容斥原理 C++

题目

解题思路

什么是容斥原理

具体到题目中

S~1~代表1到n中能被质数p~1~整除的数的集合,而|S~1~|代表1~n中能被质数p~1~整除的数的数量;

则题目所求结果:

res = | S~1~ U S~2~ U S~3~ ... U S~m~ | = |S~1~| + |S~2~| + |S~3~| + ... + |S~m~| (C(m, 1)个数) - (|S~1~ ∩ S~2~| + |S~1~ ∩ S~3~| + ...) (C(m, 2)个数) + ... + (-1)^n-1^(S~1~∩S~2~∩S~3~...∩S~m~) (C(m, m) 个数)

同时C(m, 0) + C(m ,1) + C(m, 2) + C(m , 3) + ... C(m, m) = 2^m^(相当于一个球袋中拿走任意数量的球的方案量, 即每个球都只有拿走与不拿走两个选项,总方案量就是2^m^)

所以,总循环次数就是2^m^ - 1,即可得到答案res;

具体实现方法

代码实现

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 20;

int p[N];


int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    // 用p数组存储m个质数
    for (int i = 0; i < m; i ++ ) cin >> p[i];

    int res = 0;
    // 每一个i代表一种可能的取法,最外层的循环遍历置2的m次方后,可以取完所有的取法
    // 从1开始枚举,枚举到1 << m(左移m位。左移一位相当于乘2,右移一位相当于除2),即2的m次方;
    for (int i = 1; i < 1 << m ; i ++ )//等同于i < 2^m^
    {
        // t代表当前所有质数的乘积,s代表什么当前选法包含几个集合
        int t = 1, s = 0;
        // 枚举m个质数,依次计算容斥原理的公式
        for (int j = 0; j < m; j ++ ){
            // i右移j位与上1,即如果当前位是1的话
            //>>的优先级大于&,所以是先>>再&!
            if (i >> j & 1)
            {
                if ((LL)t * p[j] > n)//主要原因是为了防止爆long long,导致出现错误答案!!!
                {
                    t = -1;
                    break; // break的作用域是跳出整个循环
                }
                // 将该质数乘到t中
                t *= p[j];
                // s表示当前选法中有多少个集合
                s ++ ;
            }
        }
        // 带入公式求解一个S
        // 如果t不等于-1(-1是给定的flag值)
        if (t != -1)
        {
        //根据公式,如果s是偶数要减去,是奇数要加上
            if (s % 2) res += n / t;
            else res -= n / t;
        }
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

具体代码块分析

假设m = 4的情况下:

cpp 复制代码
 // 每一个i代表一种可能的取法,最外层的循环遍历置2的m次方后,可以取完所有的取法
    for (int i = 1; i < 1 << m ; i ++ )//等同于i < 2^m^

这段代码等同于:i = 0001; i < 10000; i ++ (二进制);

而不同的i代表选择了不同的集合:

比如i = 0101时, 选择了S~1~和S~3~这两个集合。

继续带入下面的代码:

cpp 复制代码
        for (int j = 0; j < m; j ++ ){
            // i右移j位与上1,即如果当前位是1的话
            //>>的优先级大于&,所以是先>>再&!
            if (i >> j & 1)
            {
                if ((LL)t * p[j] > n)//主要原因是为了防止爆long long 的数据范围,导致出现错误!!!
                {
                    t = -1;
                    break;
                }
                // 将该质数乘到t中
                t *= p[j];
                // s表示当前选法中有多少个集合
                s ++ ;
            }
        }
        // 带入公式求解一个S
        // 如果t不等于-1(-1是给定的flag值)
        if (t != -1)
        {
        //根据公式,如果s是偶数要减去,是奇数要加上
            if (s % 2) res += n / t;
            else res -= n / t;
        }

实际上计算的是|S~1~∩S~3~|的值;

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