课程视频剪辑得太抽象了，一节课不能完整学完，拆的零零散散得。
3. 线性空间
3.19 满秩矩阵
【推论4】设 rank ( A ) = r \text{rank}(\boldsymbol{A})=r rank(A)=r，则 A \boldsymbol{A} A的不为0的 r r r阶子式所在的列（行）是 A \boldsymbol{A} A的列（行）向量组的一个极大线性无关组。
【证】这个 r r r阶子式的列向量组线性无关。从而它们的延伸组 α j 1 , . . α j r \boldsymbol\alpha_{j_1},..\boldsymbol\alpha_{j_r} αj1,..αjr也线性无关。
又由于 rank ( A ) = r \text{rank}(\boldsymbol{A})=r rank(A)=r，因此 α j 1 , . . α j r \boldsymbol\alpha_{j_1},..\boldsymbol\alpha_{j_r} αj1,..αjr就是 A \boldsymbol{A} A的列向量组的一个极大线性无关组。
【定义2】 n n n阶矩阵 A \boldsymbol{A} A的秩等于 n n n，则 A \boldsymbol{A} A称为满秩矩阵 。
【推论5】 n n n阶矩阵 A \boldsymbol{A} A满秩 ⇔ rank ( A ) = n ⇔ A \Leftrightarrow \text{rank}(A)=n\Leftrightarrow \boldsymbol{A} ⇔rank(A)=n⇔A的不为0子式的最高阶数为 n ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 n\Leftrightarrow|\boldsymbol{A}|\ne 0 n⇔∣A∣=0
3.20 线性方程组有解判别定理
【定理1】数域 K \textbf{K} K上 n n n元线性方程组有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔增广矩阵的秩 rank ( A ~ ) = \text{rank}(\tilde{\boldsymbol{A}})= rank(A~)=系数矩阵的秩 rank ( A ) \text{rank}(\boldsymbol{A}) rank(A)
【证】记矩阵 A = ( α 1 , . . . , α n ) \boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n}) A=(α1,...,αn)增广矩阵 A ~ = ( α 1 , . . . , α n , β ) \tilde{\boldsymbol{A}}=(\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n},\boldsymbol{\beta}) A~=(α1,...,αn,β)，
x 1 α 1 + . . . + x n α n = β ⇔ β ∈ < α 1 , . . . , α n > ⇔ α 1 , . . . , α n , β ∈ < α 1 , . . . , α n > ⇔ < α 1 , . . . , α n , β > ⊆ < α 1 , . . . , α n > 且 < α 1 , . . . , α n > ⊆ < α 1 , . . . , α n , β > （小的是大的子空间） ⇔ < α 1 , . . . , α n > = < α 1 , . . . , α n , β > ⇔ dim < α 1 , . . . , α n , β = dim < α 1 , . . . , α n > （子空间维数与原空间维数相等，所以子空间等于整个空间） ⇔ rank ( A ~ ) = rank ( A ) x_{1}\boldsymbol{\alpha}{1}+...+x{n}\boldsymbol{\alpha}{n}=\boldsymbol{\beta}\Leftrightarrow\boldsymbol{\beta}\in<\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n}>\Leftrightarrow\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n},\boldsymbol{\beta}\in<\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n}>\Leftrightarrow<\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n},\boldsymbol{\beta}>\subseteq <\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n}>且<\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n}>\subseteq <\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n},\boldsymbol{\beta}>（小的是大的子空间）\Leftrightarrow <\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n}>=<\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n},\boldsymbol{\beta}>\Leftrightarrow\dim<\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}{n},\boldsymbol{\beta}=\dim<\boldsymbol{\alpha}{1},...,\boldsymbol{\alpha}_{n}>（子空间维数与原空间维数相等，所以子空间等于整个空间）\Leftrightarrow\text{rank}(\tilde{\boldsymbol{A}})=\text{rank}(\boldsymbol{A}) x1α1+...+xnαn=β⇔β∈<α1,...,αn>⇔α1,...,αn,β∈<α1,...,αn>⇔<α1,...,αn,β>⊆<α1,...,αn>且<α1,...,αn>⊆<α1,...,αn,β>（小的是大的子空间）⇔<α1,...,αn>=<α1,...,αn,β>⇔dim<α1,...,αn,β=dim<α1,...,αn>（子空间维数与原空间维数相等，所以子空间等于整个空间）⇔rank(A~)=rank(A)
有解时， A ~ \tilde{\boldsymbol{A}} A~经过初等行变换化成的阶梯型矩阵的非0行的个数r = rank ( A ~ ) = rank ( A ) = =\text{rank}(\tilde{\boldsymbol{A}})=\text{rank}(\boldsymbol{A})= =rank(A~)=rank(A)=未知量个数 n n n，当 rank ( A ) = \text{rank}(\boldsymbol{A})= rank(A)=未知量个数 n n n的时候，方程组有唯一解 ；当 rank ( A ) < \text{rank}(\boldsymbol{A})< rank(A)<未知量个数 n n n的时候，方程组有无穷多个解 。
特别地
【推论1】数域 K \textbf{K} K上 n n n元齐次线性方程组有非0解 ⇔ rank ( A ) < \Leftrightarrow\text{rank}(\boldsymbol{A})< ⇔rank(A)<未知量个数 n n n；数域 K \textbf{K} K上 n n n元齐次线性方程组有唯一0解 ⇔ rank ( A ) = \Leftrightarrow\text{rank}(\boldsymbol{A})= ⇔rank(A)=未知量个数 n n n
3.21 齐次线性方程组解集的结构
数域 K \textbf{K} K上 n n n元齐次线性方程组
x 1 α 1 + . . . + x n α n = 0 x_{1}\boldsymbol{\alpha}{1}+...+x{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{0} x1α1+...+xnαn=0...(1)
的解集记作 W \textbf{W} W
设(1)有非0解， W ⊆ K n \textbf{W}\subseteq\textbf{K}^{n} W⊆Kn（非空子集）
【性质1】若 η , δ ∈ W \boldsymbol\eta,\boldsymbol\delta\in\textbf{W} η,δ∈W，则 η + δ ∈ W \boldsymbol\eta + \boldsymbol\delta \in\textbf{W} η+δ∈W
【证】记 η = ( c 1 , . . . , c n ) ′ , δ = ( d 1 , . . . , d n ) ′ \boldsymbol\eta=(c_1,...,c_n)',\boldsymbol\delta=(d_1,...,d_n)' η=(c1,...,cn)′,δ=(d1,...,dn)′
由于它们两个都是方程组的解，所以：
c 1 α 1 + . . . + c n α n = 0 c_{1}\boldsymbol{\alpha}{1}+...+c{n}\boldsymbol{\alpha}{n}=\boldsymbol{0} c1α1+...+cnαn=0
d 1 α 1 + . . . + d n α n = 0 d{1}\boldsymbol{\alpha}{1}+...+d{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{0} d1α1+...+dnαn=0将上面式子相加得到
( c 1 + d 1 ) α 1 + . . . + ( c n + d n ) α n = 0 (c_1+d_1)\boldsymbol{\alpha}{1}+...+(c_n+d_n)\boldsymbol{\alpha}{n}=\boldsymbol{0} (c1+d1)α1+...+(cn+dn)αn=0则 η + δ = ( c 1 + d 1 , . . . , c n + d n ) ′ \boldsymbol\eta + \boldsymbol\delta =(c_1+d_1,...,c_n+d_n)' η+δ=(c1+d1,...,cn+dn)′也是方程组的解，即 η + δ ∈ W \boldsymbol\eta + \boldsymbol\delta \in\textbf{W} η+δ∈W
所以对加法封闭，证毕。
【性质2】若 η ∈ W , k ∈ K \boldsymbol\eta\in\textbf{W},k\in\textbf{K} η∈W,k∈K，则 k η ∈ W k\boldsymbol\eta \in\textbf{W} kη∈W
【证】记 η = ( c 1 , . . . , c n ) ′ \boldsymbol\eta=(c_1,...,c_n)' η=(c1,...,cn)′，由于 η \boldsymbol\eta η是方程组的解，所以
c 1 α 1 + . . . + c n α n = 0 c_{1}\boldsymbol{\alpha}{1}+...+c{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{0} c1α1+...+cnαn=0上面式子左右两边同时乘 k k k得到
k c 1 α 1 + . . . + k c n α n = 0 kc_{1}\boldsymbol{\alpha}{1}+...+kc{n}\boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{0} kc1α1+...+kcnαn=0即 k η ∈ W k\boldsymbol\eta \in\textbf{W} kη∈W
所以(1)的解集 W \textbf{W} W是 K n \textbf{K}^n Kn的子空间，称 W \textbf{W} W为齐次线性方程组(1)的解空间 。
当(1)有非零解时，求 W \textbf{W} W的基和维数。（未知数个数为 n n n）
rank ( A ) = r < n \text{rank}(\boldsymbol{A})=r<n rank(A)=r<n
A \boldsymbol{A} A经过初等行变换化成阶梯型矩阵 J \boldsymbol{J} J，于是 J \boldsymbol{J} J有 r r r个非0行，即 J \boldsymbol{J} J有 r r r个主元，不妨设 r r r个主元它们分别在前 r r r列，从而齐次线性方程组(1)的一般解为 { x 1 = − b 1 , r + 1 x r + 1 − b 1 , r + 2 x r + 2 − . . . − b 1 , n x n ⋮ x r = − b r , r + 1 x r + 1 − b r , r + 2 x r + 2 − . . . − b r , n x n \left\{\begin{array}{c} x_1 & = & -b_{1,r+1}x_{r+1}-b_{1,r+2}x_{r+2}-...-b_{1,n}x_{n} \\ \vdots \\ x_r & = & -b_{r,r+1}x_{r+1}-b_{r,r+2}x_{r+2}-...-b_{r,n}x_{n} \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧x1⋮xr==−b1,r+1xr+1−b1,r+2xr+2−...−b1,nxn−br,r+1xr+1−br,r+2xr+2−...−br,nxn，让自由未知量 x r + 1 , . . . , x n x_{r+1},...,x_n xr+1,...,xn取 n − r n-r n−r组数 ( 1 0 ⋮ 0 ) , ( 0 1 ⋮ 0 ) , ⋯ , ( 0 0 ⋮ 1 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} 10⋮0 , 01⋮0 ,⋯, 00⋮1 ...(2)，得到方程组(1)的解：
η 1 = ( − b 1 , r + 1 ⋮ − b r , r + 1 1 0 ⋮ 0 ) , η 2 = ( − b 1 , r + 2 ⋮ − b r , r + 2 0 1 ⋮ 0 ) , ⋯ , η n − r = ( − b 1 , n ⋮ − b r , n 0 1 ⋮ 0 ) \boldsymbol\eta_1=\begin{pmatrix} -b_{1,r+1}\\ \vdots\\ -b_{r,r+1}\\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\boldsymbol\eta_2=\begin{pmatrix} -b_{1,r+2}\\ \vdots\\ -b_{r,r+2}\\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix},\cdots,\boldsymbol\eta_{n-r}=\begin{pmatrix} -b_{1,n}\\ \vdots\\ -b_{r,n}\\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} η1= −b1,r+1⋮−br,r+110⋮0 ,η2= −b1,r+2⋮−br,r+201⋮0 ,⋯,ηn−r= −b1,n⋮−br,n01⋮0 ...(3)
易看出向量组(2)线性无关（拼成的矩阵的行列式不得0），从而其延伸组 η 1 , η 2 . . . , η n − r \boldsymbol\eta_1,\boldsymbol\eta_2...,\boldsymbol\eta_n-r η1,η2...,ηn−r也线性无关，任取 W \textbf{W} W的一个解向量 η = ( c 1 ⋮ c r c r + 1 ⋮ c n ) \boldsymbol\eta=\begin{pmatrix} c_1\\ \vdots \\ c_r \\ c_{r+1} \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} η= c1⋮crcr+1⋮cn ，由一般解公式得 c 1 = − b 1 , r + 1 c r + 1 − . . . − b 1 n c n , . . . , c r = − b r , r + 1 c r + 1 − . . . − b r n c n c_1=-b_{1,r+1}c_{r+1}-...-b_{1n}c_n,...,c_r=-b_{r,r+1}c_{r+1}-...-b_{rn}c_n c1=−b1,r+1cr+1−...−b1ncn,...,cr=−br,r+1cr+1−...−brncn，从而 η = ( c 1 ⋮ c r c r + 1 ⋮ c n ) = ( − b 1 , r + 1 c r + 1 − . . . − b 1 n c n ⋮ − b r , r + 1 c r + 1 − . . . − b r n c n 1 ⋅ c r + 1 + . . . 0 ⋅ c n ⋮ 0 ⋅ c r + 1 + . . . + 1 ⋅ c n ) = c r + 1 ( − b 1 , r + 1 ⋮ − b r , r + 1 1 ⋮ 0 ) + . . . + c n ( − b 1 n ⋮ − b r n 0 ⋮ 1 ) = c r + 1 η 1 + . . . + c n η n − r \boldsymbol\eta=\begin{pmatrix} c_1\\ \vdots \\ c_r \\ c_{r+1} \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -b_{1,r+1}c_{r+1}-...-b_{1n}c_n\\ \vdots \\ -b_{r,r+1}c_{r+1}-...-b_{rn}c_n \\ 1\cdot c_{r+1}+...0\cdot c_n \\ \vdots \\ 0\cdot c_{r+1}+...+1\cdot c_{n} \end{pmatrix}=c_{r+1}\begin{pmatrix} -b_{1,r+1}\\ \vdots \\ -b_{r,r+1} \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}+...+c_{n}\begin{pmatrix} -b_{1n}\\ \vdots \\ -b_{rn} \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}=c_{r+1}\boldsymbol\eta_{1}+...+c_n\boldsymbol\eta_{n-r} η= c1⋮crcr+1⋮cn = −b1,r+1cr+1−...−b1ncn⋮−br,r+1cr+1−...−brncn1⋅cr+1+...0⋅cn⋮0⋅cr+1+...+1⋅cn =cr+1 −b1,r+1⋮−br,r+11⋮0 +...+cn −b1n⋮−brn0⋮1 =cr+1η1+...+cnηn−r
因此 η 1 , . . . , η n − r \boldsymbol\eta_{1},...,\boldsymbol\eta_{n-r} η1,...,ηn−r是 W \textbf{W} W的一个基，从而 dim W = n − r = n − rank ( A ) \dim \textbf{W}=n-r=n-\text{rank}(\boldsymbol{A}) dimW=n−r=n−rank(A)，于是就证明了下面的定理1
【定理1】数域 K \textbf{K} K上 n n n元齐次线性方程组(1)有非0解时，它的解空间 W \textbf{W} W的维数 dim W = \dim \textbf{W} = dimW=未知量个数 n − n- n−系数矩阵的秩 rank ( A ) \text{rank}(\boldsymbol{A}) rank(A)，习惯上把 W \textbf{W} W的基称为齐次线性方程组(1)的一个基础解系 。
设 η 1 , . . . , η n − r \boldsymbol\eta_{1},...,\boldsymbol\eta_{n-r} η1,...,ηn−r是齐次线性方程组(1)的一个基础解析，那么它的全部解为 k 1 η 1 + . . . + k n − r η n − r ∈ K k_1\boldsymbol\eta_{1}+...+k_{n-r}\boldsymbol\eta_{n-r}\in\textbf{K} k1η1+...+kn−rηn−r∈K
3.22 非齐次线性方程组解集的结构
数域 K \textbf{K} K上 n n n元非齐次线性方程组
x 1 α 1 + . . . + x n α n = β x_1\boldsymbol\alpha_1+...+x_n\boldsymbol\alpha_n=\boldsymbol\beta x1α1+...+xnαn=β
它的解集记作 U \textbf{U} U，考虑相应的齐次线性方程组
x 1 α 1 + . . . + x n α n = 0 x_1\boldsymbol\alpha_1+...+x_n\boldsymbol\alpha_n=\boldsymbol{0} x1α1+...+xnαn=0
它的解集记作 W \textbf{W} W
【性质1】若 γ = ( a 1 , . . . , a n ) ′ , δ = ( b 1 , . . , b n ) ′ ∈ U \boldsymbol\gamma=(a_1,...,a_n)',\boldsymbol\delta=(b_1,..,b_n)'\in\textbf{U} γ=(a1,...,an)′,δ=(b1,..,bn)′∈U，则 γ − δ = ( a 1 − b 1 , . . . , a n − b n ) ′ ∈ W \boldsymbol\gamma-\boldsymbol\delta=(a_1-b_1,...,a_n-b_n)'\in\textbf{W} γ−δ=(a1−b1,...,an−bn)′∈W，即非齐次线性方程组的解的差是对应的齐次线性方程组的解。
【证】 a 1 α 1 + . . . + a n α n = β a_1\boldsymbol\alpha_1+...+a_n\boldsymbol\alpha_n=\boldsymbol\beta a1α1+...+anαn=β
b 1 α 1 + . . . + b n α n = β b_1\boldsymbol\alpha_1+...+b_n\boldsymbol\alpha_n=\boldsymbol\beta b1α1+...+bnαn=β两个式子相减得
( a 1 − b 1 ) α 1 + . . . + ( a n − b n ) α n = 0 (a_1-b_1)\boldsymbol\alpha_1+...+(a_n-b_n)\boldsymbol\alpha_n=\boldsymbol{0} (a1−b1)α1+...+(an−bn)αn=0则 γ − δ = ( a 1 − b 1 , . . . , a n − b n ) ′ ∈ W \boldsymbol\gamma-\boldsymbol\delta=(a_1-b_1,...,a_n-b_n)'\in\textbf{W} γ−δ=(a1−b1,...,an−bn)′∈W
【性质2】若 γ = ( a 1 , . . . , a n ) ′ ∈ U , η = ( c 1 , . . . , c n ) ′ ∈ W \boldsymbol\gamma=(a_1,...,a_n)'\in\textbf{U},\boldsymbol\eta=(c_1,...,c_n)'\in\textbf{W} γ=(a1,...,an)′∈U,η=(c1,...,cn)′∈W，则 γ + η ∈ U \boldsymbol\gamma+\boldsymbol\eta\in\textbf{U} γ+η∈U，即齐次线性方程组的解加非齐次线性方程组的解等于非齐次线性方程组的解。
【证】 a 1 α 1 + . . . + a n α n = β a_1\boldsymbol\alpha_{1}+...+a_n\boldsymbol\alpha_{n}=\boldsymbol\beta a1α1+...+anαn=β
x 1 α 1 + . . . + c n α n = 0 x_1\boldsymbol\alpha_{1}+...+c_n\boldsymbol\alpha_{n}=\boldsymbol{0} x1α1+...+cnαn=0将上面两个式子相加得：
( a 1 + c 1 ) α 1 + . . . + ( a n + c n ) α n = β (a_1+c_1)\boldsymbol\alpha_{1}+...+(a_n+c_n)\boldsymbol\alpha_{n}=\boldsymbol\beta (a1+c1)α1+...+(an+cn)αn=β则 γ + η ∈ U \boldsymbol\gamma+\boldsymbol\eta\in\textbf{U} γ+η∈U
设 γ 0 ∈ U \boldsymbol\gamma_{0}\in\textbf{U} γ0∈U，称 γ 0 \boldsymbol\gamma_{0} γ0是非齐次线性方程组的一个特解 。
γ 0 + W : = { γ 0 + η ∣ η ∈ W } = U \boldsymbol\gamma_{0}+\textbf{W}:=\{\boldsymbol\gamma_{0}+\boldsymbol\eta|\boldsymbol\eta\in\textbf{W}\}=\textbf{U} γ0+W:={γ0+η∣η∈W}=U
任取 γ ∈ U , ( γ − γ 0 ) ∈ W \boldsymbol\gamma\in\textbf{U},(\boldsymbol\gamma-\boldsymbol\gamma_{0})\in\textbf{W} γ∈U,(γ−γ0)∈W记作 η \boldsymbol\eta η，从而 γ = γ 0 + η ∈ W \boldsymbol\gamma=\boldsymbol\gamma_0 + \boldsymbol\eta\in\textbf{W} γ=γ0+η∈W
于是就证明了
【定理1】数域 K \textbf{K} K上 n n n元非齐次线性方程组(1)的解集 U \textbf{U} U为 U = γ 0 + W \textbf{U}=\boldsymbol\gamma_0+\textbf{W} U=γ0+W，其中 γ 0 \boldsymbol\gamma_0 γ0是非齐次方程组的一个特解， W \textbf{W} W是齐次线性方程组的通解， U \textbf{U} U不是 K n \textbf{K}^{n} Kn的子空间，将 γ 0 \gamma_0 γ0称为 W \textbf{W} W型的一个线性流形 。（比如线性空间中，过顶点 O O O的平面是子空间，不过顶点 O O O的平面叫线性流形）或称为 W \textbf{W} W的一个陪基 。
设 W \textbf{W} W的一个基础解系 η 1 , . . . , η n − 1 \boldsymbol\eta_1,...,\boldsymbol\eta_{n-1} η1,...,ηn−1，则非齐次线性方程组(1)的全部解为 γ 0 + k 1 η 1 + . . . + k n − r η n − r \boldsymbol\gamma_0+k_1\boldsymbol\eta_1+...+k_{n-r}\boldsymbol\eta_{n-r} γ0+k1η1+...+kn−rηn−r，其中 k 1 , . . . , k n − r ∈ K k_1,...,k_{n-r}\in\textbf{K} k1,...,kn−r∈K， γ 0 \boldsymbol\gamma_0 γ0是非齐次线性方程组的一个特解 。
【解非齐次线性方程组，解对应的齐次方程组，然后再令自由未知量取0或1，最后解得齐次通解+非齐次特解的形式】
3.23 子空间的运算
过顶点 O O O的平面，平面 V 1 \textbf{V}_1 V1和 V 2 \textbf{V}_2 V2的交集是过 O O O点的一条直线 l l l.
设 V \textbf{V} V是数域 K \textbf{K} K上的任意一个线性空间， V 1 \textbf{V}_1 V1与 V 2 \textbf{V}_2 V2都是 V \textbf{V} V的子空间， V 1 ∩ V 2 \textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2 V1∩V2是 V \textbf{V} V的子空间。（子空间的交集还是子空间，满足 V 1 ∩ V 2 = V 2 ∩ V 1 \textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2=\textbf{V}_2\cap\textbf{V}_1 V1∩V2=V2∩V1，所以子空间的交满足交换律 ，由 ( V 1 ∩ V 2 ) ∩ V 3 = V 1 ∩ ( V 2 ∩ V 3 ) (\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2)\cap\textbf{V}_3=\textbf{V}_1\cap(\textbf{V}_2\cap\textbf{V}3) (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)，则子空间的交满足结合律 ，且若干个子空间的交还是子空间 ⋂ i = 1 s V i = V 1 ∩ V 2 ∩ . . . ∩ V s \bigcap\limits{i=1}^{s} \textbf{V}_i=\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2\cap...\cap\textbf{V}_s i=1⋂sVi=V1∩V2∩...∩Vs）
【证】 0 ∈ V 1 ∩ V 2 \boldsymbol{0}\in\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2 0∈V1∩V2
任取 α , β ∈ V 1 ∩ V 2 \boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2 α,β∈V1∩V2
由于 α , β ∈ V 1 ∩ V 2 \boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2 α,β∈V1∩V2，所以 α ∈ V 1 , β ∈ V 1 \boldsymbol\alpha\in\textbf{V}_1,\boldsymbol\beta\in\textbf{V}_1 α∈V1,β∈V1，所以 α + β ∈ V 1 \boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta\in\textbf{V}_1 α+β∈V1，同理 α + β ∈ V 2 \boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta\in\textbf{V}_2 α+β∈V2
从而 α + β ∈ V 1 ∩ V 2 \boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta\in\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2 α+β∈V1∩V2
所以 V 1 ∩ V 2 \textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2 V1∩V2对加法封闭；
任取 α ∈ V 1 ∩ V 2 , k ∈ K \boldsymbol\alpha\in\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2,k\in\textbf{K} α∈V1∩V2,k∈K则 k α ∈ V 1 ∩ V 2 k\boldsymbol\alpha\in\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2 kα∈V1∩V2
因此 V 1 ∩ V 2 \textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2 V1∩V2是 V \textbf{V} V的一个子空间。
平面 V 1 \textbf{V}_1 V1和平面 V 2 \textbf{V}_2 V2的并集不是子空间，因为：
图中， α 1 + α 2 \boldsymbol\alpha_{1}+\boldsymbol\alpha_2 α1+α2不在 V 1 \textbf{V}_1 V1和 V 2 \textbf{V}_2 V2平面上
设 V 1 \textbf{V}_1 V1和 V 2 \textbf{V}_2 V2都是 V \textbf{V} V的子空间，则 V 1 + V 2 : = { α 1 + α 1 ∣ α 1 ∈ V 1 , α 2 ∈ V 2 } \textbf{V}_1+\textbf{V}_2:=\{\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_1|\boldsymbol\alpha_1\in\textbf{V}_1,\boldsymbol\alpha_2\in\textbf{V}_2\} V1+V2:={α1+α1∣α1∈V1,α2∈V2}
由于 0 = 0 + 0 \boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0} 0=0+0，因此 0 ∈ V 1 + V 2 \boldsymbol{0}\in\textbf{V}_1+\textbf{V}_2 0∈V1+V2
任取 V 1 + V 2 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2 V1+V2的两个向量 α 1 + α 2 , β 1 + β 2 , α 1 , β 1 ∈ V 1 , α 2 , β 2 ∈ V 2 \boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\beta_1+\boldsymbol\beta_2,\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\beta_1\in\textbf{V}_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\beta_2\in\textbf{V}_2 α1+α2,β1+β2,α1,β1∈V1,α2,β2∈V2
则 ( α 1 + α 2 ) + ( β 1 + β 2 ) = ( α 1 + β 1 ) + ( α 2 + β 2 ) (\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2)+(\boldsymbol\beta_1+\boldsymbol\beta_2)=(\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\beta_1)+(\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\beta_2) (α1+α2)+(β1+β2)=(α1+β1)+(α2+β2)，
由于 α 1 + β 1 ∈ V 1 , α 2 + β 2 ∈ V 2 \boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\beta_1\in\textbf{V}_1,\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\beta_2\in\textbf{V}_2 α1+β1∈V1,α2+β2∈V2
则 ( α 1 + α 2 ) + ( β 1 + β 2 ) = ( α 1 + β 1 ) + ( α 2 + β 2 ) ∈ V 1 + V 2 (\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2)+(\boldsymbol\beta_1+\boldsymbol\beta_2)=(\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\beta_1)+(\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\beta_2)\in\textbf{V}_1+\textbf{V}_2 (α1+α2)+(β1+β2)=(α1+β1)+(α2+β2)∈V1+V2，所以对加法封闭
k ∈ K , k ( α 1 + α 2 ) = k α 1 + k α 2 ∈ V 1 + V 2 k\in\textbf{K},k(\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2)=k\boldsymbol\alpha_1+k\boldsymbol\alpha_2\in\textbf{V}_1+\textbf{V}_2 k∈K,k(α1+α2)=kα1+kα2∈V1+V2，所以对数量乘法封闭
因此 V 1 + V 2 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2 V1+V2是 V \textbf{V} V的一个子空间 ，把 V 1 + V 2 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2 V1+V2称为子空间 V 1 \textbf{V}_1 V1和 V 2 \textbf{V}_2 V2的和 。
同样地满足交换律，结合律。
- V 1 + V 2 = V 2 + V 1 \textbf{V}_1+\textbf{V}_2=\textbf{V}_2+\textbf{V}_1 V1+V2=V2+V1
- ( V 1 + V 2 ) + V 3 = V 1 + ( V 2 + V 3 ) (\textbf{V}_1+\textbf{V}_2)+\textbf{V}_3=\textbf{V}_1+(\textbf{V}_2+\textbf{V}_3) (V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)
- ∑ i = 1 s V i : = V 1 + V 2 + . . . + V s \sum\limits_{i=1}^{s}\textbf{V}_i:=\textbf{V}_1+\textbf{V}_2+...+\textbf{V}_s i=1∑sVi:=V1+V2+...+Vs也是 V \textbf{V} V的一个子空间。
【命题1】 < α 1 , . . . , α s > + < β 1 , . . . , β r > = k 1 α 1 + . . . + k s α s + l 1 β 1 + . . + l r β r = < α 1 , . . . , α s , β 1 , . . . , β r > <\boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_s>+<\boldsymbol\beta_1,...,\boldsymbol\beta_r>=k_1\boldsymbol\alpha_1+...+k_s\boldsymbol\alpha_s+l_1\boldsymbol\beta_1+..+l_r\boldsymbol\beta_r=<\boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_s,\boldsymbol\beta_1,...,\boldsymbol\beta_r> <α1,...,αs>+<β1,...,βr>=k1α1+...+ksαs+l1β1+..+lrβr=<α1,...,αs,β1,...,βr>
【定理2】【子空间的维数公式】设 V 1 , V 2 \textbf{V}_1,\textbf{V}_2 V1,V2都是 V \textbf{V} V的有限维 子空间， dim ( V 1 + V 2 ) = dim ( V 1 ) + dim ( V 2 ) − dim ( V 1 ∩ V 2 ) \dim(\textbf{V}_1+\textbf{V}_2)=\dim(\textbf{V}_1)+\dim(\textbf{V}_2)-\dim(\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2) dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)−dim(V1∩V2)
【证】 V 1 ∩ V 2 \textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2 V1∩V2取一个基 α 1 , . . . , α m \boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_m α1,...,αm，把它分别扩充成 V 1 \textbf{V}1 V1的一个基 α 1 , . . . , α m , β 1 , . . . , β n 1 − m \boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_m,\boldsymbol\beta_1,...,\boldsymbol\beta{n_1-m} α1,...,αm,β1,...,βn1−m；
V 2 \textbf{V}2 V2的一个基 α 1 , . . . , α m , γ 1 , . . . , γ n 2 − m \boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_m,\boldsymbol\gamma_1,...,\boldsymbol\gamma{n_2-m} α1,...,αm,γ1,...,γn2−m；其中 n 1 n_1 n1是 V 1 \textbf{V}_1 V1的维数， n 2 n_2 n2是 V 2 \textbf{V}_2 V2的维数则 V 1 + V 2 = < α 1 , . . . , α m , β 1 , . . . , β n 1 − m > + < α 1 , . . . , α m , γ 1 , . . . , γ n 2 − m > = < α 1 , . . . , α m , β 1 , . . . , β n 1 − m , γ 1 , . . . , γ n 2 − m > \textbf{V}1+\textbf{V}2=<\boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_m,\boldsymbol\beta_1,...,\boldsymbol\beta{n_1-m}>+<\boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_m,\boldsymbol\gamma_1,...,\boldsymbol\gamma{n_2-m}>=<\boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_m,\boldsymbol\beta_1,...,\boldsymbol\beta_{n_1-m},\boldsymbol\gamma_1,...,\boldsymbol\gamma_{n_2-m}> V1+V2=<α1,...,αm,β1,...,βn1−m>+<α1,...,αm,γ1,...,γn2−m>=<α1,...,αm,β1,...,βn1−m,γ1,...,γn2−m>
设 k 1 α 1 + . . . + k m α m + p 1 β 1 + . . . + p n 1 − m β n 1 − m + q 1 γ 1 + . . . + q n 2 − m γ n 2 − m = 0 k_1\boldsymbol\alpha_1+...+k_m\boldsymbol\alpha_m+p_1\boldsymbol\beta_1+...+p_{n_1-m}\boldsymbol\beta_{n_1-m}+q_1\boldsymbol\gamma_1+...+q_{n_2-m}\boldsymbol\gamma_{n_2-m}=\boldsymbol{0} k1α1+...+kmαm+p1β1+...+pn1−mβn1−m+q1γ1+...+qn2−mγn2−m=0...(1)
则 q 1 γ 1 + . . . + q n 2 − m γ n 2 − m = − k 1 α 1 − . . . − k m α m − p 1 β 1 − . . . − p n 1 − m β n 1 − m ∈ V 1 ∩ V 2 q_1\boldsymbol\gamma_1+...+q_{n_2-m}\boldsymbol\gamma_{n_2-m}=-k_1\boldsymbol\alpha_1-...-k_m\boldsymbol\alpha_m-p_1\boldsymbol\beta_1-...-p_{n_1-m}\boldsymbol\beta_{n_1-m}\in\textbf{V}1\cap\textbf{V}2 q1γ1+...+qn2−mγn2−m=−k1α1−...−kmαm−p1β1−...−pn1−mβn1−m∈V1∩V2
q 1 γ 1 + . . . + q n 2 − m γ n 2 − m ∈ V 2 , − k 1 α 1 − . . . − k m α m − p 1 β 1 − . . . − p n 1 − m β n 1 − m ∈ V 1 q_1\boldsymbol\gamma_1+...+q{n_2-m}\boldsymbol\gamma{n_2-m}\in\textbf{V}2,-k_1\boldsymbol\alpha_1-...-k_m\boldsymbol\alpha_m-p_1\boldsymbol\beta_1-...-p{n_1-m}\boldsymbol\beta_{n_1-m}\in\textbf{V}_1 q1γ1+...+qn2−mγn2−m∈V2,−k1α1−...−kmαm−p1β1−...−pn1−mβn1−m∈V1于是 q 1 γ 1 + . . . + q n 2 − m γ n 2 − m = l 1 α 1 + . . . + l m α m q_1\boldsymbol\gamma_1+...+q_{n_2-m}\boldsymbol\gamma_{n_2-m}=l_1\boldsymbol\alpha_1+...+l_m\boldsymbol\alpha_m q1γ1+...+qn2−mγn2−m=l1α1+...+lmαm
从而 − l 1 α 1 − l m α m + q 1 γ 1 + . . . + q n 2 − m γ n 2 − m = 0 -l_1\boldsymbol\alpha_1-l_m\boldsymbol\alpha_m+q_1\boldsymbol\gamma_1+...+q_{n_2-m}\boldsymbol\gamma_{n_2-m}=\boldsymbol{0} −l1α1−lmαm+q1γ1+...+qn2−mγn2−m=0
因为基是线性无关的，
因此 l 1 = . . . = l m = q 1 = . . . = q n 2 − m = 0 l_1=...=l_m=q_1=...=q_{n_2-m}=0 l1=...=lm=q1=...=qn2−m=0代入(1)式得 k 1 α 1 + . . . + k m α m + p 1 β 1 + . . . + p n 1 − m β n 1 − m k_1\boldsymbol\alpha_1+...+k_m\boldsymbol\alpha_m+p_1\boldsymbol\beta_1+...+p_{n_1-m}\boldsymbol\beta_{n_1-m} k1α1+...+kmαm+p1β1+...+pn1−mβn1−m
因为基是线性无关的
从而 k 1 = . . . = k m = p 1 = . . . = p n 1 − m = 0 k_1=...=k_m=p_1=...=p_{n_1-m}=0 k1=...=km=p1=...=pn1−m=0
所以 < α 1 , . . . , α m , γ 1 , . . . , γ n 2 − m > <\boldsymbol\alpha_1,...,\boldsymbol\alpha_m,\boldsymbol\gamma_1,...,\boldsymbol\gamma_{n_2-m}> <α1,...,αm,γ1,...,γn2−m>线性无关
从而 dim ( V 1 + V 2 ) = m + ( n 1 − m ) + ( n 2 − m ) = n 1 + n 2 − m = dim ( V 1 ) + dim ( V 2 ) − dim ( V 1 ∩ V 2 ) \dim(\textbf{V}_1+\textbf{V}_2)=m+(n_1-m)+(n_2-m)=n_1+n_2-m=\dim(\textbf{V}_1)+\dim(\textbf{V}_2)-\dim(\textbf{V}_1\cap\textbf{V}_2) dim(V1+V2)=m+(n1−m)+(n2−m)=n1+n2−m=dim(V1)+dim(V2)−dim(V1∩V2)