【趣学Python算法100例】爱因斯坦的数学题

问题描述

爱因斯坦出了一道这样的数学题：有一条长阶梯，若每步跨2阶，则最后剩一阶，若每步跨3阶，则最后剩2阶，若每步跨5阶，则最后剩4阶，若每步跨6阶，则最后剩5阶。只有每次跨7阶，最后才正好一阶不剩。请问在1到n内，有多少个数能满足？

问题分析

根据题意，用变量x表示阶梯数，则阶梯数x应该同时满足以下条件：

若每步跨2阶，则最后剩1阶，即x%2=1。
若每步跨3阶，则最后剩2阶，即x%3=2。
若每步跨5阶，则最后剩4阶，即x%5=4。
若每步跨6阶，则最后剩5阶，即x%6=5。
若每步跨7阶，最后才正好一阶不剩，即x%7=0。

算法设计

该问题要求输入n值，求解出在1-n的范围内存在多少个满足要求的阶梯数。在算法设计中，我们使用while循环，将循环条件设置为True，以允许重复读入多个n值。

对每一次读入的n值，都要判断在1-n的范围内存在的满足要求的阶梯数的个数。判断时可采用for循环，循环变量设为i，由题意：

阶梯数需要满足以下条件：

能被7整除。

除以6余5。

除以5余4。

除以3余2。

由于这些条件的限制，我们从7开始检查，因为7是满足第一个条件的最小整数。

循环条件为i<n；循环体中则使用问题分析中列出的5个条件来检验每一个i值，能够满足所有5个条件的i值即为所求的阶梯数。

确定程序框架

由上述分析可知，该程序的主体是一个循环结构。

输入n值。

python 复制代码

while True:
    n = int(input("请输入n值："))

找到满足要求的阶梯数。

python 复制代码

for i in range(7, n+1):
    # 判断条件

使用for循环检查每一个i值是否满足判断条件。

程序流程图如下图所示：

完整程序

据上面的分析，编写程序如下：

python 复制代码

def computing_ladder(n):
    # 输入验证
    if not isinstance(n, int) or n < 1:
        raise ValueError("n must be a positive integer")

    print(f"在1-{n}之间的阶梯数为：")
    count = 0
    for i in range(7, n+1):
        # 阶梯数所满足的条件
        if (i % 7 == 0) and (i % 6 == 5) and (i % 5 == 4) and (i % 3 == 2):
            count += 1                              # count记录1～n之间满足条件的阶梯个数
            print(f"{i}")
    print(f"在1-{n}之间，有{count}个数可以满足爱因斯坦对阶梯的要求。")

if __name__=="__main__":
    while True:
        n = int(input("请输入n值："))
        computing_ladder(n)

运行结果

在vscode下运行程序，结果如下图所示。由输出结果可知，在1～200之间满足条件的阶梯数只有1个，为119；在1～400之间满足条件的阶梯数有2个，为119和329；在1～600之间满足条件的阶梯数有3个，为119、329和539。