★ C++进阶篇 ★ 红黑树实现

椎名澄嵐2024-10-20 14:27

Ciallo～(∠・ω< )⌒☆ ~ 今天，我将继续和大家一起学习C++进阶篇第六章----红黑树实现 ~

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目录

[壹 红黑树的概念](#壹 红黑树的概念)

[1.1 红黑树的规则](#1.1 红黑树的规则)

[1.2 红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍](#1.2 红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍)

[1.3 红黑树的效率](#1.3 红黑树的效率)

[贰 红黑树的实现](#贰 红黑树的实现)

[2.1 红黑树的结构](#2.1 红黑树的结构)

[2.2 红黑树的插入](#2.2 红黑树的插入)

[2.2.1 红黑树树插入⼀个值的大概过程](#2.2.1 红黑树树插入⼀个值的大概过程)

[2.2.2 情况1：变色](#2.2.2 情况1：变色)

[2.2.3 情况2：单旋+变色](#2.2.3 情况2：单旋+变色)

[2.2.4 情况3：双旋+变色](#2.2.4 情况3：双旋+变色)

[2.3 红黑树的插入代码实现](#2.3 红黑树的插入代码实现)

[2.4 红黑树的查找](#2.4 红黑树的查找)

[2.5 红黑树的验证](#2.5 红黑树的验证)

壹 红黑树的概念

红黑树是一棵二叉搜索树 ，他的每个结点增加⼀个存储位来表示结点的颜⾊，可以是红色或者黑色。通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出2倍，因而是接近平衡的。

1.1 红黑树的规则

  • 每个结点不是红色就是黑色 ~
  • 根结点是黑色的 ~
  • 如果⼀个结点是红色的，则它的两个孩子结点必须是黑色 的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的红色结点 ~
  • 对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的黑色结点 ~（根结点到NULL结点，下图1为九条）

《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是黑色的规则。他这⾥所指的叶子结点 不是传统的意义上的叶子结点，⽽是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。NIL是为了 ⽅便准确的标识出所有路径，《算法导论》在后续讲解实现的细节中也忽略了NIL结点，所以我们知道⼀下这个概念即可。

1.2 红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的2倍

在极端场景下，假设每条路径都有x个黑色结点，那么最短路径就是全黑 ，长度为x，最长路径就是一黑一红交替，长度为2*x。

理论上的全黑最短路径和⼀黑⼀红的最长路径并不是在每棵红黑树都存在的。假设任意⼀条从根到NULL结点路径的⻓度为x，那么x <= h< = 2*x。

1.3 红黑树的效率

假设N是红黑树树中结点数量，h最短路径的长度，那么2^h - 1 <= N < 2^(2*h) - 1 ，故h ≈ logN.

也就是意味着红黑树增删查改最坏也就是走最长路径2 * logN，时间复杂度为O(logN) 。

红黑树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过高度差直观的控制了平衡 。红⿊树通过4条规则的颜色约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次 ，但是相对而言，插⼊相同数量的结点，红黑树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。

贰 红黑树的实现

2.1 红黑树的结构

cpp 复制代码 
//枚举值表⽰颜⾊
enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

// 这⾥我们默认按key/value结构实现
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	// 这里更新控制平衡也要加入parent指针
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
	{}
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	//...
private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.2 红黑树的插入

2.2.1 红黑树树插入⼀个值的大概过程

  • 插⼊⼀个值按二叉搜索树规则进行插入 ，插⼊后我们只需要观察是否符合红黑树的4条规则~
  • 如果是空树插入 ，新增结点是黑色结点 。如果是非空树插入 ，新增结点必须红色结点，因为⾮空树插入，新增黑色结点就破坏了规则4，规则4是很难维护的 ~
  • 非空树插入，新增结点必须红色结点，如果父亲结点是黑色 的，插入结束 ~
  • 非空树插入，新增结点必须红色结点，如果父亲结点是红色 的，则违反规则3 。进⼀步分析，c是红色，p为红，g必为黑，这三个颜色都固定了，关键的变化看u的情况，需要根据u分为以下几种情况分别处理。

新增结点标识为c，c的父亲标识为p，p的父亲标识为g，p的兄弟标识为u。

2.2.2 情况1：变色

c为红，p为红，g为黑，u存在且为红 ，则将p和u变黑，g变红 。在把g当做新的c，继续往上更新。 分析：因为p和u都是红色，g是黑色，把p和u变黑，左边子树路径各增加⼀个黑色结点，g再变红，相当于保持g所在⼦树的黑色结点的数量不变，同时解决了c和p连续红色结点的问题，需要继续往上更新 是因为，g是红色，如果g的父亲还是红色，那么就还需要继续处理；如果g的父亲是黑色，则处理结束了；如果g就是整棵树的根，再把g变回黑色。

情况1只变色，不旋转。所以伍论c是p的左还是右，p是g的左还是右，都是上面的变色处理方式。

cpp 复制代码 
// 父亲是红色，出现连续的红色节点，需要处理
while (parent->_col == RED)
{
	Node* grandfather = parent->_parent;

	if (parent == grandfather->_left)
	{
		//   g
		// p   u
		Node* uncle = grandfather->_right;
		// 叔叔存在且为红，变色即可
		if (uncle && uncle->_col == RED)
		{
			parent->_col = uncle->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;
			// 继续往上处理
			cur = grandfather;
			parent = cur->_parent;
		}
		// 叔叔不存在，或者存在且为黑
		else
		{
            // 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
			// 旋转+变色
			//...
		}
	}
	else
	{
		//   g
		// u   p
		Node* uncle = grandfather->_left;
		// 叔叔存在且为红，变色即可
		if (uncle && uncle->_col == RED)
		{
			parent->_col = uncle->_col = BLACK;
			grandfather->_col = RED;

			// 继续往上处理
			cur = grandfather;
			parent = cur->_parent;
		}
		else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
		{
			// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
			// 旋转+变色
            //...
			break;
		}
	}
}

2.2.3 情况2：单旋+变色

c为红，p为红，g为黑，u不存在或者u存在且为黑，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为黑，则c⼀定不是新增，c之前是黑色的，是在c的子树中插入，符合情况1，变色将c从黑色变成红色，更新上来的。

分析：p必须变黑，才能解决，连续红色结点的问题，u不存在或者是黑色的，这⾥单纯的变⾊无法解决问题，需要旋转+变色。

如果p是g的左，c是p的左，那么以g为旋转点进行右单旋，再把p变黑，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为p的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

如果p是g的右，c是p的右，那么以g为旋转点进⾏左单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为p的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

2.2.4 情况3：双旋+变色

c为红，p为红，g为黑，u不存在或者u存在且为黑，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为黑，则c⼀定不是新增，c之前是黑色的，是在c的⼦树中插入，符合情况1，变色将c从黑色变成红色，更新上来的。

分析：p必须变黑，才能解决，连续红色结点的问题，u不存在或者是黑色的，这⾥单纯的变色无法解决问题，需要旋转+变色。

如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进行左单旋，再以g为旋转点进行右单旋，再把c变黑，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为c的父亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

如果p是g的右，c是p的左，那么先以p为旋转点进行右单旋，再以g为旋转点行左单旋，再把c变黑，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样子树黑色结点的数量不变，没有连续的红色结点了，且不需要往上更新，因为c的⽗亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。

2.3 红黑树的插入代码实现

cpp 复制代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	// 先按二叉搜索树规则插入新节点
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		// 插入黑色根结点
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	// 插入红色新结点
	cur->_col = RED;
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	// 链接父亲
	cur->_parent = parent;

	// 父亲是红色，出现连续的红色节点，需要处理
	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;

		if (parent == grandfather->_left)
		{
			//   g
			// p   u
			Node* uncle = grandfather->_right;
			// 叔叔存在且为红
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;
				// 继续往上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			// 叔叔不存在或为黑
			else
			{
				if (cur == parent->_left)
				{
					//     g
					//   p    u
					// c
					RotateR(grandfather);
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				else
				{
					//      g
					//   p    u
					//     c
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfather);
					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				break;
			}
		}
		else
		{
			//   g
			// u   p
			Node* uncle = grandfather->_left;
			// 叔叔存在且为红，变色即可
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				parent->_col = uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				// 继续往上处理
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
			{
				// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
				// 旋转+变色
				//   g
				// u   p
				//       c
				if (cur == parent->_right)
				{
					RotateL(grandfather);
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				else
				{
					RotateR(parent);
					RotateL(grandfather);
					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				break;
			}
		}
	}
	_root->_col = BLACK;
	return true;
}

2.4 红黑树的查找

按二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

cpp 复制代码 
Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

2.5 红黑树的验证

只要检查红黑树的四点规则，满足这4点规则，⼀定能保证最⻓路径不超过最短路径的2倍。

  • 规则1枚举颜色类型，天然实现保证了颜色不是黑色就是红色。
  • 规则2直接检查根即可
  • 规则3前序遍历检查 ，遇到红色结点查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不⼀定存在，反过来检查父亲的颜色就方便多了。
  • 规则4前序遍历 ，遍历过程中用形参记录跟到当前结点的blackNum （黑色结点数量)，前序遍历遇到黑色结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的黑色结点数量。再任意⼀条路径黑色结点数量作为参考值，依次比较即可。
cpp 复制代码 
bool IsBalance()
{
	if (_root == nullptr)
		return true;

	if (_root->_col == RED)
		return false;

	// 参考值
	int refNum = 0;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
		{
			++refNum;
		}
		cur = cur->_left;
	}

	return Check(_root, 0, refNum);
}

private:
	bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
			//cout << blackNum << endl;
			if (refNum != blackNum)
			{
				cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}

		// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			blackNum++;
		}

		return Check(root->_left, blackNum, refNum)
			&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}

~ 完 ~

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