欧几里得算法--(密码学基础)

根基:gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

先举个例子吧,gcd(16,6)=gcd(6,4)=gcd(4,2)=gcd(2,0)=2

学习这个定理的时候我想了几个问题.

第一个问题:为什么求出的就一定是他们两个数的公约数?

这个问题很简单我们只需要通过几何来计较即可,从横向来看两个2可以组成一个4,而从纵向来看一个4和一个2可以组成一个6(2可以组成纵向长度),而4又可以由2组成,所以2可以组成6,而16由2个6和1个4组成,所以2可以组成横向长度.

第二个问题:问什么求出来的就一定是最大的公约数呢?

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b),这个公式是欧几里得算法的根基,只要证明了这个公式,我们就可以证明一定是最大公约数,还是上面的例子gcd(6,16)=gcd(6,16 mod 6)=gcd(6,4),我们可以通过下图即可证明.

我个人认为寻找最大公约数是一个动态的过程,首先16和6中有可能最大的公约数为6,则进行比较,但是16 mod 6 =4 显然不是,之后我们会将6除以2的得数3进行验证(除6之外最有可能的最大公约数),之后16 mod 3 =1,也不是之后便是6除以3=2了,16 mod 2 =0,得出最终结果.

而我们要证明的是gcd(6,16)=gcd(6,16 mod 6)=gcd(6,4) 也就是证明,gcd(a,b)=gcd(b,a mod b),由上图我们可知无论最有可能的最大公约数如何变化(上图为6,3,2),最终解释权始终在4的手上,因为无论最有可能的最大公约数如何变化他都是6个公约数,6和16中的6始终可以mod尽,关键在于4能不能和那个公约数mod尽,所以以此类推可以证明:gcd(a,b)=gcd(b,a mod b),以及一定是最大公约数.

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