1282：最大子矩阵

题目：

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 × 1)子矩阵。

比如，如下4 × 4的矩阵

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2

-4 1

-1 8

这个子矩阵的大小是15。

【输入】

输入是一个N×N的矩阵。输入的第一行给出N(0<N≤100)。再后面的若干行中，依次(首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数......)给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在 $-127,127$ 。

【输出】

输出最大子矩阵的大小。

【输入样例】

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2
【输出样例】

题意：

找出梓矩阵最大和

思路：

暴力模拟就是就是遍历求x1-x2行最值，再遍历y1-y2列的最值，四层循环容易超时
-只看一行求最值就是最大连续子序列，但是有很多行，现在求未知连续的k行的矩阵，所以就需要遍历1-2,1-3,1-4,2-3,2-4行，，，，
求矩阵和，所以利用前缀和的知识，可以累加前一行的数据直到最后一行，要求区间K行的子矩阵遍历即可-即要求k行直接压缩成一维数组，变成了一个一维数组的最长子序列问题
确定状态/选择：累加行/列以后直接利用最大字段和的做法 dp $i$ = max(dp $i-1$ +k,dp $i$ )
确定状态转移方程
边界条件：

-①dp都初始化为0，每次遍历完两行，求出矩阵和，计算了dp数组后求出当前的最值，dp初始化一下。

②存储最值的变量应该初始化：<-128 因为数据范围在【-127，127】。

③遍历时，后一行减去前一行，所以i 为【1，n】,j为【1，n】,j不能是【i+1，n】 ,因为有可能矩阵第一行就是有最值！

数据约束：

无

注意：

①：数组边界/遍历范围要注意！！

②：数据初始化要注意数据边界

参考代码一

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 105
using namespace std;
int a[N][N],dp[N],ans=-128;    //初始化＃。。。。。。。。。。！    
    int main()
    {
    	int n;
    	cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				cin>>a[i][j];
				a[i][j] += a[i-1][j];//各行的值累加 
				
			}
		} 
		for(int i=1;i<=n;i++){ //开始行 
			for(int j=i;j<=n;j++){ //结束行 
				for(int k=1;k<=n;k++){ //处理两行之前列的数据-做最大连续子序列 
					dp[k] = a[j][k]-a[i-1][k];
					dp[k] = max(dp[k],dp[k-1]+a[j][k]-a[i-1][k]);  //选择两行 并处理dp数组
					ans = max(ans,dp[k]); 
				}
					memset(dp,0,sizeof(dp));
			}
			
		} 
        cout<<ans;
        return 0;
    }

参考代码二

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 105
using namespace std;
N],dp[N],ans=-128;    //初始化＃。。。。。。。。。。！ 
    int main()
    {
    	int n;
    	cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				cin>>a[i][j];
				a[i][j] += a[i][j-1];//各列的值累加
			}
		} 
		for(int i=1;i<=n;i++){ //开始列 
			for(int j=i;j<=n;j++){ //结束列  不能从第二行开始，不然第一行怎么办！！ 
			memset(dp,0,sizeof(dp));
				for(int k=1;k<=n;k++){ //处理两列之前列的数据-做最大连续子序列 
					dp[k] = a[k][j]-a[k][i-1];
					dp[k] = max(dp[k],dp[k-1]+a[k][j]-a[k][i-1]);  //选择两行 并处理dp数组
					ans = max(ans,dp[k]); 
				}
			}
			
		} 
        cout<<ans;
        return 0;
    }