【笔记】连续、可导、可微的概念解析

1. 连续性

连续表述1

函数 f(x) 在点 x₀ 处连续,如果满足以下三个条件:

  1. f(x₀) 存在
  2. lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{x \to x₀} f(x) limx→x0f(x) 存在
  3. lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x \to x₀} f(x) = f(x₀) limx→x0f(x)=f(x0)
连续表述2

令 Δ x = x − x 0 , Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) \Delta x=x-x_0,\Delta y=f(x)-f(x_0) Δx=x−x0,Δy=f(x)−f(x0)

函数 f(x) 在点 x₀ 处连续等价于 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y = 0 \lim_{\Delta x\to0} \Delta y=0 limΔx→0Δy=0

2. 导数的定义

对于函数 f(x),其在点 x₀ 处的导数定义为:

f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} f′(x0)=h→0limhf(x0+h)−f(x0)

或等价地:

f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)

如果这个极限存在,我们就说函数 f 在点 x₀ 处可导。

可导性与连续性

  • 如果函数在一点可导,那么它在该点必定连续。
  • 反之则不然,函数可以在一点连续但不可导。
可导 ⇒ 连续

如果函数在一点可导,那么它在该点必然连续。

证明:

根据可导条件, l i m x → 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = f ( x 0 ) ′ lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)' limx→0x−x0f(x)−f(x0)=f(x0)′

Δ y Δ x = f ( x 0 ) ′ + α \frac{\Delta y}{\Delta x}=f(x_0)'+\alpha ΔxΔy=f(x0)′+α

Δ y = ( f ( x 0 ) ′ + α ) Δ x {\Delta y}=(f(x_0)'+\alpha)\Delta x Δy=(f(x0)′+α)Δx

Δ x → 0 , Δ y → 0 \Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0 Δx→0,Δy→0

连续 ⇏ 可导

函数可以在一点连续但不可导。

例子:f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导。

3. 微分的定义

对于函数 y = f(x),如果在点 x 处的增量 Δy 可以表示为:

Δy = A·Δx + o(Δx)

其中 A 是不依赖于 Δx 的常数,o(Δx) 是比 Δx 高阶的无穷小,则称函数 f(x) 在点 x 处可微,A·Δx 称为函数 f(x) 在点 x 处的微分,记作 dy。

由上面的 Δ y = ( f ( x 0 ) ′ + α ) Δ x 可以发现, {\Delta y}=(f(x_0)'+\alpha)\Delta x可以发现, Δy=(f(x0)′+α)Δx可以发现,微分 dy 的数学表达式为:

dy = f'(x)dx

其中 f'(x) 是函数 f(x) 在点 x 处的导数,dx 是自变量 x 的微分(可以理解为 x 的微小增量)

可微 ⇔ 可导(对于单变量函数)

对于单变量函数,可微性和可导性是等价的。如果函数在一点可微,那么它在该点必然可导,反之亦然。

4.偏导数存在

1 定义

对于函数 f(x, y),在点 (x₀, y₀) 处对 x 的偏导数存在,如果下列极限存在:

∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) h \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} ∂x∂f(x0,y0)=h→0limhf(x0+h,y0)−f(x0,y0)

类似地定义对 y 的偏导数。

2 几何意义

偏导数存在意味着函数在该点沿坐标轴方向的切线存在。

3 注意事项

  • 偏导数的存在并不保证函数在该点连续或可微。
  • 函数可以在某点的所有偏导数都存在,但在该点不连续。

偏导数存在:

  • 意味着函数在某点沿坐标轴方向的变化率存在。
  • 不保证函数在该点连续或可微。
  • 可以通过计算定义中的极限来验证。
    偏导数存在但不连续的例子

考虑函数:

f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} f(x,y)={x2+y2 xy0(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)

  • 在 (0,0) 处,∂f/∂x 和 ∂f/∂y 都存在(等于0)。
  • 但是,当 (x,y) 接近 (0,0) 时,偏导数的极限不存在。
  • 因此,偏导数在 (0,0) 处存在但不连续。

5. 偏导数的连续性

1 定义

如果函数 f(x, y) 的偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 在点 (x₀, y₀) 的某个邻域内都存在,且在 (x₀, y₀) 处连续,则称偏导数在 (x₀, y₀) 处连续。

2 数学表达

lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ∂ f ∂ x ( x , y ) = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x,y)→(x0,y0)lim∂x∂f(x,y)=∂x∂f(x0,y0)
lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ∂ f ∂ y ( x , y ) = ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (x,y)→(x0,y0)lim∂y∂f(x,y)=∂y∂f(x0,y0)

偏导数连续:

  • 意味着偏导数函数本身是连续的。
  • 是函数可微的充分条件(但不是必要条件)。
  • 保证混合偏导数的相等性。

6. 多变量函数的情况

对于多变量函数:

  • 可微 ⇒ 偏导数存在
  • 偏导数连续 ⇒ 可微⇒ 连续
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