支持向量机

一、SVM基本原理SVM（Support Vector Machine）

SVM是机器学习中常用的分类算法。SVM算法可以将𝑛维空间分割到不同的类中，以便将新数据点放在正确的类中，得到的最佳决策边界称为超平面。在超平面一侧的数据标签为1，而在另一侧的数据标签为-1。考虑数据集 ，其中 。超平面的公式表示为 ，其中 和 。

SVM分为硬间隔SVM，软间隔SVM以及核SVM。下面以硬间隔SVM为例，解释SVM的目标函数是如何推导。硬间隔SVM基于数据线性可分（线性可分指的是存在一个超平面能够严格划分正负样本）的假设。SVM的原理是要找到一个超平面，这个超平面能够分离正负样本的同时，使得正样本和负样本到超平面的间隔是最大的。因此SVM又称为最大间隔分类器。

如何将"最大间隔分类器"转化为数学语言呢？首先我们要定义"间隔"，所谓"间隔"，指的是样本到达超平面的距离，那么就是整个样本集中离超平面最近的数据点到超平面的距离，因此可以写为 ，那么这个distance我们可以利用点到平面的距离公式来计算，因此 。那么我们要最大化这个"间隔"，因此目标函数为 。另外除了最大间隔，还要是一个分类器，即当 时， ，当 时， ，因此约束条件可以写为 。因此我们将最大间隔分类器转化为数学语言为

等价于

取 （感知机算法提供了理论保证，这里是可以取到的）。因此上式转化为

取𝛾=1，且将目标函数变为最小化，便可以得到

为什么可以取𝛾=1，这里面要理解函数间隔和几何间隔的概念。实际上上式是在优化几何间隔，几何间隔是函数间隔的一个正则化表示，因此它的取值一般不影响优化问题的解，因此通常取1。

对于软间隔SVM分类器，面对的是线性不可分的问题，允许分类器一点错误。对于错误的样本要给予一定的惩罚，因此目标函数变为 ，这个loss便是对错分样本的惩罚函数，在SVM下，这里的loss是hinge损失，即 。因此软间隔SVM的优化目标为

其中C是惩罚系数。引入松弛变量 。因此上式转化为

这便是软间隔SVM的优化目标。对于核SVM而言，如果数据在低维空间中不可分，但是我们可以通过一个核函数𝜙将x映射到高维空间中，数据变为可分的。

优化目标与软间隔SVM基本相同，唯一的不同在于x要通过一个非线性的核函数的映射。因此核SVM 分类器的目标函数为

上述公式中，为了防止 SVM 分类器与噪声数据过度拟合，引入松弛变量 以允许某些数据点位于边距内，常数𝐶>0保证最大化边距与该边距内训练数据点数(从而确定训练误差)之间的权衡。𝜙是一个定义好的核函数，其作用是将数据投影到高维空间中，创建非线性决策边界，使得数据点在高维空间下可分。通常使用拉格朗日乘子法以及对偶化后，可以将上式转化为

最终的决策函数如下所示

其中 为拉格朗日乘数， 为核函数。常用的核函数包括如下几种

• 线性核： ；

• 多项式核： ；

• 高斯核： ；

• 拉普拉斯核： 。

二、KKT条件

这一部分我们介绍在SVM的原理中最重要的KKT条件，首先通过最优化理论可知，凸优化+Slater条件可以推出强对偶关系。

假设一个凸优化问题

Slater条件： (相对内部), 。

• 对于大多数凸优化问题，slater条件成立。
• 放松的slater：若𝑀中有𝐾个放射函数，则只需关心其余𝑀−𝐾个是否满足 。

下面我们写出上述凸优化问题的largrange函数

，于是对偶问题的优化目标是

。

上式凸优化问题的对偶问题为

KKT条件：

1. 可行性条件
   对于最优解 ，满足 .
2. 互补松弛条件（最重要的条件）
   
3. 梯度为0
   

让我们考虑在硬间隔SVM下的KKT条件（硬间隔SVM指的是样本完全线性可分，不存在松弛变量 ）。目标函数为

通过largrange乘子法，令 可以转化为

因此KKT条件为

1. 
2. 
3. 

注意第2条互补松弛条件，满足 的样本点称为支持向量 ，此时 。当 时， 。也就是说只有支持向量的样本点的largrange系数 。注意到 可知， ，说明 是数据的线性组合，只与支持向量有关系。

三、 SVM实现多分类

SVM 本身是一个二值分类器，但是我们可以很方便的把它扩展到多分类的情况，这样就可以很好的应用到文本分类，图像识别等场景中。扩展 SVM 支持多分类，一般有两种方法，OVR（one versus rest），一对多法；OVO（one versus one），一对一法。

OVR：对于 k 个类别的情况，训练 k 个SVM，第 j 个 SVM 用于判断任意一条数据是属于类别 j 还是非 j。这种方法需要针对 k 个分类训练 k 个分类器，分类的速度比较快，但是训练的速度较慢。当新增一个分类时，需要重新对分类进行构造。

OVO：对于 k 个类别的情况，训练 k * (k-1)/2 个 SVM，每一个 SVM 用来判断任意一条数据是属于 k 中的特定两个类别中的哪一个。对于一个未知的样本，每一个分类器都会有一个分类结果，记票为1，最终得票最多的类别就是未知样本的类别。这样当新增类别时，不需要重新构造 SVM 模型，训练速度快。但是当 k 较大时，训练和测试时间都会比较慢。

四、SVM的优缺点

优点

• 可用于线性/非线性分类，也可以用于回归，泛化错误率低，也就是说具有良好的学习能力，且学到的结果具有很好的推广性。
• 可以解决小样本情况下的机器学习问题，可以解决高维问题，可以避免神经网络结构选择和局部极小点问题。

缺点

• 支持向量机算法对大规模训练样本难以实施，这是因为支持向量算法借助二次规划求解支持向量，这其中会设计m阶矩阵的计算，所以矩阵阶数很大时将耗费大量的机器内存和运算时间。
• 现在常用的SVM理论都是使用固定惩罚系数C，但是正负样本的两种错误造成的损失是不一样的。
• 对于参数调节和核函数的选择很敏感。

五、 SVM的应用

这里使用sklearn自带的svm包，调用SVC函数用来做SVM的分类。具体的参数设置可以查看官方文档。

class sklearn.svm.SVC(self, C=1.0, kernel='rbf', degree=3, gamma='auto_deprecated',    
             coef0=0.0, shrinking=True, probability=False,    
             tol=1e-3, cache_size=200, class_weight=None,    
             verbose=False, max_iter=-1, decision_function_shape='ovr',    
             random_state=None)

• C：C-SVC的惩罚参数C，默认值是1.0。C越大，相当于惩罚松弛变量，希望松弛变量接近0，即对误分类的惩罚增大，趋向于对训练集全分对的情况，这样对训练集测试时准确率很高，但泛化能力弱。C值小，对误分类的惩罚减小，允许容错，将他们当成噪声点，泛化能力较强。
• kernel ：核函数，默认是rbf，可以是'linear', 'poly', 'rbf', 'sigmoid', 'precomputed'
• degree ：多项式poly函数的维度，默认是3，选择其他核函数时会被忽略。
• gamma ： 'rbf','poly' 和'sigmoid'的核函数参数。默认是'auto'，则会选择1/n_features
• coef0 ：核函数的常数项。对于'poly'和 'sigmoid'有用。
• probability ：是否输出概率，当评价指标为AUC时需要打开。
• shrinking ：是否采用shrinking heuristic方法，默认为true
• tol ：停止训练的误差值大小，默认为1e-3
• cache_size ：核函数cache缓存大小，默认为200
• class_weight ：类别的权重，字典形式传递。设置第几类的参数C为weight*C(C-SVC中的C)
• verbose ：输出设置。
• max_iter ：最大迭代次数。-1为无限制。
• decision_function_shape ：控制多分类时的决策函数模式，包含'ovo', 'ovr' or None,
• random_state ：随机数种子

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split

## 导入手写数字数据集
X=datasets.load_digits()['data']
Y=datasets.load_digits()['target']

Y[Y>=5] = 10
Y[Y<5] = 0
Y[Y==10] = 1


X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(X, Y, test_size=0.4,stratify=Y)


from sklearn.svm import SVC

svm_model = SVC(kernel = 'linear', probability=True)
svm_model.fit(X_train,y_train)

y_pred = svm_model.predict(X_test)
y_proba = svm_model.predict_proba(X_test)


from sklearn.metrics import classification_report,accuracy_score,roc_auc_score,f1_score,roc_curve

print("分类报告：\n", classification_report(y_test, y_pred))
print("准确率：\n",accuracy_score(y_test, y_pred))
print("AUC：\n",roc_auc_score(y_test, y_proba[:, 1]))
print("micro F1：\n",f1_score(y_test, y_pred, average = 'micro'))
print("macro F1：\n",f1_score(y_test, y_pred, average = 'macro'))

'''
分类报告：
               precision    recall  f1-score   support

           0       0.88      0.90      0.89       361
           1       0.90      0.88      0.89       358

    accuracy                           0.89       719
   macro avg       0.89      0.89      0.89       719
weighted avg       0.89      0.89      0.89       719

准确率：
 0.8901251738525731
AUC：
 0.9466101301474799
micro F1：
 0.8901251738525731
macro F1：
 0.8901039157529781
'''


import matplotlib.pyplot as plt

auc = roc_auc_score(y_test,y_proba[:, 1])

fpr,tpr, thresholds = roc_curve(y_test,svm_model.decision_function(X_test))
plt.plot(fpr,tpr,color='darkorange',label='ROC curve (area = %0.2f)' % auc)
plt.plot([0, 1], [0, 1], color='navy', lw=2, linestyle='--')
plt.xlim([0.0, 1.0])
plt.ylim([0.0, 1.05])
plt.xlabel('False Positive Rate')
plt.ylabel('True Positive Rate')
plt.title('Receiver operating characteristic')
plt.legend(loc="lower right")
plt.show()


import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split

## 导入手写数字数据集
X=datasets.load_digits()['data']
Y=datasets.load_digits()['target']


X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(X, Y, test_size=0.4,stratify=Y)


from sklearn.svm import SVC

svm_model = SVC(kernel = 'rbf', decision_function_shape = 'ovr')
svm_model.fit(X_train,y_train)

y_pred = svm_model.predict(X_test)


from sklearn.metrics import classification_report,accuracy_score,roc_auc_score,f1_score

print("分类报告：\n", classification_report(y_test, y_pred))
print("准确率：\n",accuracy_score(y_test, y_pred))
print("micro F1：\n",f1_score(y_test, y_pred, average = 'micro'))
print("macro F1：\n",f1_score(y_test, y_pred, average = 'macro'))

'''
分类报告：
               precision    recall  f1-score   support

           0       1.00      0.49      0.66        71
           1       1.00      0.23      0.38        73
           2       1.00      0.38      0.55        71
           3       0.17      1.00      0.30        73
           4       1.00      0.44      0.62        72
           5       1.00      0.89      0.94        73
           6       1.00      0.64      0.78        72
           7       1.00      0.35      0.52        72
           8       1.00      0.06      0.11        70
           9       1.00      0.68      0.81        72

    accuracy                           0.52       719
   macro avg       0.92      0.52      0.57       719
weighted avg       0.92      0.52      0.57       719

准确率：
 0.5187760778859527
micro F1：
 0.5187760778859527
macro F1：
 0.5656487510758079
'''