哪个位置"，即问"标号 i i i 在排布中的物理位置"。标号 1 在位置 4、标号 4 在位置 2、标号 2 在位置 1 ⇒ τ : 1 ↦ 4 ↦ 2 ↦ 1 \tau:1\mapsto4\mapsto2\mapsto1 τ:1↦4↦2↦1，循环 ( 1 4 2 ) (1\;4\;2) (142)；同理标号 3 在位置 5、5 在位置 6、6 在位置 3 ⇒ ( 3 5 6 ) (3\;5\;6) (356)。故同一排布在移动约定下写作 ( 1 4 2 ) ( 3 5 6 ) (1\;4\;2)(3\;5\;6) (142)(356)。
可见：同一行排列，两约定给出的循环互逆 （因 τ = σ f − 1 \tau=\sigma_f^{-1} τ=σf−1）。这正是你在 §10.2 困惑的根源------"顺着 1 找到 2"时，2 是"位置 1 的值"（函数）还是"标号 1 的目的地"（移动，此时应是 4），取决于约定。
11.4 何时两约定重合、何时分离
- 全 2-循环（对换之积） ：2-循环 ( c 1 c 2 ) = ( c 2 c 1 ) (c_1\;c_2)=(c_2\;c_1) (c1c2)=(c2c1) 自逆，故 p = ( 1 3 ) ( 2 5 ) ( 4 6 ) p=(1\;3)(2\;5)(4\;6) p=(13)(25)(46) 在两约定下完全相同（§9.2）。此时读法差异不可见。
- 含 ℓ ≥ 3 \ell\ge3 ℓ≥3 的循环 ： ℓ \ell ℓ-循环的逆 ( c 1 ... c ℓ ) − 1 = ( c ℓ ... c 1 ) ≠ (c_1\;\dots\;c_\ell)^{-1}=(c_\ell\;\dots\;c_1)\ne (c1...cℓ)−1=(cℓ...c1)= 原循环，两约定分离（§10.2）。
- 不动点 ： ( c ) (c) (c) 自逆，两约定重合。
- 奇偶性不变量 ：对换分解的对换个数、逆序数、 sgn ( σ ) \operatorname{sgn}(\sigma) sgn(σ) 在两约定下相同 ------因为 sgn ( σ − 1 ) = sgn ( σ ) \operatorname{sgn}(\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}(\sigma) sgn(σ−1)=sgn(σ)。故奇偶性结论约定无关（正是 §9/§10 三方法结论稳固的根据）。
11.4.1 几何化身：鬼脚图与两约定（交叉对照）
鬼脚图（Amidakuji/Ghost Leg）是对换之积的几何化身 ：每条横线是一个相邻对换 s i = ( i i + 1 ) s_i=(i\;\,i{+}1) si=(ii+1)，整图是一段生成元字 s i 1 ⋯ s i k s_{i_1}\cdots s_{i_k} si1⋯sik。它在两层上与"函数/移动约定"对照------
- 生成元字层------两约定字面重合 ：横线 s i s_i si 是 2-循环，而 2-循环自逆（ ( i i + 1 ) = ( i + 1 i ) (i\;\,i{+}1)=(i{+}1\;\,i) (ii+1)=(i+1i)），故函数/移动两约定对每条横线写出的记号完全相同 。这是本节"全 2-循环之积两约定相同"的几何体现：鬼脚图在生成元层根本不需要选约定，两约定退化为同一张图。
- 最终落位层------两族并行读法、互为逆 ：鬼脚图的终态是一个"列内容序列"（如 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3} 经横线 s 1 s 2 s_1s_2 s1s2 后终态 2 , 3 , 1 2,3,1 2,3,1）。从同一终态可提两类问题，给出互逆 的两个映射：
- 槽位内容族 （函数约定 σ f \sigma_f σf）：列 i i i 装什么？读"竖直线上端值(位置) → \to →下端值(列内值)"，即 σ f ( i ) = \sigma_f(i)= σf(i)= 列 i i i 的内容。上例得 σ f = ( 2 , 3 , 1 ) \sigma_f=(2,3,1) σf=(2,3,1)、循环 ( 1 2 3 ) (1\;2\;3) (123)------这正是读函数约定的合法方式。
- 球移动族 （移动约定 τ \tau τ）：球(标号) i i i 落到哪列？即 τ ( i ) = \tau(i)= τ(i)= 球 i i i 的落列。上例得 τ = ( 3 , 1 , 2 ) \tau=(3,1,2) τ=(3,1,2)、循环 ( 1 3 2 ) (1\;3\;2) (132)。
- 验证互逆： σ f ∘ τ = i d \sigma_f\circ\tau=\mathrm{id} σf∘τ=id（实算 σ f ( τ ( 1 ) ) , ... = 1 , 2 , 3 \\sigma_f(\\tau(1)),\\dots=1,2,3 σf(τ(1)),...=1,2,3）。两族都合法、都对应同一张图，差别只在问的问题不同（位置→值 vs 标号→位置）；默认物理直觉偏球移动族（移动约定，更直观），但槽位内容族（函数约定）同样正当。
与 §10.4 轨道图的关系取决于读哪一族：
| 鬼脚图（槽位内容族） | 鬼脚图（球移动族） | §10.4 轨道图 | |
|---|---|---|---|
| 提取映射 | σ f \sigma_f σf：位置→值 | τ = σ f − 1 \tau=\sigma_f^{-1} τ=σf−1：标号→位置 | σ f \sigma_f σf：位置→值 |
| 归属约定 | 函数 | 移动 | 函数 |
| one-line | p p p 本身 | p p p 的逆排列 | p p p 本身 |
| 与轨道图 σ f \sigma_f σf 的关系 | 同一 | 互逆 | 基准 |
记法层上鬼脚图始终是生成元字（第三种记法，非一行形式）；差异在"最终落位落成一行形式"时显现------其来源与 §11.1 一行形式 p = ( p 1 , ... , p n ) p=(p_1,\dots,p_n) p=(p1,...,pn) 的歧义同构：同一终态序列，读位置→值 vs 标号→位置，得互逆双射。鬼脚图因横线为 2-循环在生成元层规避了字面分叉（两约定字面重合），只在最终落位的一行编码层复现 §11 的两族区分。
11.5 如何判别该用哪种
文献约定参差，读到一个循环时按以下顺序判别：
- 看原文有没有声明 。有声明按声明（本文统一函数约定 σ f ( i ) = p i \sigma_f(i)=p_i σf(i)=pi，与 Dummit & Foote、大多数代数教材一致）。
- 看语境 ：
- 讨论的是值 （"位置 i i i 上是几"、逆序数、范德蒙德乘积、本文判别式）→ 函数约定。
- 讨论的是物理搬动 （洗牌、Rubik 转法、 i → j i\to j i→j 读作" i i i 去 j j j"）→ 移动约定。
- 用 2-循环自逆检验无关量：若结论只涉奇偶/逆序数，约定无关，不必纠结。
- 安全做法 ：翻译时把循环先还原成"位置 i i i 的值"的一行形式再核对，不直接信循环字面。例：给定物理排布 q = ( 2 , 4 , 6 , 1 , 3 , 5 ) q=(2,4,6,1,3,5) q=(2,4,6,1,3,5)（位置 1 装标号 2）。看到循环 ( 1 2 4 ) (1\;2\;4) (124)：函数约定下读作"位置 1 的值是 2"（与排布一致）；移动约定下读作"标号 1 搬到位置 2"（但实际标号 1 在位置 4，不一致）------故此循环用的是函数约定。若文中循环写作 ( 1 4 2 ) (1\;4\;2) (142)，则反向判定为移动约定。
一句话：函数约定"位置→值"（读位置 i i i 上的值），移动约定"值→位置"（读标号搬到哪）；同一行排列两约定循环互逆，2-循环例外自逆；奇偶/逆序数约定无关。
12. 置换作用视角：符号积上的群作用（等价方法）
§8 把奇偶判别写成静态比值 D / D 0 = sgn ( σ ) D/D_0=\operatorname{sgn}(\sigma) D/D0=sgn(σ)。本节给出一个等价的动态视角 ：先构造一个恒正的符号"基准积" Δ \Delta Δ，再让排列 σ \sigma σ 作为群作用 施加于 Δ \Delta Δ（对每个变量做置换），读作用后乘积 σ ⋅ Δ \sigma\cdot\Delta σ⋅Δ 的符号即得奇偶性。该视角把"排列的奇偶"与"群在多项式上的作用"直接挂钩，是判别式的群论实质。
12.1 方法定义
设数列元素互异且可比较大小。先按大小排序，用 n n n 个满足 x 1 < x 2 < ⋯ < x n x_1<x_2<\dots<x_n x1<x2<⋯<xn 的形式变量 x v x_v xv 标记这 n n n 个元素（集合到 { x 1 , ... , x n } \{x_1,\dots,x_n\} {x1,...,xn} 的保序标定；对 { 1 , ... , n } \{1,\dots,n\} {1,...,n} 本身即取 x v = v x_v=v xv=v）。
第 1 步------构造符号基准积 ：对一切下标满足 a > b a>b a>b 的对取因子 ( x a − x b ) (x_a-x_b) (xa−xb)，相乘：
Δ = ∏ 1 ≤ b < a ≤ n ( x a − x b ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) \Delta \;=\; \prod_{1\le b<a\le n}(x_a-x_b) \;=\; \prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) Δ=1≤b<a≤n∏(xa−xb)=1≤i<j≤n∏(xj−xi)
（第二个等号是换元 a = j , b = i a=j,\,b=i a=j,b=i。这就是范德蒙德多项式 。）因每个因子 x a − x b > 0 x_a-x_b>0 xa−xb>0（ a > b a>b a>b 且 x x x 严格递增）， Δ \Delta Δ 是恒正的符号常数，承载"天然升序"基准。
第 2 步------施加排列 σ \sigma σ ：把 σ \sigma σ 视作对变量下标 的作用 σ ⋅ x v = x σ ( v ) \sigma\cdot x_v=x_{\sigma(v)} σ⋅xv=xσ(v)（函数约定 σ ( v ) = \sigma(v)= σ(v)= 排列在第 v v v 位的值），并乘性地延拓到 Δ \Delta Δ：
σ ⋅ Δ = ∏ 1 ≤ b < a ≤ n ( x σ ( a ) − x σ ( b ) ) \sigma\cdot\Delta \;=\; \prod_{1\le b<a\le n}\bigl(x_{\sigma(a)}-x_{\sigma(b)}\bigr) σ⋅Δ=1≤b<a≤n∏(xσ(a)−xσ(b))
即每个因子里的变量 x v x_v xv 一律替换为 x σ ( v ) x_{\sigma(v)} xσ(v)。这一步是方法核心：恒正基准 Δ \Delta Δ 经 σ \sigma σ 作用后，其符号被 σ \sigma σ 改写。
第 3 步------读符号：
sgn ( σ ) = sgn ( σ ⋅ Δ Δ ) = sgn ( σ ⋅ Δ ) ( Δ > 0 ) \operatorname{sgn}(\sigma) \;=\; \operatorname{sgn}\!\left(\frac{\sigma\cdot\Delta}{\Delta}\right) \;=\; \operatorname{sgn}(\sigma\cdot\Delta) \qquad(\Delta>0) sgn(σ)=sgn(Δσ⋅Δ)=sgn(σ⋅Δ)(Δ>0)
σ ⋅ Δ < 0 \sigma\cdot\Delta<0 σ⋅Δ<0 ⇒ σ \sigma σ 为奇排列 ； σ ⋅ Δ > 0 \sigma\cdot\Delta>0 σ⋅Δ>0 ⇒ 偶排列。
12.2 关键定理与证明
定理 ： σ ⋅ Δ = sgn ( σ ) ⋅ Δ \sigma\cdot\Delta=\operatorname{sgn}(\sigma)\cdot\Delta σ⋅Δ=sgn(σ)⋅Δ。故 sgn ( σ ⋅ Δ ) = sgn ( σ ) = ( − 1 ) inv ( σ ) \operatorname{sgn}(\sigma\cdot\Delta)=\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)} sgn(σ⋅Δ)=sgn(σ)=(−1)inv(σ)。
证明一（范德蒙德多项式的交错性） ： Δ = ∏ i < j ( x j − x i ) \Delta=\prod_{i<j}(x_j-x_i) Δ=∏i<j(xj−xi) 关于变量 { x v } \{x_v\} {xv} 是交错多项式 。交换两变量 x r ↔ x s x_r\leftrightarrow x_s xr↔xs 时：因子 ( x s − x r ) (x_s-x_r) (xs−xr) 自身变号一次；其余含 x r x_r xr 或 x s x_s xs（但非两者）的因子成对互换 （ ( x k − x r ) ↔ ( x k − x s ) (x_k-x_r)\leftrightarrow(x_k-x_s) (xk−xr)↔(xk−xs) 等），互换不改符号；不含二者者不变。净效应恰为 − 1 -1 −1，故对任一对换 τ \tau τ 有 τ ⋅ Δ = − Δ \tau\cdot\Delta=-\Delta τ⋅Δ=−Δ。把 σ \sigma σ 分解为 k k k 个对换之积， σ ⋅ Δ = ( − 1 ) k Δ \sigma\cdot\Delta=(-1)^k\Delta σ⋅Δ=(−1)kΔ；而 sgn ( σ ) = ( − 1 ) k \operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^k sgn(σ)=(−1)k。∴ σ ⋅ Δ = sgn ( σ ) ⋅ Δ \sigma\cdot\Delta=\operatorname{sgn}(\sigma)\cdot\Delta σ⋅Δ=sgn(σ)⋅Δ。 □ \square □
等价的更简论证： Δ \Delta Δ 在 x r = x s x_r=x_s xr=xs 时为零 ⇒ ( x s − x r ) ∣ Δ \Rightarrow(x_s-x_r)\mid\Delta ⇒(xs−xr)∣Δ，且 Δ \Delta Δ 对每个变量是一次的；故交换 x r , x s x_r,x_s xr,xs 只能整体乘以 − 1 -1 −1（既不能是别的常数，否则 Δ \Delta Δ 在该交换下非一阶行为），即 τ ⋅ Δ = − Δ \tau\cdot\Delta=-\Delta τ⋅Δ=−Δ。
证明二（与 Q1 判别式 D D D 的因子双射） ： σ ⋅ Δ \sigma\cdot\Delta σ⋅Δ 的因子集为 { x σ ( a ) − x σ ( b ) : b < a } \{x_{\sigma(a)}-x_{\sigma(b)}:b<a\} {xσ(a)−xσ(b):b<a}。令 i = b , j = a i=b,\,j=a i=b,j=a，则 b < a ⇔ i < j b<a\Leftrightarrow i<j b<a⇔i<j，因子变为 x σ ( j ) − x σ ( i ) = x p j − x p i x_{\sigma(j)}-x_{\sigma(i)}=x_{p_j}-x_{p_i} xσ(j)−xσ(i)=xpj−xpi（ p i = σ ( i ) p_i=\sigma(i) pi=σ(i)）。这恰是 Q1 的 D = ∏ i < j ( p j − p i ) D=\prod_{i<j}(p_j-p_i) D=∏i<j(pj−pi) 的因子集（赋值 x p i = p i x_{p_i}=p_i xpi=pi 即数值相等）。故 σ ⋅ Δ ≡ D \sigma\cdot\Delta\equiv D σ⋅Δ≡D，而 §4 已证 sgn ( D ) = ( − 1 ) inv ( p ) \operatorname{sgn}(D)=(-1)^{\operatorname{inv}(p)} sgn(D)=(−1)inv(p)。 □ \square □
两证法共振：证一用群作用 + 交错性（纯群论），证二直接落到 Q1 的 D D D（计算视角）。
12.3 与 Q1 的等价
记 p i = σ ( i ) p_i=\sigma(i) pi=σ(i)（一行形式）。则
σ ⋅ Δ ≡ D = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( p j − p i ) = sgn ( σ ) ⋅ Δ , Δ > 0 \sigma\cdot\Delta \;\equiv\; D \;=\; \prod_{1\le i<j\le n}(p_j-p_i) \;=\; \operatorname{sgn}(\sigma)\cdot\Delta,\qquad \Delta>0 σ⋅Δ≡D=1≤i<j≤n∏(pj−pi)=sgn(σ)⋅Δ,Δ>0
故本方法与 §2--§4 判别式给出同一数 D D D、同一符号、同一结论，只是构造路径不同：
| Q1（位置序视角） | 本节（群作用视角） | |
|---|---|---|
| 起点 | 直接按位置序写带符号乘积 D D D | 先写恒正基准 Δ \Delta Δ（按下标序） |
| 顺序信息何时进入 | 构造时（取 p j − p i p_j-p_i pj−pi） | 作用时（ σ \sigma σ 改写变量） |
| 奇偶判据 | sgn ( D ) \operatorname{sgn}(D) sgn(D) | sgn ( σ ⋅ Δ ) \operatorname{sgn}(\sigma\cdot\Delta) sgn(σ⋅Δ) |
| 数值 | D D D | σ ⋅ Δ ≡ D \sigma\cdot\Delta\equiv D σ⋅Δ≡D |
12.4 应用例子
例 1： σ = ( 3 , 2 , 1 ) \sigma=(3,2,1) σ=(3,2,1)
Δ = ( x 3 − x 2 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 2 − x 1 ) \Delta=(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1) Δ=(x3−x2)(x3−x1)(x2−x1)。 σ ( 1 ) = 3 , σ ( 2 ) = 2 , σ ( 3 ) = 1 \sigma(1)=3,\sigma(2)=2,\sigma(3)=1 σ(1)=3,σ(2)=2,σ(3)=1，作用：
σ ⋅ Δ = ( x σ ( 3 ) − x σ ( 2 ) ⏟ x 1 − x 2 ) ( x σ ( 3 ) − x σ ( 1 ) ⏟ x 1 − x 3 ) ( x σ ( 2 ) − x σ ( 1 ) ⏟ x 2 − x 3 ) \sigma\cdot\Delta=(\underbrace{x_{\sigma(3)}-x_{\sigma(2)}}{x_1-x_2})(\underbrace{x{\sigma(3)}-x_{\sigma(1)}}{x_1-x_3})(\underbrace{x{\sigma(2)}-x_{\sigma(1)}}_{x_2-x_3}) σ⋅Δ=(x1−x2 xσ(3)−xσ(2))(x1−x3 xσ(3)−xσ(1))(x2−x3 xσ(2)−xσ(1))
取赋值 x k = k x_k=k xk=k 读符号： ( 1 − 2 ) ( 1 − 3 ) ( 2 − 3 ) = ( − 1 ) ( − 2 ) ( − 1 ) = − 2 < 0 (1-2)(1-3)(2-3)=(-1)(-2)(-1)=-2<0 (1−2)(1−3)(2−3)=(−1)(−2)(−1)=−2<0 ⇒ 奇排列 ✓
注意：原本恒正的 Δ \Delta Δ（值 + 2 +2 +2）经 σ \sigma σ 作用后变为 − 2 -2 −2。负号来自作用，而非书写------这正呼应 §4"取负因子计数"的机制：3 个因子中，凡 σ ( a ) < σ ( b ) \sigma(a)<\sigma(b) σ(a)<σ(b)（ a > b a>b a>b）者翻负，本例 3 个全翻（逆序数 3）。
例 2： σ = p = ( 3 , 5 , 1 , 6 , 2 , 4 ) \sigma=p=(3,5,1,6,2,4) σ=p=(3,5,1,6,2,4)（§9 的奇排列）
15 个因子 ( x σ ( a ) − x σ ( b ) ) (x_{\sigma(a)}-x_{\sigma(b)}) (xσ(a)−xσ(b))（ a > b a>b a>b）中，为负的恰是满足 σ ( a ) < σ ( b ) \sigma(a)<\sigma(b) σ(a)<σ(b) 的对------其计数 = inv ( σ ) = 7 =\operatorname{inv}(\sigma)=7 =inv(σ)=7（§9.2 方法一已数）。故
sgn ( σ ⋅ Δ ) = ( − 1 ) 7 = − 1 ⇒ σ ⋅ Δ < 0 ⇒ 奇排列 ✓ \operatorname{sgn}(\sigma\cdot\Delta)=(-1)^7=-1\;\Rightarrow\;\sigma\cdot\Delta<0\;\Rightarrow\;\text{奇排列}\;\checkmark sgn(σ⋅Δ)=(−1)7=−1⇒σ⋅Δ<0⇒奇排列✓
数值上 σ ⋅ Δ ≡ D = − 34560 \sigma\cdot\Delta\equiv D=-34560 σ⋅Δ≡D=−34560（负号与 §9.2 方法二所得 sgn ( D ) = − 1 \operatorname{sgn}(D)=-1 sgn(D)=−1 一致；数值 − 34560 -34560 −34560 见 §9 全式计算）。
例 3： σ = q = ( 2 , 4 , 6 , 1 , 3 , 5 ) \sigma=q=(2,4,6,1,3,5) σ=q=(2,4,6,1,3,5)（§10 的偶排列）
同样计数：负因子数 = inv ( q ) = 6 =\operatorname{inv}(q)=6 =inv(q)=6， sgn ( σ ⋅ Δ ) = ( − 1 ) 6 = + 1 \operatorname{sgn}(\sigma\cdot\Delta)=(-1)^6=+1 sgn(σ⋅Δ)=(−1)6=+1 ⇒ 偶排列 ✓； σ ⋅ Δ ≡ D = + 34560 \sigma\cdot\Delta\equiv D=+34560 σ⋅Δ≡D=+34560。
12.5 与 §8 的关系收束
§8 的静态比值与 §12 的动态作用是同一事实两面：
D D 0 = σ ⋅ Δ Δ = sgn ( σ ) \boxed{\;\frac{D}{D_0} \;=\; \frac{\sigma\cdot\Delta}{\Delta} \;=\; \operatorname{sgn}(\sigma)\;} D0D=Δσ⋅Δ=sgn(σ)
- §8：把现成 D D D 除以升序基准 D 0 D_0 D0，读比值符号；
- §12：把 σ \sigma σ 作用 到基准 Δ \Delta Δ 上，读作用后符号。
后者凸显"排列的符号是群在范德蒙德多项式上的作用特征"，即 σ ↦ ( Δ ↦ σ ⋅ Δ ) \sigma\mapsto(\Delta\mapsto\sigma\cdot\Delta) σ↦(Δ↦σ⋅Δ) 是 S n → { ± 1 } S_n\to\{\pm1\} Sn→{±1} 的符号同态。适用范围、失效条件同 §7 （元素须互异，否则 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0）。
