6.代数余子式
余子式：
给定一个 n×n的矩阵 A，其第 i 行第j 列的元素 aij的余子式 Mij是指去掉第i行和第j列后得到的 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式。
具体步骤如下：
- 选择元素 ：选择矩阵 AA 中的一个元素 aij。
- 构造余子矩阵 ：去掉矩阵 AA 的第 i 行和第 j 列，得到一个 (n−1)×(n−1) 的子矩阵。
- 计算行列式：计算这个 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式，这个行列式就是元素 aij 的余子式 Mij。
余子式的一个重要应用是计算行列式的值。行列式 det(A)可以通过任意一行或一列的元素与其对应的余子式和代数余子式的乘积之和来计算。
例如，对于一个 3×3的矩阵 A：
A = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} A= a11a21a31a12a22a32a13a23a33
元素 a11 的余子式 M11是去掉第 1 行和第 1 列后得到的 2×2子矩阵的行列式：
M 11 = ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} M11= a22a32a23a33
计算这个 2×2 行列式的值：
M 11 = a 22 a 33 − a 23 a 32 M_{11}=a_{22}a_{33}−a_{23}a_{32} M11=a22a33−a23a32
类似地，可以计算其他元素的余子式。
代数余子式：
给定一个 n×n 的矩阵 A，其第i行第j列的元素 aij 的代数余子式 Cij定义为：
C i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j C_{ij}=(−1)^{i+j}⋅M_{ij} Cij=(−1)i+j⋅Mij
其中，Mij是元素 aij 的余子式，即去掉矩阵 A的第i 行和第 j 列后得到的 (n−1)×(n−1子矩阵的行列式。
具体步骤如下：
-
选择元素：选择矩阵 A 中的一个元素 aij。
-
构造余子矩阵：去掉矩阵 A 的第i 行和第 j 列，得到一个 (n−1)×(n−1)的子矩阵。
-
计算行列式：计算这个 (n−1)×(n−1)子矩阵的行列式，这个行列式就是元素 aij 的余子式 Mij。
-
计算代数余子式 ：根据公式
C i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j C_{ij}=(−1)^{i+j}⋅M_{ij} Cij=(−1)i+j⋅Mij计算代数余子式。
代数余子式的一个重要应用是计算行列式的值。根据拉普拉斯展开定理，行列式 det(A)可以通过任意一行或一列的元素与其对应的代数余子式的乘积之和来计算。
例如，对于一个 3×3的矩阵 A：
A = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} A= a11a21a31a12a22a32a13a23a33
元素 a11的代数余子式 C11是：
C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ⋅ M 11 = M 11 C_{11}=(−1)^{1+1}⋅M_{11}=M_{11} C11=(−1)1+1⋅M11=M11
其中，余子式 M11是去掉第 1 行和第 1 列后得到的 2×2子矩阵的行列式：
M 11 = ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ = a 22 a 33 − a 23 a 32 M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} M11= a22a32a23a33 =a22a33−a23a32
因此，代数余子式 C11 为：
C 11 = a 22 a 33 − a 23 a 32 C_{11}=a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} C11=a22a33−a23a32
类似地，可以计算其他元素的代数余子式。
例：
计算行列式
∣ 1 2 3 − 1 5 7 8 − 1 16 ∣ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 5 & 7 \\ 8 & -1 & 16 \end{vmatrix} 1−1825−13716
中元素a11和a23的代数余子式。
C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 M 11 = M 11 = ∣ 5 7 − 1 16 ∣ C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}=\begin{vmatrix} 5 & 7 \\ -1 & 16 \end{vmatrix} C11=(−1)1+1M11=M11= 5−1716
C 23 = ( − 1 ) 2 + 3 M 23 = − M 11 = ∣ 1 2 8 − 1 ∣ C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-M_{11}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 8 & -1 \end{vmatrix} C23=(−1)2+3M23=−M11= 182−1
拉普拉斯展开定理：
行列式等于它的某一行元素与其代数余子式的乘积之和。
行列式按第i 行展开的公式为：
d e t ( A ) = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + . . . + a i n C i n = Σ j = 1 n a i j C i j det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...+a_{in}C_{in}=\Sigma {j=1}^{n}a{ij}C_{ij} det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+...+ainCin=Σj=1naijCij
其中，A 是一个 n×n 的矩阵，aij是矩阵 A的第 i行第 j列的元素，Cij是元素 aij的代数余子式。
代数余子式 Cij的定义为：
C i j = ( − 1 ) i + j M i j C_{ij}=(−1)^{i+j}M_{ij} Cij=(−1)i+jMij
其中，Mij 是元素 aij 的余子式，即去掉矩阵 A 的第 i 行和第j列后得到的 (n−1)×(n−1)子矩阵的行列式。
类似地，行列式也可以按第j列展开：
d e t ( A ) = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + . . . + a n j C n j = Σ i = 1 n a i j C i j det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+...+a_{nj}C_{nj}=\Sigma {i=1}^{n}a{ij}C_{ij} det(A)=a1jC1j+a2jC2j+...+anjCnj=Σi=1naijCij
下面通过一个具体的例子来说明如何使用行列式按一行（列）展开定理。
假设有一个 3×3 的矩阵 A：
A = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} A= a11a21a31a12a22a32a13a23a33
我们按第 1 行展开行列式：
d e t ( A ) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} det(A)=a11C11+a12C12+a13C13
其中，代数余子式 C11、C12 和 C13 分别为：
C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 M 11 = M 11 C_{11}=(−1)^{1+1}M_{11}=M_{11} C11=(−1)1+1M11=M11
C 12 = ( − 1 ) 1 + 2 M 12 = − M 12 C_{12}=(−1)^{1+2}M_{12}=−M_{12} C12=(−1)1+2M12=−M12
C 13 = ( − 1 ) 1 + 3 M 13 = M 13 C_{13}=(−1)^{1+3}M_{13}=M_{13} C13=(−1)1+3M13=M13
余子式 M11、M12 和 M13分别为：
M 11 = ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ = a 22 a 33 − a 23 a 32 M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} M11= a22a32a23a33 =a22a33−a23a32
M 12 = ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ = a 21 a 33 − a 23 a 31 M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31} M12= a21a31a23a33 =a21a33−a23a31
M 13 = ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ = a 21 a 32 − a 22 a 31 M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31} M13= a21a31a22a32 =a21a32−a22a31
因此，行列式 det(A) 按第 1 行展开为：
d e t ( A ) = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}−a_{23}a_{32})−a_{12}(a_{21}a_{33}−a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}−a_{22}a_{31}) det(A)=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)
通过这种方式，我们可以将一个 n×n 的行列式展开成 n 个 (n−1)×(n−1)的行列式的和，从而简化行列式的计算。
例：
计算下列行列式
∣ − 1 2 3 0 2 3 1 4 9 ∣ \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} −101224339
按第三行展开(按第一、二行展开同理)：
∣ − 1 2 3 0 2 3 1 4 9 ∣ r 3 1 × ( − 1 ) 3 + 1 M 31 + 4 × ( − 1 ) 3 + 2 M 32 + 9 × ( − 1 ) 3 + 3 M 33 = ∣ 2 3 2 3 ∣ − 4 ∣ − 1 3 0 3 ∣ + 9 ∣ − 1 2 0 2 ∣ = 0 + 12 − 18 = − 6 \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix}\dfrac{r3}{} 1\times (-1)^{3+1}M_{31} + 4\times (-1)^{3+2}M_{32} + 9\times (-1)^{3+3}M_{33}\\ =\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 3 \\ \end{vmatrix}+9\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \\ \end{vmatrix}=0+12-18=-6 −101224339 r31×(−1)3+1M31+4×(−1)3+2M32+9×(−1)3+3M33= 2233 −4 −1033 +9 −1022 =0+12−18=−6
在进行展开计算时：
1.尽可能把某一行化0
2.按0多的行(列)展开
练习：
1.四阶行列式D，第三行元素为-1，2，0，1，对应的余子式为-2，-5，-9，4，求D的值
解：根据行列式拉普拉斯定理按照第三行展开：
D = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 + a 34 C 34 = a 31 ( − 1 ) 3 + 1 M 31 + a 32 ( − 1 ) 3 + 2 M 32 + a 33 ( − 1 ) 3 + 3 M 33 + a 34 ( − 1 3 + 4 M 34 ) = ( − 1 ) × ( − 1 ) + 2 × ( − 1 ) × ( − 5 ) + 0 × ( − 9 ) + 1 × ( − 1 ) × 4 = 2 + 10 + 0 − 4 = 8 D=a_{31}C_{31}+a_{32}C_{32}+a_{33}C_{33}+a_{34}C_{34}\\ =a_{31}(-1)^{3+1}M_{31}+a_{32}(-1)^{3+2}M_{32}+a_{33}(-1)^{3+3}M_{33}+a_{34}(-1^{3+4}M_{34})\\ =(-1)\times(-1)+2\times(-1)\times(-5)+0\times(-9)+1\times(-1)\times4=2+10+0-4=8 D=a31C31+a32C32+a33C33+a34C34=a31(−1)3+1M31+a32(−1)3+2M32+a33(−1)3+3M33+a34(−13+4M34)=(−1)×(−1)+2×(−1)×(−5)+0×(−9)+1×(−1)×4=2+10+0−4=8
2.已知行列式
d e t ( A ) = ∣ 3 0 4 0 3 2 2 2 0 7 0 0 5 3 2 2 ∣ det(A)=\begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 & 0\\ 3 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 7 & 0 & 0\\ 5 & 3 & 2 & 2\\ \end{vmatrix} det(A)= 3305027342020202
求：(1)
C 41 + C 42 + C 43 + C 44 = ? C_{41}+C_{42}+C_{43}+C_{44}=? C41+C42+C43+C44=?
(2)
M 41 + M 42 + M 43 + M 44 = ? M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}=? M41+M42+M43+M44=?
解：(1)将
C 41 + C 42 + C 43 + C 44 看作是 1 × C 41 + 1 × C 42 + 1 × C 43 + 1 × C 44 C_{41}+C_{42}+C_{43}+C_{44} 看作是\\ 1\times C_{41}+1\times C_{42}+1\times C_{43}+1\times C_{44} C41+C42+C43+C44看作是1×C41+1×C42+1×C43+1×C44
则
C 41 + C 42 + C 43 + C 44 = 1 × C 41 + 1 × C 42 + 1 × C 43 + 1 × C 44 = ∣ 3 0 4 0 3 2 2 2 0 7 0 0 1 1 1 1 ∣ C_{41}+C_{42}+C_{43}+C_{44}=1\times C_{41}+1\times C_{42}+1\times C_{43}+1\times C_{44}=\begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 & 0\\ 3 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 7 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{vmatrix} C41+C42+C43+C44=1×C41+1×C42+1×C43+1×C44= 3301027142010201
然后按照第三行展开：
C 41 + C 42 + C 43 + C 44 = ∣ 3 0 4 0 3 2 2 2 0 7 0 0 1 1 1 1 ∣ = 7 × ( − 1 ) 3 + 2 ∣ 3 4 0 3 2 2 1 1 1 ∣ = ( − 7 ) ∣ 3 4 0 1 0 0 1 1 1 ∣ = 7 ∣ 1 0 0 3 4 0 1 1 1 ∣ = 28 C_{41}+C_{42}+C_{43}+C_{44}=\begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 & 0\\ 3 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 7 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{vmatrix}=7\times (-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 3 & 4 & 0\\ 3 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1\\ \end{vmatrix}=(-7)\begin{vmatrix} 3 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{vmatrix}=7\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{vmatrix}=28 C41+C42+C43+C44= 3301027142010201 =7×(−1)3+2 331421021 =(−7) 311401001 =7 131041001 =28
(2)将余子式转换为代数余子式
C 41 = ( − 1 ) 4 + 1 M 41 = − M 41 C 42 = ( − 1 ) 4 + 2 M 42 = M 42 C 43 = ( − 1 ) 4 + 3 M 43 = − M 43 C 44 = ( − 1 ) 4 + 4 M 44 = M 44 C_{41}=(-1)^{4+1}M_{41}=-M_{41}\\ C_{42}=(-1)^{4+2}M_{42}=M_{42}\\ C_{43}=(-1)^{4+3}M_{43}=-M_{43}\\ C_{44}=(-1)^{4+4}M_{44}=M_{44} C41=(−1)4+1M41=−M41C42=(−1)4+2M42=M42C43=(−1)4+3M43=−M43C44=(−1)4+4M44=M44
所以
M 41 + M 42 + M 43 + M 44 = − C 41 + C 42 − C 43 + C 44 M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}=-C_{41}+C_{42}-C_{43}+C_{44} M41+M42+M43+M44=−C41+C42−C43+C44
然后按照第一题的思路解题：
M 41 + M 42 + M 43 + M 44 = − C 41 + C 42 − C 43 + C 44 = ∣ 3 0 4 0 3 2 2 2 0 7 0 0 − 1 1 − 1 1 ∣ M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}=-C_{41}+C_{42}-C_{43}+C_{44}=\begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 & 0\\ 3 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 7 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1 & 1\\ \end{vmatrix} M41+M42+M43+M44=−C41+C42−C43+C44= 330−10271420−10201
按照第三行展开：
M 41 + M 42 + M 43 + M 44 = ∣ 3 0 4 0 3 2 2 2 0 7 0 0 − 1 1 − 1 1 ∣ = 7 × ( − 1 ) 3 + 2 ∣ 3 4 0 3 2 2 − 1 − 1 1 ∣ = ( − 7 ) ∣ 3 4 0 1 0 4 − 1 − 1 1 ∣ = 7 ∣ 1 0 4 3 4 0 − 1 − 1 1 ∣ = 7 × ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 4 0 − 1 1 ∣ + 28 × ( − 1 ) 1 + 3 ∣ 3 4 − 1 − 1 ∣ = 28 + 28 = 56 M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}=\begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 & 0\\ 3 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 7 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1 & 1\\ \end{vmatrix}=7\times (-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 3 & 4 & 0\\ 3 & 2 & 2\\ -1 & -1 & 1\\ \end{vmatrix}=(-7)\begin{vmatrix} 3 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 4\\ -1 & -1 & 1\\ \end{vmatrix}\\ =7\begin{vmatrix} 1 & 0 & 4\\ 3 & 4 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ \end{vmatrix}=7\times (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 4 & 0\\ -1 & 1\\ \end{vmatrix}+28\times (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 3 & 4\\ -1 & -1 \end{vmatrix}=28 + 28=56 M41+M42+M43+M44= 330−10271420−10201 =7×(−1)3+2 33−142−1021 =(−7) 31−140−1041 =7 13−104−1401 =7×(−1)1+1 4−101 +28×(−1)1+3 3−14−1 =28+28=56
7.克莱姆法则
基本概念
假设有一个由 n 个线性方程组成的n 元线性方程组：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn
我们可以将这个方程组写成AX=B，其中：
A = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ , X = ∣ x 1 x 2 ⋮ x n ∣ , B = ∣ b 1 b 2 ⋮ b n ∣ A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}, \quad X = \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{vmatrix}, \quad B = \begin{vmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{vmatrix} A= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann ,X= x1x2⋮xn ,B= b1b2⋮bn
克莱姆法则
根据克莱姆法则，如果系数矩阵 A 的行列式 det(A)≠0，那么方程组有唯一解，且解 X 的每一个分量 xi可以通过以下公式计算：
x i = d e t ( A i ) d e t ( A ) x_{i}=\dfrac {det(Ai)}{det(A)} xi=det(A)det(Ai)
其中，Ai是将矩阵 A 的第i 列替换为向量 B 后得到的新矩阵。
A i = ∣ a 11 ⋯ b 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ b 2 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ b i ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ b n ⋯ a n n ∣ A_{i} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & b_{2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & b_{i} & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} Ai= a11a21⋮an1⋯⋯⋱⋯b1b2bibn⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann
**注意：**克莱姆法则前提：1.方程个数=未知数个数；2.系数行列式det(A)!=0
示例
考虑一个 3×3的线性方程组：
{ 2 x + 3 y − z = 1 4 x − y + 2 z = 3 − 3 x + 2 y + 5 z = − 2 \begin{cases} 2x + 3y - z = 1 \\ 4x - y + 2z = 3 \\ -3x + 2y + 5z = -2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2x+3y−z=14x−y+2z=3−3x+2y+5z=−2
我们可以将其写成矩阵形式 AX=B：
A = ∣ 2 3 − 1 4 − 1 2 − 3 2 5 ∣ , X = ∣ x y z ∣ , B = ∣ 1 3 − 2 ∣ A = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix}, \quad X = \begin{vmatrix} x \\ y \\ z \end{vmatrix}, \quad B = \begin{vmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{vmatrix} A= 24−33−12−125 ,X= xyz ,B= 13−2
首先计算系数矩阵 A 的行列式：
d e t ( A ) = ∣ 2 3 − 1 4 − 1 2 − 3 2 5 ∣ = 2 ( − 5 − 4 ) − 3 ( 20 + 6 ) − 1 ( 8 + 3 ) = 2 ( − 9 ) − 3 ( 26 ) − 1 ( 11 ) = − 18 − 78 − 11 = − 107 det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 2(-5 - 4) - 3(20 + 6) - 1(8 + 3) = 2(-9) - 3(26) - 1(11) = -18 - 78 - 11 = -107 det(A)= 24−33−12−125 =2(−5−4)−3(20+6)−1(8+3)=2(−9)−3(26)−1(11)=−18−78−11=−107
由于 det(A)≠0，我们可以使用克莱姆法则求解。
计算 A1、A2和 A3 的行列式：
A 1 = ∣ 1 3 − 1 3 − 1 2 − 2 2 5 ∣ , A 2 = ∣ 2 1 − 1 4 3 2 − 3 − 2 5 ∣ , A 3 = ∣ 2 3 1 4 − 1 3 − 3 2 − 2 ∣ A_1 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 5 \end{vmatrix}, \quad A_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & 3 & 2 \\ -3 & -2 & 5 \end{vmatrix}, \quad A_3 = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 3 \\ -3 & 2 & -2 \end{vmatrix} A1= 13−23−12−125 ,A2= 24−313−2−125 ,A3= 24−33−1213−2
d e t ( A 1 ) = ∣ 1 3 − 1 3 − 1 2 − 2 2 5 ∣ = 1 ( − 5 − 4 ) − 3 ( 15 + 4 ) − 1 ( 6 + 2 ) = 1 ( − 9 ) − 3 ( 19 ) − 1 ( 8 ) = − 9 − 57 − 8 = − 74 det(A_1) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 1(-5 - 4) - 3(15 + 4) - 1(6 + 2) = 1(-9) - 3(19) - 1(8) = -9 - 57 - 8 = -74 det(A1)= 13−23−12−125 =1(−5−4)−3(15+4)−1(6+2)=1(−9)−3(19)−1(8)=−9−57−8=−74
d e t ( A 2 ) = ∣ 2 1 − 1 4 3 2 − 3 − 2 5 ∣ = 2 ( 15 + 4 ) − 1 ( 20 + 6 ) − 1 ( 8 + 3 ) = 2 ( 19 ) − 1 ( 26 ) − 1 ( 11 ) = 38 − 26 − 11 = 1 det(A_2) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & 3 & 2 \\ -3 & -2 & 5 \end{vmatrix} = 2(15 + 4) - 1(20 + 6) - 1(8 + 3) = 2(19) - 1(26) - 1(11) = 38 - 26 - 11 = 1 det(A2)= 24−313−2−125 =2(15+4)−1(20+6)−1(8+3)=2(19)−1(26)−1(11)=38−26−11=1
d e t ( A 3 ) = ∣ 2 3 1 4 − 1 3 − 3 2 − 2 ∣ = 2 ( − 2 − 6 ) − 3 ( − 8 − 9 ) + 1 ( 8 + 3 ) = 2 ( − 8 ) − 3 ( − 17 ) + 1 ( 11 ) = − 16 + 51 + 11 = 46 det(A_3) = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & -1 & 3 \\ -3 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 2(-2 - 6) - 3(-8 - 9) + 1(8 + 3) = 2(-8) - 3(-17) + 1(11) = -16 + 51 + 11 = 46 det(A3)= 24−33−1213−2 =2(−2−6)−3(−8−9)+1(8+3)=2(−8)−3(−17)+1(11)=−16+51+11=46
根据克莱姆法则，解为：
x = d e t ( A 1 ) d e t ( A ) = − 74 − 107 = 74 107 x=\frac{det(A1)}{det(A)}=\frac{−74}{−107}=\frac{74}{107} x=det(A)det(A1)=−107−74=10774
y = d e t ( A 2 ) d e t ( A ) = 1 − 107 = − 1 107 y=\frac{det(A2)}{det(A)}=\frac{1}{−107}=-\frac{1}{107} y=det(A)det(A2)=−1071=−1071
z = d e t ( A 3 ) d e t ( A ) = 46 − 107 = − 46 107 z=\frac{det(A3)}{det(A)}=\frac{46}{−107}=−\frac{46}{107} z=det(A)det(A3)=−10746=−10746
练习：
1.计算方程组的解
{ 2 x 1 − x 2 + x 3 = 0 3 x 1 + 2 x 2 − 5 x 3 = 1 x 1 + 3 x 2 − 2 x 3 = 4 \begin{cases} 2x_{1} -x_{2} +x_{3} = 0 \\ 3x_{1} +2x_{2} - 5x_{3} = 1 \\ x_{1} + 3x_{2} -2x_{3} = 4 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2x1−x2+x3=03x1+2x2−5x3=1x1+3x2−2x3=4
解：
d e t ( A ) = ∣ 2 − 1 1 3 2 − 5 1 3 − 2 ∣ = 28 ≠ 0 , B = ∣ 0 1 4 ∣ det(A)=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}=28\neq0,B=\begin{vmatrix} 0 \\ 1\\ 4 \end{vmatrix} det(A)= 231−1231−5−2 =28=0,B= 014
则
d e t ( A 1 ) = ∣ 0 − 1 1 1 2 − 5 4 3 − 2 ∣ = 13 det(A_{1})=\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -5 \\ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix}=13 det(A1)= 014−1231−5−2 =13
d e t ( A 2 ) = ∣ 2 0 1 3 1 − 5 1 4 − 2 ∣ = 47 det(A_{2})=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}=47 det(A2)= 2310141−5−2 =47
d e t ( A 1 ) = ∣ 2 − 1 0 3 2 1 1 3 4 ∣ = 21 det(A_{1})=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix}=21 det(A1)= 231−123014 =21
得出：
x 1 = d e t ( A 1 ) d e t ( A ) = 13 28 x_{1}=\frac{det(A_{1})}{det(A)}=\frac{13}{28} x1=det(A)det(A1)=2813
x 2 = d e t ( A 2 ) d e t ( A ) = 47 28 x_{2}=\frac{det(A_{2})}{det(A)}=\frac{47}{28} x2=det(A)det(A2)=2847
x 3 = d e t ( A 3 ) d e t ( A ) = 21 28 = 3 4 x_{3}=\frac{det(A_{3})}{det(A)}=\frac{21}{28}=\frac{3}{4} x3=det(A)det(A3)=2821=43
克莱姆法则在处理小规模、非奇异线性方程组时是一个有用的工具，尤其在理论推导和解析解求解中。然而，对于大规模或数值稳定性要求高的实际问题，通常会选择其他更高效的数值方法，如高斯消元法、LU分解或矩阵求逆等。