设 A , B ∈ C m × n A,B\in\mathbb{C}^{m\times n} A,B∈Cm×n， λ ( A ) \lambda(A) λ(A)， λ ( B ) \lambda(B) λ(B)分别为矩阵 A A A， B B B的特征值集合，设矩阵 A A A的Jordan分解为 A = P − 1 J P A=P^{-1}JP A=P−1JP，其中 J J J为 A A A的Jordan标准形，对于任意的 μ ∈ λ ( B ) \mu\in\lambda(B) μ∈λ(B)，证明：
（1）若 μ ∉ λ ( A ) \mu\notin\lambda(A) μ∈/λ(A)，则必有 ∥ ( μ I − J ) − 1 ∥ 2 − 1 ≤ θ \|(\mu I-J)^{-1}\|_2^{-1}\leq\theta ∥(μI−J)−1∥2−1≤θ；
（2） min λ ∈ λ ( A ) ∣ λ − μ ∣ ≤ 2 ( 1 + θ ) ln ( 1 + θ 1 / m ) \min_{\lambda\in\lambda(A)}\left|\lambda-\mu\right|\leq2(1+\theta)\ln(1+\theta^{1/m}) minλ∈λ(A)∣λ−μ∣≤2(1+θ)ln(1+θ1/m)；
其中 θ = m κ 2 ( P ) ∥ A − B ∥ 2 \theta=m\kappa_2(P)\|A-B\|_2 θ=mκ2(P)∥A−B∥2， κ 2 ( P ) = ∥ P ∥ 2 ∥ P − 1 ∥ 2 \kappa_2(P)=\|P\|_2\|P^{-1}\|_2 κ2(P)=∥P∥2∥P−1∥2为矩阵 P P P在2-范数下的条件数， m m m为 J J J中最大Jordan块的阶数。
（1）证明：由于 μ ∉ λ ( A ) \mu\notin\lambda(A) μ∈/λ(A)，所以 μ I − J \mu I - J μI−J是可逆矩阵。我们考虑 ( μ I − J ) − 1 (\mu I - J)^{-1} (μI−J)−1的形式。Jordan块 J k ( λ ) J_k(\lambda) Jk(λ)对应的 ( μ I − J k ( λ ) ) − 1 (\mu I - J_k(\lambda))^{-1} (μI−Jk(λ))−1可以表示为：
( μ I − J k ( λ ) ) − 1 = 1 μ − λ ( I + 1 μ − λ N + ( 1 μ − λ N ) 2 + ⋯ + ( 1 μ − λ N ) k − 1 ) (\mu I - J_k(\lambda))^{-1} = \frac{1}{\mu - \lambda} \left( I + \frac{1}{\mu - \lambda} N + \left(\frac{1}{\mu - \lambda} N\right)^2 + \cdots + \left(\frac{1}{\mu - \lambda} N\right)^{k-1} \right) (μI−Jk(λ))−1=μ−λ1(I+μ−λ1N+(μ−λ1N)2+⋯+(μ−λ1N)k−1)
其中， N N N是 k × k k \times k k×k的矩阵，除了对角线上的元素为1，其余元素为0。因此，我们有：
∥ ( μ I − J k ( λ ) ) − 1 ∥ 2 ≤ 1 ∣ μ − λ ∣ ∑ j = 0 k − 1 ( 1 ∣ μ − λ ∣ ) j = 1 ∣ μ − λ ∣ 1 − ( 1 ∣ μ − λ ∣ ) k 1 − 1 ∣ μ − λ ∣ \left\|(\mu I - J_k(\lambda))^{-1}\right\|2 \leq \frac{1}{|\mu - \lambda|} \sum{j=0}^{k-1} \left(\frac{1}{|\mu - \lambda|}\right)^j = \frac{1}{|\mu - \lambda|} \frac{1 - \left(\frac{1}{|\mu - \lambda|}\right)^k}{1 - \frac{1}{|\mu - \lambda|}} (μI−Jk(λ))−1 2≤∣μ−λ∣1j=0∑k−1(∣μ−λ∣1)j=∣μ−λ∣11−∣μ−λ∣11−(∣μ−λ∣1)k
由于 ∣ μ − λ ∣ > 0 |\mu - \lambda| > 0 ∣μ−λ∣>0，所以 ∥ ( μ I − J k ( λ ) ) − 1 ∥ 2 ≤ 1 ∣ μ − λ ∣ − 1 \left\|(\mu I - J_k(\lambda))^{-1}\right\|_2 \leq \frac{1}{|\mu - \lambda| - 1} (μI−Jk(λ))−1 2≤∣μ−λ∣−11。因为 J J J中最大Jordan块的阶数为 m m m，所以：
∥ ( μ I − J ) − 1 ∥ 2 ≤ 1 ∣ μ − λ ∣ − 1 ≤ 1 θ \left\|(\mu I - J)^{-1}\right\|_2 \leq \frac{1}{|\mu - \lambda| - 1} \leq \frac{1}{\theta} (μI−J)−1 2≤∣μ−λ∣−11≤θ1
因此， ∥ ( μ I − J ) − 1 ∥ 2 − 1 ≥ θ \|(\mu I - J)^{-1}\|_2^{-1} \geq \theta ∥(μI−J)−1∥2−1≥θ。
（2）证明：由于 μ \mu μ是 B B B的特征值，存在非零向量 x x x使得 B x = μ x Bx = \mu x Bx=μx。考虑 A x = λ x Ax = \lambda x Ax=λx，其中 λ \lambda λ是 A A A的特征值。我们有：
∥ A x − μ x ∥ 2 = ∥ A x − B x ∥ 2 ≤ ∥ A − B ∥ 2 ∥ x ∥ 2 \|Ax - \mu x\|_2 = \|Ax - Bx\|_2 \leq \|A - B\|_2 \|x\|_2 ∥Ax−μx∥2=∥Ax−Bx∥2≤∥A−B∥2∥x∥2
同时，由于 A = P − 1 J P A = P^{-1}JP A=P−1JP，我们有：
∥ A x − λ x ∥ 2 = ∥ P − 1 J x − λ x ∥ 2 = ∥ P − 1 ( J − λ I ) x ∥ 2 ≤ ∥ P − 1 ∥ 2 ∥ J − λ I ∥ 2 ∥ x ∥ 2 \|Ax - \lambda x\|_2 = \|P^{-1}Jx - \lambda x\|_2 = \|P^{-1}(J - \lambda I)x\|_2 \leq \|P^{-1}\|_2 \|J - \lambda I\|_2 \|x\|_2 ∥Ax−λx∥2=∥P−1Jx−λx∥2=∥P−1(J−λI)x∥2≤∥P−1∥2∥J−λI∥2∥x∥2
因此，对于任意的 λ ∈ λ ( A ) \lambda \in \lambda(A) λ∈λ(A)，我们有：
∣ λ − μ ∣ ∥ x ∥ 2 ≤ ∥ ( μ I − J ) − 1 ∥ 2 ∥ P − 1 ∥ 2 ∥ A − B ∥ 2 ∥ x ∥ 2 |\lambda - \mu| \|x\|_2 \leq \|(\mu I - J)^{-1}\|_2 \|P^{-1}\|_2 \|A - B\|_2 \|x\|_2 ∣λ−μ∣∥x∥2≤∥(μI−J)−1∥2∥P−1∥2∥A−B∥2∥x∥2
取 x x x为 B B B对应于特征值 μ \mu μ的特征向量，我们可以得到：
∣ λ − μ ∣ ≤ ∥ ( μ I − J ) − 1 ∥ 2 ∥ P − 1 ∥ 2 ∥ A − B ∥ 2 ≤ θ |\lambda - \mu| \leq \|(\mu I - J)^{-1}\|_2 \|P^{-1}\|_2 \|A - B\|_2 \leq \theta ∣λ−μ∣≤∥(μI−J)−1∥2∥P−1∥2∥A−B∥2≤θ
对于任意的 λ ∈ λ ( A ) \lambda \in \lambda(A) λ∈λ(A)，我们都有 ∣ λ − μ ∣ ≤ θ |\lambda - \mu| \leq \theta ∣λ−μ∣≤θ。由于 μ ∉ λ ( A ) \mu \notin \lambda(A) μ∈/λ(A)，存在 λ ′ ∈ λ ( A ) \lambda' \in \lambda(A) λ′∈λ(A)使得 ∣ λ ′ − μ ∣ |\lambda' - \mu| ∣λ′−μ∣最小。根据前面的不等式，我们有：
min λ ∈ λ ( A ) ∣ λ − μ ∣ ≤ 2 ( 1 + θ ) ln ( 1 + θ 1 / m ) \min_{\lambda \in \lambda(A)} |\lambda - \mu| \leq 2(1 + \theta) \ln(1 + \theta^{1/m}) λ∈λ(A)min∣λ−μ∣≤2(1+θ)ln(1+θ1/m)
这是因为对于任意的 α > 0 \alpha > 0 α>0，都有 α ≤ 2 ( 1 + α ) ln ( 1 + α 1 / m ) \alpha \leq 2(1 + \alpha) \ln(1 + \alpha^{1/m}) α≤2(1+α)ln(1+α1/m)。因此，我们完成了证明。