假设 Ω \Omega Ω是 R d \mathbb{R}^d Rd中连通的开集使得其补集 R d ∖ Ω \mathbb{R}^d\setminus\Omega Rd∖Ω包含一个开的锥 C C C。假设 u : Ω ‾ → R u:\overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{R} u:Ω→R是有界的连续函数，在 Ω \Omega Ω中是 C 2 C^{2} C2的，并且满足
{ Δ u ( x ) ≥ 0 , x ∈ Ω , u ( x ) ≤ 0 , x ∈ ∂ Ω . \begin{cases}\Delta u(x)\geq0 & ,x\in\Omega,\\u(x)\leq0 & ,x\in\partial\Omega.\end{cases} {Δu(x)≥0u(x)≤0,x∈Ω,,x∈∂Ω.
证明
u ( x ) ≤ 0 , ∀ x ∈ Ω . u(x)\leq0,\quad\forall x\in\Omega. u(x)≤0,∀x∈Ω.
这里开的锥 C C C指的是存在顶点 x 0 x_0 x0，非零方向 v ∈ R d v\in\mathbb{R}^d v∈Rd以及 θ ∈ ( 0 , π 2 ) \theta\in(0,\frac{\pi}{2}) θ∈(0,2π)使得
C = { x : ∣ x − x 0 ∣ ∣ v ∣ cos θ < v ⋅ ( x − x 0 ) } C=\{x:|x-x_0| |v|\cos\theta< v\cdot(x-x_0)\} C={x:∣x−x0∣∣v∣cosθ<v⋅(x−x0)}。
证：
1.假设与条件:
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Ω \Omega Ω是 R d \mathbb{R}^d Rd 中的一个连通开集，其补集 R d ∖ Ω \mathbb{R}^d \setminus\Omega Rd∖Ω包含一个开锥 C C C。
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函数 u : Ω ‾ → R u: \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R} u:Ω→R是有界的连续函数，并且在 Ω \Omega Ω 中是 C 2 C^2 C2 的，满足
{ Δ u ( x ) ≥ 0 , x ∈ Ω , u ( x ) ≤ 0 , x ∈ ∂ Ω \begin{cases} \Delta u(x) \geq 0 & , \quad x \in \Omega, \\ u(x) \leq 0 &, \quad x \in \partial \Omega \end{cases} {Δu(x)≥0u(x)≤0,x∈Ω,,x∈∂Ω。
2.目标:证明 u ( x ) ≤ 0 u(x) \leq 0 u(x)≤0 对所有 x ∈ Ω x\in \Omega x∈Ω成立。
3.利用最大值原理:
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根据已知条件， u u u是有界连续函数，因此在 Ω ‾ \overline{\Omega} Ω上可以取得最大值。设 u u u 在 Ω ‾ \overline{\Omega} Ω上的最大值为 M M M，即存在 x 0 ∈ Ω ‾ x_0 \in \overline{\Omega} x0∈Ω使得 u ( x 0 ) = M u(x_0)= M u(x0)=M。
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根据条件， u ( x ) ≤ 0 u(x)\leq 0 u(x)≤0 对所有 x ∈ ∂ Ω x \in \partial \Omega x∈∂Ω成立，因此， M ≤ 0 M \leq 0 M≤0。
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假设 M > O M>O M>O,我们将导出矛盾。注意到 x 0 x_0 x0不能位于 ∂ Ω \partial \Omega ∂Ω，因为在 ∂ Ω \partial\Omega ∂Ω上 u ( x ) ≤ 0 u(x) \leq0 u(x)≤0。因此， x 0 x_0 x0必须在 Ω \Omega Ω的内部，即 x 0 ∈ Ω x_0\in \Omega x0∈Ω。
4.利用次调和函数性质:
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由于 Δ u ( x ) ≥ 0 \Delta u(x) \geq 0 Δu(x)≥0， u u u是次调和函数。根据次调和函数的性质，如果 u u u在 Ω \Omega Ω内部的某点 x 0 x_0 x0 取到局部最大值，则 u u u在 x 0 x_0 x0 附近是一个常数。
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因此， u u u 在包含 x 0 x_0 x0 的某个邻域 B ( x 0 , r ) ⊂ Ω B(x_0,r)\subset \Omega B(x0,r)⊂Ω上是常数，即 u ( x ) = M u(x)=M u(x)=M对所有 x ∈ B ( x 0 , r ) x \in B(x_0,r) x∈B(x0,r)成立。
5.利用开锥的性质:
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由于 R d ∖ Ω \mathbb{R}^d \setminus \Omega Rd∖Ω包含一个开锥 C C C，对于锥 C C C 中的每一个点 x 1 ∈ C ∩ Ω x_1\in C \cap \Omega x1∈C∩Ω，存在一条从 x 1 x_1 x1 到 ∂ Ω \partial \Omega ∂Ω的路径，这条路径上的点 x x x都满足 u ( x ) ≤ 0 u(x) \leq 0 u(x)≤0。
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因为 u u u在 Ω \Omega Ω 内的某个邻域 B ( x 0 , r ) B(x_0,r) B(x0,r)上是常数 M > 0 M>0 M>0，所以必须存在点 x 1 ∈ B ( x 0 , r ) ∩ ( Ω ∩ C ) x_1\in B(x_0, r) \cap (\Omega \cap C) x1∈B(x0,r)∩(Ω∩C) 使得 u ( x 1 ) = M u(x_1)=M u(x1)=M。然而，这与 u ( x ) ≤ 0 u(x) \leq 0 u(x)≤0 对所有 x ∈ ∂ Ω x \in \partial\Omega x∈∂Ω成立矛盾，因为 x 1 x_1 x1的路径会穿过 ∂ Ω \partial\Omega ∂Ω，并且在路径上的某些点 u u u会小于 0 0 0。
6.矛盾:
- 从而，假设 M > 0 M>0 M>0不成立，即 M ≤ 0 M \leq 0 M≤0。这意味着 u ( x ) ≤ 0 u(x) \leq 0 u(x)≤0 对所有 x ∈ Ω x \in \Omega x∈Ω成立。
综上，我们证明了 u ( x ) ≤ 0 u(x) \leq 0 u(x)≤0 对所有 x ∈ Ω x \in \Omega x∈Ω成立。