矩阵的秩，即为矩阵的主元个数，它决定着矩阵关于 A x = b Ax=b Ax=b这个方程组到底有多少解。
下面便来具体分析这句话：
r ：矩阵的秩 A ： m × n 大小的矩阵 r：矩阵的秩\\A：m \times n大小的矩阵 r：矩阵的秩A：m×n大小的矩阵
1. r = m = n r= m=n r=m=n
此时，矩阵消元过后可以简化表示为 [ I ] [ I ] [I]，此时必定有一个解。
可以理解为 r r r个 r r r元的线性不相关方程必然有且仅有一个解。
也可以理解为给你了一个线性不相关的基底，必然能以唯一形式表达出空间上的一个向量。
2. r = n < m r=n<m r=n<m
此时的矩阵消元后，可以简化表示为 [ I 0 ] \left[ \begin{matrix} I\\ 0 \end{matrix} \right] [I0]
当下面几行的参数能满足 0 = b n 0=b_n 0=bn时，情况便和第一种一样，有且仅有一个解。不满足的话就是无解。
3. r = m < n r=m<n r=m<n
此时的矩阵消元后，可以简化表示为 [ I F ] \left[ \begin{matrix} {I} &{F} \end{matrix} \right] [IF]
由于自由列的存在，给解了不确定性，所以这样的矩阵对应的方程总是有解且有无数个解的。
4. r < m , r < n r<m,r<n r<m,r<n
这样的矩阵消元后可表示为： [ I F 0 0 ] \left[ \begin{matrix} {I} &{F} \\ {0}& {0} \end{matrix} \right] [I0F0]
情况是综合2与3，不难得到，可能有0个解或者无数个解。