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1.红黑树的概念
红黑树是一颗搜索二叉树,相比于搜索二叉树,红黑树中的每个节点增加了一个存储位置来表示节点的颜色,可以是红色或黑色。通过对于任何一条从根到叶子的路径上各个节点的颜色进行约束,红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出2倍,因此红黑树也算比较平衡的树。
1.1红黑树的规则
1.每个节点不是红色就是黑色。
2.根节点是黑色的
3.如果一个节点是红色的,那么该节点的两个孩子节点必须为黑色,也就是说红黑树中,任何路径都不会包含连续的红色节点。
4.对于任意一个节点,从该节点到其所有的NULL节点的简单路径上,均包含相同数量的黑色节点。
例如:
1.2红黑树的效率
假设N是红黑树中的节点数量,h为红黑树中最短路径的长度,对于 - 1 <= N < -1, 由此可推出,红黑树增删查改最坏的情况也就是走 ,那么时间复杂度也就为 O()。
例如:
2.红黑树的实现
2.1红黑树的大致结构
cpp
enum COLOUR
{
RED,
BLACK
};
//COLOUR 来控制每个节点的颜色
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
pair<K, V> _value;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
COLOUR _col;// RED/BLACK
RBTreeNode(const pair<K, V>& value)
:_value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
,_col(RED) // 默认为红色,因为黑色会改变路径节点数量相等规则,较为麻烦
{}
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
using Node = RBTreeNode<K,V>;
public:
//... ...
private:
Node* _root = nullptr;
size_t num = 0;//记录节点数量
};
2.2红黑树的插入
2.2.1红黑树插入的大致过程
- 插入一个新节点时,按照二叉搜索树的规则进行插入,插入之后我们只需要判断是否符合红黑树的4条规则。
- 如果是空树插入,新增加的节点为黑色节点(也就是根节点)。如果是非空树插入,新增节点必须为红色节点。因为插入黑色节点,对于红黑树的每条路径黑色节点数量均相同的规则,我们很难处理。
- 非空树插入后,新增节点必须是红色的,如果父节点为黑色,则不违反规则,插入结束。
- 非空树插入后,若父节点为红色节点,则违反规则,因为不能出现连续的红色节点。进一步分析为以下几种情况:
2.2.2情况1:变色
例如上述的一种情况,x节点是我们的新插入节点,很明显,x和6构成了连续的红色节点,并且此时的g为黑 ,u存在且为红。我们如果想要红黑树符合规则,必须将6的颜色变为黑色,但是在18->10->6->x这条路径上,就会多一个黑色节点,又会破坏规则。那么我们这么想:对于一个黑色节点,如果把该节点变为红色,同时把该节点的两个左右节点变为黑色,那么其实不会改变每一条路径上的黑色节点数量。例如:
我们将10变为红色,将6,15变为黑色。这样既满足了x与6不为连续的红色,也满足了每条路径上的黑色节点数量不变。
以上只是变色中的一种情况,同AVL树一样,如果我们将抽象图画出来,其实本质还是一样,不断往上变色,直到符合红黑树的规则即可。该情况的代码如下:
cpp
bool _Insert(const pair<K,V>& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(value);
_root->_col = BLACK;
num++;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (value < cur->_value)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_value < value)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(value);
if (cur->_value < parent->_value)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent; //节点已经被插入,下面考察是否符合红黑树规则
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;//找到父节点的父亲
if (parent == grandfather->_left)//如果父亲在grandfather的左边
{
Node* uncle = grandfather->_right;//那么uncle就在grandfather右边
if (uncle && uncle->_col == RED)//如果uncle存在并且为红色,一直往上变色即可
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
//... ...
2.2.3情况2:单旋+变色
该情况下,肯定c和p为两个连续的红色节点,但此时g为黑,u不存在或者u存在且为黑。如果u存在且为黑,那么c一定不是新插入节点,否则就会所有路径黑色节点数量不同,如果u不存在,则c一定是新插入节点。
分析:和情况1一样,这里的p必须变为黑色,才能解决连续红色节点的问题,u不存在或者存在且为黑,这里单纯的变色就无法解决问题,因此我们需要旋转+变色。
对于上方左右两种情况,因为g为黑,因此我们进行单旋之后,g就会变成p的子树,此时我们把g变红,把p变黑即可解决问题。并且我们不需要继续向上更新,因为p已经变成这棵子树的根,且为黑色节点,一定不会和上方产生矛盾。
先看上方的图,如果c为新插入的节点,且u存在为黑,那么c左右都为空,红黑树规则就会被打破。所以c之前为黑,然后从下方子树一直往上变为红。
如果u不存在,那么c一定是新插入的节点。如果c不是新插入的节点,那么就说明插入之前就存在红黑树符合规则,所以c和p不连续为红,此时就不符合所有路径黑色节点数量相等,因为g的右边为空,所以假设不成立,c一定是新插入的节点。
然后我们再看旋转+变色之后的结果,都符合了红黑树的规则。左单旋与上面类似。
代码如下:
cpp
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)//情况1
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)//情况2
{
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
else//情况3
{
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
}
}
2.2.4情况3:双旋+变色
情况3还是,c,p为红,g为黑,u不存在或者存在且为黑。u不存在,c一定是新增节点,u存在且为黑,c一定不是新增节点。
这里和情况2类似,我们只考虑左边的情况(右边逻辑类似):
我们学过AVL树都知道,尽管不变色,对于这种 < 类型的树,我们必须进行双旋,才能解决问题,< 进行 左右双旋,然后根据结果来看,我们只需要将c变为黑色,将p,g变为红色即可。
之后就是当p为g的右边,逻辑只是和上面的相反,这里就之间展示整个插入的代码:
cpp
bool _Insert(const pair<K,V>& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(value);
_root->_col = BLACK;
num++;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (value < cur->_value)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_value < value)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(value);
if (cur->_value < parent->_value)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;//插入完毕,准备检查是否为规则红黑树
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)//如果p在g的左边
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)//u存在且为红,一直向上变色
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else//u不存在或者存在且为黑
{
if (cur == parent->_left)//c为p的左,右单旋+变色
{
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
else//c为p的右,左右双旋+变色
{
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
}
}
// g
// u p
// c
//
else//p为g的右
{
Node* uncle = grandfather->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)//u存在且为红,一直向上变色
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else//u不存在或者存在且为黑
{
if (cur == parent->_right)//c为p的右,左单旋+变色
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
else//c为p的左,右左双旋+变色
{
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
}
}
}
_root->_col = BLACK;//无论如何,根节点都为黑色
num++;//统计红黑树的节点数量
return true;
}
2.3红黑树的查找
红黑树的查找和AVL树类似,查找效率为O(),代码如下:
cpp
Node* find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key < cur->_value.first)
{
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_value.first)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
以上内容若有错误,欢迎批评指正!