4. 微分
4.4 复合函数求导法则及其应用
【例4.4.9】向斜向上方向抛一个物体，当 t = 0 t=0 t=0时，水平速度与垂直向上的速度分别为 v 1 v_1 v1和 v 2 v_2 v2，问在什么时刻速度的方向是水平的？
【解】该物体画出来的轨迹是抛物线
水平方向运动轨迹 x = v 1 t x=v_1t x=v1t，垂直方向运动轨迹 y = v 2 t − 1 2 g t 2 y=v_2t-\frac{1}{2}gt^2 y=v2t−21gt2
tan θ = k = d y d x = v 2 − g t v 1 \tan \theta=k=\frac{dy}{dx}=\frac{v_2-gt}{v_1} tanθ=k=dxdy=v1v2−gt
当 θ = 0 \theta = 0 θ=0时，速度是水平的，则 v 2 − g t v 1 = 0 \frac{v_2-gt}{v_1}=0 v1v2−gt=0，亦即 t = v 2 g t=\frac{v_2}{g} t=gv2
函数：显函数表示，隐函数表示，参数表示
【例】 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1，对该椭圆方程求导，看看用哪种方式更方便。
【解】（1）显函数表示： y = ± b a a 2 − x 2 y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} y=±aba2−x2 ， d y d x = ± b a ⋅ − 2 x 2 a 2 − x 2 = − b 2 a 2 ⋅ x ± b a a 2 − x 2 = − b 2 a 2 ⋅ x y \frac{dy}{dx}=\pm\frac{b}{a}\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{y} dxdy=±ab⋅2a2−x2 −2x=−a2b2⋅±aba2−x2 x=−a2b2⋅yx
注意一点， y = 0 y=0 y=0时导数不存在，导数无穷大，反映到切线的斜率上面，这两点并不是没有切线，只不过切线斜率是无穷大（垂直于 x x x轴）
（2）参数表示： { x = a cos t y = b sin t , 0 ≤ t ≤ 2 π \left\{\begin{matrix} x=a\cos t \\ y=b\sin t \end{matrix}\right.,0\le t \le 2\pi {x=acosty=bsint,0≤t≤2π
d y d x = b cos t − a sin t = b 2 a cos t − a 2 b sin t = − b 2 a 2 ⋅ x y \frac{dy}{dx}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=\frac{b^2a\cos t}{-a^2b\sin t}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{y} dxdy=−asintbcost=−a2bsintb2acost=−a2b2⋅yx
（3）隐函数表示： x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1，对方程两边同时对 x x x求微分，得 1 a 2 2 x d x + 1 b 2 2 y d y = 0 \frac{1}{a^2}2xdx+\frac{1}{b^2}2ydy=0 a212xdx+b212ydy=0，即 d y d x = − b 2 a 2 ⋅ x y \frac{dy}{dx}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{y} dxdy=−a2b2⋅yx
对方程两边同时对 x x x求导得：
1 a 2 2 x + 1 b 2 2 y y ′ = 0 \frac{1}{a^2}2x+\frac{1}{b^2}2yy'=0 a212x+b212yy′=0，即 y ′ ( x ) = − b 2 a 2 ⋅ x y y'(x)=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x}{y} y′(x)=−a2b2⋅yx