题面
[HNOI2008] 越狱
题目描述
监狱有 n n n 个房间，每个房间关押一个犯人，有 m m m 种宗教，每个犯人会信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。
答案对 100 , 003 100,003 100,003 取模。
输入格式
输入只有一行两个整数，分别代表宗教数 m m m 和房间数 n n n。
输出格式
输出一行一个整数代表答案。
样例 #1
样例输入 #1
2 3
样例输出 #1
6
提示
样例输入输出 1 解释
| 状态编号 | 1 号房间 | 2 号房间 | 3 号房间 |
|---|---|---|---|
| 1 | 信仰 1 | 信仰 1 | 信仰 1 |
| 2 | 信仰 1 | 信仰 1 | 信仰 2 |
| 3 | 信仰 1 | 信仰 2 | 信仰 2 |
| 4 | 信仰 2 | 信仰 1 | 信仰 1 |
| 5 | 信仰 2 | 信仰 2 | 信仰 2 |
| 6 | 信仰 2 | 信仰 2 | 信仰 1 |
数据规模与约定
对于 100 % 100\% 100% 的数据，保证 1 ≤ m ≤ 1 0 8 1 \le m \le 10^8 1≤m≤108， 1 ≤ n ≤ 1 0 12 1 \le n \le 10^{12} 1≤n≤1012。
思路
先正常看，题目难度普及/提高，所以有很大的思维成分在里面。
然后的话这是标签：
明显这是一道排列组合题目。
先考虑会越狱情况下的各种情况
这是样例1的
| 状态编号 | 1 号房间 | 2 号房间 | 3 号房间 |
|---|---|---|---|
| 1 | 信仰 1 | 信仰 1 | 信仰 1 |
| 2 | 信仰 1 | 信仰 1 | 信仰 2 |
| 3 | 信仰 1 | 信仰 2 | 信仰 2 |
| 4 | 信仰 2 | 信仰 1 | 信仰 1 |
| 5 | 信仰 2 | 信仰 2 | 信仰 2 |
| 6 | 信仰 2 | 信仰 2 | 信仰 1 |
很明显，从2个一样信仰的相邻一直到n个一样的信仰相邻都有多种可能 ，所以从这个方向考虑会很复杂。
那么可以换一种思路，从逆向 来想，因为只有两种情况，要么越狱，要么不越狱，所以可以理解为 越狱的情况 = 所有情况 − 不越狱的情况 越狱的情况=所有情况-不越狱的情况 越狱的情况=所有情况−不越狱的情况
那么考虑一下不越狱 的情况。
有m中信仰的情况下，具体可以这样分配：
| 1 号房间 | 2 号房间 | 3 号房间 | ... | 3n号房间 |
|---|---|---|---|---|
| m种信仰 | m-1种信仰 | m-1种信仰 | m-1种信仰 | m-1种信仰 |
因为为了不和上一个房间的宗教相同，所以剩下了除上一个房间以外m-1种信仰可选，然而第一间左边没有房间可以有m种选择。
因此我们可以把答案弄出来了
a n s = n m − m ∗ ( n − 1 ) m − 1 ans=n^m-m*(n-1)^{m-1} ans=nm−m∗(n−1)m−1
接着看数据范围，保证 1 ≤ m ≤ 1 0 8 1 \le m \le 10^8 1≤m≤108， 1 ≤ n ≤ 1 0 12 1 \le n \le 10^{12} 1≤n≤1012，所以如果用O(n)的时间复杂度会过不了( 1 0 8 10^8 108有的判题机好似可以过)
所以要用快速幂 ，原理就是倍增 思想，时间复杂度降低到了 l o g ( n ) log(n) log(n)
虽然c++本身有快速幂函数pow ，不过由于涉及取模，所以需要手写一个。
最后提交上去就会发现有的点WA了，由于这里面取模运算的特性，所以有可能会出现 n m n^m nm取模完以后比后面那一坨还小，这时候我们就应该加上一个模数就可以了
c o d e code code
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define ll long long防伪认证
#define ld long double
#define FOR(x,a,b,c) for(int x=a;x<=b;x+=c)
#define MFOR(x,a,b,c) for(int x=a;x>=b;x-=c)
#define MPFOR(x,a,b,c) for(int x=a;a<=b;x*=c)
const int N3=1e3+10;
const int N=1e6+10;
const long double esp=1e-8;
bool f[N];
/*/防伪认证
map<ll,int> a;
queue<int> a;
stack<int> a;
priority_queue<int> a;
vector<int> a;
set<int> a;
::iterator it
unordered
/*/
int gcd(int a,int b){
int c=a%b;
while(a%b!=0){
a=b;
b=c;
c=a%b;
}
return b;
}
int lcm(int x,int y){
return (x*y)/gcd(x,y);
}
void p(int n){
f[1]=1;
f[0]=1;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(f[i]) continue;
for(int j=i*i;j<=n;j+=i){
f[j]=1;
}
}
}
ll qpow(ll x,ll y,ll md){//快速幂
ll ans=1;
while(y){//相当于给他求二进制
if(y&1){
ans*=x;
ans%=md;
}
x*=x;//倍增思想
x%=md;
y>>=1;
}
return ans;
}
ll n,m;
ll ans=1;
int main(){
freopen(".in","r",stdin);
freopen(".out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>m>>n;
ans=((qpow(m,n,100003))-m*qpow(m-1,n-1,100003)%100003)%100003;//公式计算
if(ans<0) ans+=100003;//特殊情况
cout<<ans;
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}
/*/
思路区
/*/不要复制以后直接提交，不会AC，会编译错误！！！