1. 连续性
连续表述1
函数 f(x) 在点 x₀ 处连续，如果满足以下三个条件：
- f(x₀) 存在
- lim x → x 0 f ( x ) \lim_{x \to x₀} f(x) limx→x0f(x) 存在
- lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim_{x \to x₀} f(x) = f(x₀) limx→x0f(x)=f(x0)
连续表述2
令 Δ x = x − x 0 , Δ y = f ( x ) − f ( x 0 ) \Delta x=x-x_0,\Delta y=f(x)-f(x_0) Δx=x−x0,Δy=f(x)−f(x0)
函数 f(x) 在点 x₀ 处连续等价于 lim Δ x → 0 Δ y = 0 \lim_{\Delta x\to0} \Delta y=0 limΔx→0Δy=0
2. 导数的定义
对于函数 f(x)，其在点 x₀ 处的导数定义为：
f ′ ( x 0 ) = lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} f′(x0)=h→0limhf(x0+h)−f(x0)
或等价地：
f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
如果这个极限存在，我们就说函数 f 在点 x₀ 处可导。
可导性与连续性
- 如果函数在一点可导，那么它在该点必定连续。
- 反之则不然，函数可以在一点连续但不可导。
可导 ⇒ 连续
如果函数在一点可导，那么它在该点必然连续。
证明：
根据可导条件， l i m x → 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = f ( x 0 ) ′ lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)' limx→0x−x0f(x)−f(x0)=f(x0)′
Δ y Δ x = f ( x 0 ) ′ + α \frac{\Delta y}{\Delta x}=f(x_0)'+\alpha ΔxΔy=f(x0)′+α
Δ y = ( f ( x 0 ) ′ + α ) Δ x {\Delta y}=(f(x_0)'+\alpha)\Delta x Δy=(f(x0)′+α)Δx
Δ x → 0 , Δ y → 0 \Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0 Δx→0,Δy→0
连续 ⇏ 可导
函数可以在一点连续但不可导。
例子：f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导。
3. 微分的定义
对于函数 y = f(x)，如果在点 x 处的增量 Δy 可以表示为：
Δy = A·Δx + o(Δx)
其中 A 是不依赖于 Δx 的常数，o(Δx) 是比 Δx 高阶的无穷小，则称函数 f(x) 在点 x 处可微，A·Δx 称为函数 f(x) 在点 x 处的微分，记作 dy。
由上面的 Δ y = ( f ( x 0 ) ′ + α ) Δ x 可以发现， {\Delta y}=(f(x_0)'+\alpha)\Delta x可以发现， Δy=(f(x0)′+α)Δx可以发现，微分 dy 的数学表达式为：
dy = f'(x)dx
其中 f'(x) 是函数 f(x) 在点 x 处的导数，dx 是自变量 x 的微分（可以理解为 x 的微小增量）
可微 ⇔ 可导（对于单变量函数）
对于单变量函数，可微性和可导性是等价的。如果函数在一点可微，那么它在该点必然可导，反之亦然。
4.偏导数存在
1 定义
对于函数 f(x, y)，在点 (x₀, y₀) 处对 x 的偏导数存在，如果下列极限存在：
∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) = lim h → 0 f ( x 0 + h , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) h \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} ∂x∂f(x0,y0)=h→0limhf(x0+h,y0)−f(x0,y0)
类似地定义对 y 的偏导数。
2 几何意义
偏导数存在意味着函数在该点沿坐标轴方向的切线存在。
3 注意事项
- 偏导数的存在并不保证函数在该点连续或可微。
- 函数可以在某点的所有偏导数都存在，但在该点不连续。
偏导数存在：
- 意味着函数在某点沿坐标轴方向的变化率存在。
- 不保证函数在该点连续或可微。
- 可以通过计算定义中的极限来验证。
偏导数存在但不连续的例子
考虑函数：
f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} f(x,y)={x2+y2 xy0(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)
- 在 (0,0) 处，∂f/∂x 和 ∂f/∂y 都存在（等于0）。
- 但是，当 (x,y) 接近 (0,0) 时，偏导数的极限不存在。
- 因此，偏导数在 (0,0) 处存在但不连续。
5. 偏导数的连续性
1 定义
如果函数 f(x, y) 的偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 在点 (x₀, y₀) 的某个邻域内都存在，且在 (x₀, y₀) 处连续，则称偏导数在 (x₀, y₀) 处连续。
2 数学表达
lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ∂ f ∂ x ( x , y ) = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x,y)→(x0,y0)lim∂x∂f(x,y)=∂x∂f(x0,y0)
lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) ∂ f ∂ y ( x , y ) = ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (x,y)→(x0,y0)lim∂y∂f(x,y)=∂y∂f(x0,y0)
偏导数连续：
- 意味着偏导数函数本身是连续的。
- 是函数可微的充分条件（但不是必要条件）。
- 保证混合偏导数的相等性。
6. 多变量函数的情况
对于多变量函数：
- 可微 ⇒ 偏导数存在
- 偏导数连续 ⇒ 可微⇒ 连续