之前学习了使用围线积分法（留数法）和部分分式展开法计算z逆变换，
《数字信号处理》学习08-围线积分法（留数法）计算z 逆变换-CSDN博客
《数字信号处理》学习09-部分分式展开法计算z 逆变换-CSDN博客
接下来我继续学习第三种计算z逆变换的方法：幂级数展开法（长除法）。
目录
1，长除法（幂级数展开法）的相关概念
根据z变换的定义：
是关于
的幂级数。
将上式幂级数展开：
可以看到，在z 复变量之前的系数就是需要求的原序列 。
长除法 ：一般情况下，是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，可以直接用分子多项式除以分母多项式，先得到幂级数展开式，再得到所求的原序列
。
2，多项式除法的运算
看到长除法运算概念的我想起以前学过的与之类似的**多项式除法。**多项式的相关运算如下 👇
，求 多项式 A。
// 一个因数等于积除以另外一个因数。
// 列除法竖式。需要注意的是， 项的次数必须要完整，例如，中间少了以一次项
，需要补上，即最终的被除数需要写成：
// 第①步，被除数最高次的项 除以除数最高次的项
，得到商的第一个项
(退一位写)
// 除数乘商，得到新的被除数： （顶格写）
//旧的被除数减去新的被除数
，得余数
，余数再加上下一个项
，得到新的被除数
// 第②步， 将新的被除数的最高次项
除以除数
的最高次项
，得到商的第二项
// 商乘除数
得到新的被除数
// 接着用旧的被除数减去新的被除数
，得到余数
，，余数再加上下一个项
，得到新的被除数
// 第③步，新的被除数的最高次项
除以除数
的最高此项
，得到商的第三项
// 商乘除数
得到新的被除数
，旧的被除数
减去新的被除数
得到余数0。当被除数的最高次项次数小于等于除数的最高次项次数时，多项式除法结束计算。
所以多项式
3，使用长除法计算z逆变换（结合一道习题）
z变换的收敛域是极其需要关注的一个点，因为不同序列的z变换可能相同，而唯一能够区分这些序列的关键点就是它们不同的z变换收敛域。
对于长除法来说，也必须要考虑收敛域的范围，才能唯一地确定原序列
z逆变换中的长除法和多项式除法的运算基本一样，唯一不同就是在z逆变换中需要考虑到收敛域，即需要判断序列是左边序列还是右边序列。
当z变换的收敛域为时，原序列为右边序列，被除数和除数（即分子和分母中的多项式）排列顺序不变。例如：
，在使用长除法时，列出来的除法竖式如下：
当z变换的收敛域为时，原序列为左边序列，被除数和除数（即分子和分母中的多项式）排列顺序需要倒过来。
例如：
，在使用长除法时，列出来的除法竖式如下：
习题1：
使用长除法计算z逆变换，求象函数的原序列
解：
// 先将式子中z变量的指数变成正数，分子分母同时乘，式子大小不变，题目式子变为如下：
化简
∵ 该z变换的收敛域为 ，右边序列，且为因果序列，因此分子分母顺序不变
// 值得注意的是，右边序列全称为右边无限长序列，因此，进行长除法时很难写成闭合的形式。
∴ // 列出除法竖式（与上面讲过的多项式除法类似的运算过程，这里不再赘诉）：
∵ 通过列竖式可得
// z复变量前的系数就是
∴
// 通过观察并找规律，可以看到，原序列是以公比为 的等比数列求和：
∵
∴
学习了长除法计算z逆变换的相关知识之后，现在我已经知道了三种计算z逆变换的方法。
整体而言，我还是比较喜欢用留数法计算z逆变换（只要自己用得方便就行）。
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