回溯算法解决排列组合及子集问题

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| 216. 组合总和 III |
| 39. 组合总和 |
| 40. 组合总和 II |
| 46. 全排列 |
| 47. 全排列 II |
| 77. 组合 |
| 78. 子集 |
| 90. 子集 II |

以上是力扣设计相关问题的题目。排列组合还是子集问题无非就是从序列 nums 中以给定规则取若干元素，主要有以下几类：

1. 元素无重不可复选，即 nums 中的元素都是唯一的，每个元素最多只能被使用一次，这也是最基本的形式。
2. 元素可重不可复选，即 nums 中的元素可以存在重复，每个元素最多只能被使用一次。
3. 元素无重可复选，即 nums 中的元素都是唯一的，每个元素可以被使用若干次。

以组合为例：

1.如果输入 nums = [2,3,6,7]，和为 7 的组合应该只有 [7]

2.如果输入 nums = [2,5,2,1,2]，和为 7 的组合应该有两种 [2,2,2,1] 和 [5,2]

3.如果输入 nums = [2,3,6,7]，和为 7 的组合应该有两种 [2,2,3] 和 [7]

上面用组合问题举的例子，但排列、组合、子集问题都可以有这三种基本形式，所以共有 9 种变化。

除此之外，题目也可以再添加各种限制条件，比如让你求和为 target 且元素个数为 k 的组合，那这么一来又可以衍生出一堆变体，所以一般笔试很喜欢出这种题。

但无论怎么变化，其本质就是穷举所有解，而这些解呈现树形结构，使用回溯算法框架再稍微修改一些细节即可把这些问题一网打尽。

回溯算法框架代码如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class BacktrackExample {

    private List<List<Object>> result = new ArrayList<>();

    public void backtrack(List<Object> path, List<Object> choices) {
        if (满足结束条件(path)) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        for (Object choice : choices) {
            // 做选择
            path.add(choice);
            
            // 递归
            backtrack(path, choices);
            
            // 撤销选择
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }

    private boolean 满足结束条件(List<Object> path) {
        // 这里实现满足结束条件的逻辑
        return false; // 示例返回，替换为实际逻辑
    }

    public List<List<Object>> getResult() {
        return result;
    }

}

问题一：当元素无重不可复选时，即 nums 中的元素都是唯一的，每个元素最多只能被使用一次：

// 组合/子集问题回溯算法框架
void backtrack(int[] nums, int start) {
    // 回溯算法标准框架
    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 做选择
        track.addLast(nums[i]);
        // 注意参数
        backtrack(nums, i + 1);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
    }
}

// 排列问题回溯算法框架
void backtrack(int[] nums) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 剪枝逻辑
        if (used[i]) {
            continue;
        }
        // 做选择
        used[i] = true;
        track.addLast(nums[i]);

        backtrack(nums);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
        used[i] = false;
    }
}

问题二：元素可重不可复选，即 nums 中的元素可以存在重复，每个元素最多只能被使用一次，其关键在于排序和剪枝

Arrays.sort(nums);
// 组合/子集问题回溯算法框架
void backtrack(int[] nums, int start) {
    // 回溯算法标准框架
    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 剪枝逻辑，跳过值相同的相邻树枝
        if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 做选择
        track.addLast(nums[i]);
        // 注意参数
        backtrack(nums, i + 1);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
    }
}


Arrays.sort(nums);
// 排列问题回溯算法框架
void backtrack(int[] nums) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 剪枝逻辑
        if (used[i]) {
            continue;
        }
        // 剪枝逻辑，固定相同的元素在排列中的相对位置
        if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !used[i - 1]) {
            continue;
        }
        // 做选择
        used[i] = true;
        track.addLast(nums[i]);

        backtrack(nums);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
        used[i] = false;
    }
}

问题三：元素无重可复选，即 nums 中的元素都是唯一的，每个元素可以被使用若干次，只要删掉去重逻辑即可：

// 组合/子集问题回溯算法框架
void backtrack(int[] nums, int start) {
    // 回溯算法标准框架
    for (int i = start; i < nums.length; i++) {
        // 做选择
        track.addLast(nums[i]);
        // 注意参数
        backtrack(nums, i);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
    }
}

// 排列问题回溯算法框架
void backtrack(int[] nums) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 做选择
        track.addLast(nums[i]);
        backtrack(nums);
        // 撤销选择
        track.removeLast();
    }
}

只要从树的角度思考，这些问题看似复杂多变，实则改改 base case 就能解决。只要熟悉了该框架，再细致了解一下细节问题，相信排列组合子集问题都不是问题。