上节课的内容：辐射度量学、光线传播、反射方程、渲染方程、全局光照、概率论复习
这节课要介绍一种真实的渲染方法-蒙特卡洛路径追踪
目录
[1 简单回顾](#1 简单回顾)
[1.1 渲染方程（The Rendering Equation）](#1.1 渲染方程（The Rendering Equation）)
[1.2 概率](#1.2 概率)
[2 蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）](#2 蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）)
[2.1 宏观把握问题（为什么、是什么、怎么做）](#2.1 宏观把握问题（为什么、是什么、怎么做）)
[2.2 具体公式](#2.2 具体公式)
[2.3.1 举例：](#2.3.1 举例：)
[2.3.2 好用在哪里？](#2.3.2 好用在哪里？)
[2.3.3 需要注意的地方：](#2.3.3 需要注意的地方：)
[3 路径追踪（Path Tracing）](#3 路径追踪（Path Tracing）)
[3.1 对比之前的Whitted-Style Ray Tracing](#3.1 对比之前的Whitted-Style Ray Tracing)
[3.1.1 Whitted-Style Ray Tracing无法处理Glossy材质](#3.1.1 Whitted-Style Ray Tracing无法处理Glossy材质)
[3.1.2 Whitted-Style Ray Tracing无法处理漫反射物体的反射光线](#3.1.2 Whitted-Style Ray Tracing无法处理漫反射物体的反射光线)
[3.2 渲染方程的物理正确性](#3.2 渲染方程的物理正确性)
[3.3 蒙特卡洛解决方案](#3.3 蒙特卡洛解决方案)
[3.1.1 考虑某一个点的直接光照](#3.1.1 考虑某一个点的直接光照)
[3.3.2 如果要引入间接光照？](#3.3.2 如果要引入间接光照？)
[3.3.3 问题及改进策略](#3.3.3 问题及改进策略)
问题1：在递归中，光线数量会以指数级增加，难以承受的计算量。
[3.4 关于路径追踪的其他问题](#3.4 关于路径追踪的其他问题)
[3.4.1 遗留问题：点光源怎么办？](#3.4.1 遗留问题：点光源怎么办？)
[3.4.2 学习路径追踪的作用](#3.4.2 学习路径追踪的作用)
[3.4.3 ray-tracing一词在不同时期的含义](#3.4.3 ray-tracing一词在不同时期的含义)
[3.4.4 没涉及到的部分](#3.4.4 没涉及到的部分)
1 简单回顾
1.1 渲染方程（The Rendering Equation）
1.2 概率
2 蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）
2.1 宏观把握问题（为什么、是什么、怎么做）
为什么要学习蒙特卡洛积分？
答：要解一个定积分。
定积分就是一个函数在某个区间与坐标轴围成的面积，解出来就是一个数。
蒙特卡洛方法怎么做？
一种采样的思想
在积分域内不断采样，得到x对应的y坐标的值。对每一个小长方形都这么做，最后求个平均。
2.2 具体公式
2.3.1 举例：
假设在a~b之间均匀采样，那么采样的概率相同，记作C。
此概率在a~b区间上的积分就是1。
此时C可以解出来，就是1/b-a。
对应于均匀采样的蒙特卡洛积分可以推出来了，将这些值代入之前的公式，并把每一项都有的b-a提出去就可以了。
推广到一般情况，无论我们怎么采样，只要知道采样的PDF（概率密度函数）就可以用f(x)对p(x)求平均，从而得到对函数定积分的近似。
2.3.2 好用在哪里？
只需要知道采样的PDF就可以了
不用关心积分域，积分域已经在PDF中体现了。
2.3.3 需要注意的地方：
采样越多，结果越准确。
对谁采样，就对谁积分：对x积分，就对x采样。
3 路径追踪（Path Tracing）
3.1 对比之前的Whitted-Style Ray Tracing
光线打到光滑物体：沿镜面方向反射或者折射
光线打到漫反射物体：停止
这两件事情是不合理的。
高级: 让我们逐步改进Whitted-Style光线跟踪并形成我们的路径跟踪算法!
3.1.1 Whitted-Style Ray Tracing无法处理Glossy材质
光线打到壶上之后，反射光线不一定是镜面反射的
比如右边金色壶就带点磨砂的感觉，如果还是按照之前的那种方式，就会得到错误的结果。
3.1.2 Whitted-Style Ray Tracing无法处理漫反射物体的反射光线
光线打到漫反射物体时，是会反射光线的，但是whitted选择不处理这部分光，直接停止光线的弹射，那就会在漫反射物体相互作用的一些地方显示为纯黑。我们更希望看到全局光照的那种情况，而且物体上会出现墙面或者其他物体给它的光线，这些光线丰富了物体的暗部。
3.2 渲染方程的物理正确性
渲染方程是一个积分，把从四面八方来的光积分起来。
那么，我们要做的事：
1 解半球积分
2 递归执行
如何用数值方法解一个积分?
3.3 蒙特卡洛解决方案
假设：
场景内有一个相对较大的面光源。
场景内还有一个物体box
各个方向进来的光是均匀的。
3.1.1 考虑某一个点的直接光照
忽略渲染方程里的发光项，这个点的直接光照就是四面八方入射光照经过BRDF作用后，反射到观察方向的结果。
要计算半球上不同方向的积分，需要先对半球方向采样
为算出一个积分，需要先在积分域上进行采样得到样本X，然后计算出蒙特卡洛方法中的f（x）和p（x），两者相除求平均即可。
我们的f（x）：积分号里面的所有东西
我们的p（x）：均匀采样，1/2*pai。
然后，我们就把一个积分变成了一个简单的求和式子。
对照这个式子就可以写出着色算法。
从摄像机观察方向w0观察，p点给了它多少光？
对半球面的所有方向以一定的概率采样N个方向，对于每一个采样方向wi，连接点p与wi，判断形成的向量是否打到光源，如果打到光源，就计算这一方向对应的值。（只考虑直接光照）
3.3.2 如果要引入间接光照？
如果P点的某个方向的光来自Q点，那么Q点到P点反射了多少光呢？
这个问题可以转化为：从P点观察，Q点给了它反射了多少直接光照。
代码中加入递归部分：
打到光源就用Li，打到物体就是物体Q在-wi上的直接光照：shade（q，-wi）
3.3.3 问题及改进策略
问题1：在递归中，光线数量会以指数级增加，难以承受的计算量。
N=1的时候指数不会爆炸，所以只随机采样一个方向的样本。
用N=1来做蒙特卡洛积分就叫做路径追踪。
如果N！=1，叫分布式光线追踪，现在很少有人提了。
N=1，噪声很大？
那么对一个像素生成多个path,最后求平均即可。
路径追踪：对每个像素发出若干光线，对每条光线做蒙特卡洛积分。此即路径追踪算法。
问题2：递归算法shade没有停止条件
因为现实中光线就是弹射无数次，如果计算中间停下来会损失光线。
这时候人们引入了：俄罗斯轮盘赌
弹夹内装两枚子弹，如果此时生存概率P ( 0 < P < 1)为4/6，那么死亡概率 (1-P)为2/6
我们利用这个机制：
1.以一定的概率P发射一条光线，得到一定的结果Lo之后再除以这个概率P
2.以1-P的概率不发射光线，那么得到的结果是0.
这样操作的话，最终结果的期望仍为Lo。
向算法中加入这个思想
到此为止，就已经是一个正确的path tracing的方法了
问题3：路径追踪算法效率
但这个方法还有个小问题，它的效率不高。
如果一个像素的采样率小，速度快，但会有很多噪声。
问题在哪呢？
我们之前的算法是在看运气，被观测点发出的光线不一定能打到光源，如果光源很小的话，可能需要随机出非常多的光线才能打到光源，这就造成 很多光线都被浪费了。
我们现在是从被观测点向周围均匀地采样，那么我们有没有别的采样方法PDF？
答：直接在光源方向采样。
现在我们想对光源采样，对被观测点积分。这个事蒙特卡洛积分是干不了的，但我们想在形式上先写出来。
只需要知道dA和dw之间的关系就可以写出来了
上式展示了dA和dw之间的关系。
替换式子中的dw，改变积分域。
现在情况就变成了：对光源采样、对光源积分。
改进算法
被观测点最终的radiance由两部分决定
1.光源（直接通过采样光源计算，不需要俄罗斯轮盘赌）
2.其他反射物（间接地，需要俄罗斯轮盘赌）
代码
问题4：如果光源和着色点之间存在遮挡物
那么就加个条件判断就行了
如果存在遮挡物，结果为0
如果不存在遮挡物，正常计算
到此为止，路径追踪就写完了。
3.4 关于路径追踪的其他问题
3.4.1 遗留问题：点光源怎么办？
对于路径追踪来说，点光源真的不好处理，想把点光源做对需要注意很多。
所以建议把点光源做成一个很小的面积光源，来规避问题。
3.4.2 学习路径追踪的作用
写对路径追踪不容易。学path tracing很有用
通过学习可以让我们查漏补缺，对涉及到的数学物理代码等知识加深理解
因为用路径追踪的方法几乎和现实情况100%相似。
真是让人震惊的算法效果!
3.4.3 ray-tracing一词在不同时期的含义
·在较早前的时候：认为ray-tracing就是指whitted-style ray tracing
·近年来：说到ray-tracing可能在说所有光线传播方法的大集合，包括
-（单向/双向）路径追踪
-
光子映射
-
光线传输
-更复杂的，结合更多方法的光线传播方法。比如VCM/UPBP
反正，现在要生成一张图片，要么光栅化、要么光线追踪。
3.4.4 没涉及到的部分
·如何对一个函数均匀地采样？
·蒙特卡洛方法选取什么样的PDF最好？即如何针对性地对某一形状的函数最好地采样？
·编程中的随机数问题？low discrepency sequences可以解决一些问题
能不能结合采样被观测点和光源的方法？
平均问题
一个像素中的结果和radiance的转化：gamma矫正
等等......
最后，敬畏科学。